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- 2021-06-19 发布
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2009年辽宁省高考数学试卷（理科）
一、选择题
1. 已知集合M={x|-30，V＝S-T B.A<0，V＝S-T C.A>0，V＝S+T D.A<0，V＝S+T
11. 正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（ ）
A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.3:2
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12. 若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2(x-1)=5，x1+x2=( )
A.52 B.3 C.72 D.4
二、填空题
13. 某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1:2:1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h．
14. 等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5-5S3=5，则a4=________．
15. 设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为 4 m3．
16. 已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点，A(1, 4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为________．
三、解答题（共8小题，满分70分）
17. 如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75∘，30∘，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60∘，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449）
18. 如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；
（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
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19. （2016·成都二诊）某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为13．该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1:3:6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．
设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P(A)．
20. （西安中学四模）已知，椭圆C过点A(1,32)，两个焦点为(-1, 0)，(1, 0)．
求椭圆C的方程；
E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
21. 已知函数f(x)=12x2-ax+(a-1)lnx，a>1．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）证明：若a<5，则对任意x1，x2∈(0, +∞)，x1≠x2，有f(x1)-f(x2)x1-x2>-1．
22. 选修4-1：几何证明讲
已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC＝30∘，△ABC中BC边上的高为2+3，求△ABC外接圆的面积．
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23. 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ-π3)＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
24. 设函数f(x)＝|x-1|+|x-a|，
（1）若a＝-1，解不等式f(x)≥3；
（2）如果x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
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参考答案与试题解析
2009年辽宁省高考数学试卷（理科）
一、选择题
1.B
2.D
3.B
4.B
5.A
6.B
7.D
8.C
9.A
10.C
11.C
12.C
二、填空题
13.1013
14.13
15.4
16.9
三、解答题（共8小题，满分70分）
17.0.33 km
18.解：（1）解法一：
取CD的中点G，连接MG，NG．设正方形ABCD，DCEF的边长为2，
则MG⊥CD，MG=2，NG=2．
∵ 平面ABCD⊥平面DCED，
∴ MG⊥平面DCEF，
∴ ∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．
∵ MN=MG2+GN2=6，∴ sin∠MNG=63为MN与平面DCEF所成角的正弦值
解法二：
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，
分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图．
则M(1, 0, 2)，N(0, 1, 0)，可得MN→=(-1, 1, -2)．
又∵ DA→=(0, 0, 2)为平面DCEF的法向量，
∴ cos(MN→, DA→)=||MN→||DA→|˙=-63•
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∴ MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos(MN→，DA→)=63•
（2）假设直线ME与BN共面，
则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN
由已知，两正方形不共面，∴ AB⊄平面DCEF．
又∵ AB // CD，∴ AB // 平面DCEF．
∵ 面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴ AB // EN．
又∵ AB // CD // EF，
∴ EN // EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．
∴ ME与BN不共面，它们是异面直线．
19.解 依题意知X∼B4,13，
PX=0=C401301-134=1681，
PX=1=C411311-133=3281，
PX=2=C421321-132=2481，
PX=3=C431331-131=881，
PX=4=C441341-130=181．
即X的分布列为
设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．
Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．
依题意知P(A1)=P(B1)=0.1，P(A2)=P(B2)=0.3，
A=A1B¯1∪A¯1B1∪A1B1∪A2B2，
所求的概率为P(A)=P(A1B¯1)+P(A¯1B1)+P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B¯1)+P(A¯1)P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)=
0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28．
20.x24+y23=1
证明：设直线AE的方程为：y=k(x-1)+32，
代入x24+y23=1得
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+432-k2-12=0．
设E(xE, yE)，F(xF, yF)，因为点A1,32在椭圆上，
所以xE=432-k2-123+4k2，yE=kxE+32-k．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以-k代k，可得xF=432+k2-123+4k2，yF=-kxF+32+k．
所以直线EF的斜率kEF=yF-yExF-xE=-k(xF+xE)+2kxF-xE=12，
即直线EF的斜率为定值，其值为12．
21.（1）解：f(x)的定义域为(0, +∞)．
f'(x)=x-a+a-1x=x2-ax+a-1x=(x-1)(x+1-a)x．
（ⅰ）若a-1=1，即a=2，则f'(x)=(x-1)2x≥0，故f(x)在(0, +∞)单调递增．
（ⅱ）若a-1<1（a>1），即10．
故f(x)在(a-1, 1)单调递减，在(0, a-1)，(1, +∞)单调递增．
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（ⅲ）若a-1>1，即a>2，同理可得f(x)在(1, a-1)单调递减，在(0, 1)和(a-1, +∞)单调递增．
（2）证明：构造函数g(x)=f(x)+x=12x2-ax+(a-1)lnx+x（10），
则g'(x)=x-(a-1)+a-1x≥2x⋅a-1x-(a-1)=1-(a-1-1)2，当且仅当x2=a-1时等号成立．
由于10，即g(x)在(0, +∞)单调递增，从而当x1>x2>0时，有g(x1)-g(x2)>0，即f(x1)-f(x2)+x1-x2>0，故f(x1)-f(x2)x1-x2>-1；当0-1．
故对任意x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，有fx1-fx2x1-x2>-1成立．
22.如图，设F为AD延长线上一点
∵ A，B，C，D四点共圆，∴ ∠CDF＝∠ABC
又AB＝AC∴ ∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴ ∠ADB＝∠CDF，
对顶角∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．
设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．
连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15∘，∠ACB＝75∘，∴ ∠OCH＝60∘．
设圆半径为r，则r+32r＝2+3，a得r＝2，
外接圆的面积为4π．
故答案为4π．
23.由ρcos(θ-π3)=1ρ(12cosθ+32sinθ)=1
从而C的直角坐标方程为
12x+32y=1
即
x+3y=2
θ＝0时，ρ＝2，所以M(2, 0)
θ=π2,ρ=233,N(233,π2)
M点的直角坐标为(2, 0)
N点的直角坐标为(0,233)
所以P点的直角坐标为(1.33)，则P点的极坐标为(233,π6)，
所以直线OP的极坐标方程为θ=π6，ρ∈(-∞, +∞)
24.当a＝-1时，f(x)＝|x-1|+|x+1|，由f(x)≥3有|x-1|+|x+1|≥3
据绝对值几何意义求解，|x-1|+|x+1|≥3几何意义，是数轴上表示实数x的点距离实数1，-1表示的点距离之和不小3，
由于数轴上数-32左侧的点与数32右侧的点与数-1与1的距离之和不小3，
所以所求不等式解集为(-∞, -32]∪[32, +∞)
由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈(-∞, -1]∪[3, +∞)
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