2020版高中数学 第一章 解三角形 第3课时 三角形中的几何计算同步精选测试 新人教B版必修5 5页

同步精选测试　三角形中的几何计算 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.已知在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为(　　) ‎ ‎【导学号：18082071】‎ A. B. C.或 D.或 ‎【解析】　由正弦定理＝，得sin C＝，则∠C＝60°或120°，所以∠A＝90°或30°.因为S△ABC＝AB·ACsin A＝sin A，所以S△ABC＝或.‎ ‎【答案】　D ‎2.在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则角A的对边的长为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　∵S△ABC＝bcsin A＝×1×c×sin 60°＝，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝1＋16－2×1×4×＝13.∴a＝.‎ ‎【答案】　D ‎3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，∠C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A.3 B. C. D.3 ‎【解析】　已知c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①，‎ ‎∵∠C＝，∴c2＝a2＋b2－ab②，‎ 由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.‎ ‎【答案】　C ‎4.在△ABC中，AC＝，BC＝2，∠B＝60°，则BC边上的高等于(　　) ‎ ‎【导学号：18082072】‎ A. B. 5‎ C. D. ‎【解析】　在△ABC中，由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，即7＝AB2＋4－2×2×AB×.‎ 整理得AB2－2AB－3＝0.‎ 解得AB＝－1(舍去)或AB＝3.‎ 故BC边上的高AD＝AB·sin B＝3×sin 60°＝.‎ ‎【答案】　B ‎5.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且∠A>∠B>∠C,3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为(　　)‎ A.4∶3∶2 B.5∶6∶7‎ C.5∶4∶3 D.6∶5∶4‎ ‎【解析】　由题意知：a＝b＋1，c＝b－1，‎ 所以3b＝20acos A＝20(b＋1)· ‎＝20(b＋1)·，‎ 整理得7b2－27b－40＝0，‎ 解之得：b＝5(负值舍去)，可知a＝6，c＝4.‎ 结合正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4.‎ ‎【答案】　D 二、填空题 ‎6.在△ABC中，∠B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为________.‎ ‎【解析】　画出三角形知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 60°＝3，∴AD＝.‎ ‎【答案】　 ‎7.有一三角形的两边长分别为‎3 cm,‎5 cm，其夹角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.‎ ‎【解析】　解方程5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－，‎ ‎∵|cos α|≤1，∴cos α＝－，sin α＝.‎ 故S△＝×3×5×＝6(cm2).‎ ‎【答案】　6‎ ‎8.已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sin C＝cos C，则△ABC的面积为________.‎ 5‎ ‎【解析】　由sin C＝cos C得tan C＝＞0，所以∠C＝.‎ 根据正弦定理可得＝，即＝＝2，所以sin A＝.因为AB＞BC，所以∠A＜∠C，所以∠A＝，所以B＝，即三角形为直角三角形，故S△ABC＝××1＝.‎ ‎【答案】　 三、解答题 ‎9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.‎ ‎(1)证明：sin Asin B＝sin C；‎ ‎(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B. ‎ ‎【导学号：18082073】‎ ‎【解】　(1)证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0).‎ 则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，‎ 代入＋＝中，有 ＋＝，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).‎ 在△ABC中，由∠A＋∠B＋∠C＝π，‎ 有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，‎ 所以sin Asin B＝sin C.‎ ‎(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有 cos A＝＝，‎ 所以sin A＝＝.‎ 由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ 所以sin B＝cos B＋ sin B，故tan B＝＝4.‎ ‎10.四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.‎ ‎(1)求∠C和BD；‎ 5‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积.‎ ‎【解】　(1)连接BD，∵∠A＋∠C＝180°，‎ ‎∴cos A＝－cos C，由余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝13－12cos C，①‎ BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A＝5＋4cos C.②‎ 由①，②得cos C＝，故∠C＝60°，BD＝.‎ ‎(2)四边形ABCD的面积 S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C ‎＝·sin 60°＝2.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.已知锐角△ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为(　　)‎ A.2 B.－‎2 C.4 D.－4‎ ‎【解析】　由题意S△ABC＝||||sin A＝，得sin A＝，又△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴cos A＝，‎ ‎∴·＝||||cos A＝2.‎ ‎【答案】　A ‎2.在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　由题意知，sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式－cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，所以角A＝.‎ ‎【答案】　A ‎3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________.‎ ‎【解析】　在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝，‎ 5‎ 所以有解得 ‎【答案】　8‎ ‎4.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(‎2c＋b)sin C.‎ ‎(1)求A的大小；‎ ‎(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状.‎ ‎【解】　(1)由已知，根据正弦定理得 ‎2a‎2＝(2b＋c)b＋(‎2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.‎ 由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ ‎∴bc＝－2bc cos A，cos A＝－.‎ 又0＜∠A＜π，∴∠A＝π.‎ ‎(2)由(1)知sin‎2A＝sin2B＋sin‎2C＋sin Bsin C，‎ ‎∴sin‎2A＝(sin B＋sin C)2－sin Bsin C.‎ 又sin B＋sin C＝1，且sin A＝，‎ ‎∴sin Bsin C＝，因此sin B＝sin C＝.‎ 又∠B，∠C∈，故∠B＝∠C.‎ 所以△ABC是等腰钝角三角形.‎ 5‎