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- 2021-06-19 发布
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南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期
高二数学期末模拟检测试卷(一)
时间:120 分钟 满分:150 分
一、单项选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置.......上.
1.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.设函数 21y x 的定义域 A,函数 3xy 的值域为 B,则 A B ( )
A. (0,1) B. (0,1] C. [ 1,1] D. (0, )
3.某单位为了解用电量 y (度)与气温 x (℃)之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当
天气温,并制作了统计表:由表中数据得到线性回归方程 ˆ 2 60y x ,那么表中 m 的值为
( )
气温 x (℃) 18 13 10 -1
用电量 y (度) 24 34 m 64
A. 40 B. 39 C. 38 D. 37
4.某校有 1000 人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布
2(105, )( 0)N ,试卷满分 150 分,统计结果显示数学成绩优秀(高于 120 分)的人数占
总人数的 1
5
,则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为( )
A. 150 B. 200 C. 300 D. 400
5.函数 e e
| |
x x
f x x
的图像大致为( )
A. B. C. D.
6.已知 nS 是等差数列 na 的前 n 项和,且 9 39S S ,则 na 的通项公式可能是( )
A. 2 2na n B. 2 2na n C. 2 1na n D. 2 1na n
7.已知 O 是 ABCD 的两条对角线的交点.若 DO AB AC ,其中 , R ,则 :
( )
A. -2 B. 2 C. 1
2
D. 1
2
8.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数小于 4”为事件
A,“两颗骰子的点数之和等于 7”为事件 B,则 ( | )P B A ( )
A. 1
3
B. 1
6
C. 1
9
D. 1
12
二、多项选择题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合
题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分,请将正确选项填涂在
答题卡相应位置.......上.
9.如图是二次函数 2y ax bx c 图象的一部分,图象过点 3 0A , ,且对称轴为 1x ,
则以下选项中正确的为( )
A. 2 4b ac B. 2 1a b C. 0a b c D. 5a b
10.如下的四个命题中真命题的标号为( )
A. 97
100 162700C B. 3 2 3
9 9 10C C C
C. 1 2 3 4 5 6 7
8 8 8 8 8 8 8C C C C C C C 254
D. 10(1 2 )x 的展开式中二项式系数最大的项是 51 3 5 7 9 (4 )5! x
11. 已知直线 ax+by+1=0 与圆 x2+y2=1 相切,则 3a+2b 的值可以为( )
A. 3 2 B. 2 2
C. 10 D. 13
12. 已知两点 A(-1,0),B(1,0)以及圆 C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圆 C 上存在点 P,满足
AP→·PB→=0,则 r 的取值可以是下列选项中的( )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
三、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置.......上.
13.已知函数 f (x)=ex 在点(0,f (0))处的切线为 l,动点(a,b)在直线 l 上,则 2a+2-b 的最小
值是__________________
14.设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的两个焦点分别为 1 2,F F ,点 在椭圆上,且 1 2 0PF PF ,
1 2
3tan 3PF F ,则该椭圆的离心率为 .
15.从 1、3、5、7 中任取 2 个数字,从 0、2、4、6 中任取 2 个数字,组成没有重复数字的四
位数,其中能被 5 整除的四位数共有________个.(用数字作答)
16.已知函数 3 2( ) 6 2f x ax x ,若函数 ( )f x 存在唯一零点 0x ,且 0 0x ,则实数 a 的取值范
围是________.
四、解答题:共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤.
17.(10 分)已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a1,a2,a3-1 成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足 bn=2n-1+an(n∈N*),数列{bn}的前 n 项和为 Sn,试比较 Sn 与 n2+2n 的大
小.
18.(12 分)已知向量 (sin ,cos 2sin )a , (1,3)b .
(1)若 a b
,求 tan 的值;(2)若| | | |a b a b ,求 cos2 的值.
19.(12 分)如图,已知 AE⊥平面 CDE,四边形 ABCD 为正方形,M,N 分别是线段 BE,DE 的
中点.(1)求证:MN∥平面 ABCD;(2)若
2
1
EC
AE 求 EC 与平面 ADE 所成角的正弦值.
20..某花圃为提高某品种花苗质量,开展技术创新活动,在 A,B 实验地分别用甲、乙方法培
育该品种花苗.为观测其生长情况,分别在实验地随机抽取各 50 株,对每株进行综合评分,
将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为 80 及以上的花苗为优
质花苗.
(1)求图中 a 的值;
(2)用样本估计总体,以频率作为概率,若在 A,B 两块试验地随机抽取 3 棵花苗,求所抽
取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望.
21已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的离心率为 2
2
,直线 2 0bx y a 经过椭圆C 的
左焦点.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若直线 4 0bx y 与 y 轴交于点 P , A 、 B 是
椭圆C 上的两个动点,且它们在 y 轴的两侧, APB 的平分线在 y 轴上, PA PB 则直线
AB 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
22.已知函数 2
2
x af x e x ax ,其中 0a .
(1)当 1a 时,求不等式 2 4f x e 在 0, 上的解;
(2)设 g x f x , y g x 关于直线 lnx a 对称的函数为 y h x ,求证:当 lnx a
时, g x h x ;
(3)若函数 y f x 恰好在 1x x 和 2x x 两处取得极值,求证: 1 2 ln2
x x a .
南京市秦淮中学 2019~2020 学年第二学期
高二数学期末模拟检测试卷(一)答案
时间:120 分钟 满分:150 分
一、单项选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置.......上.
1. B 2.B 3.C 4. C 5. D 6. D 7.A 8.B
二、多项选择题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合
题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分,请将正确选项填涂在
答题卡相应位置.......上.
9.【答案】AD 10.【答案】BCD
11.【答案】BCD. 12. 【答案】选 ABC.
三、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置.......上.
13.【答案】 2
14.【答案】
15.【答案】198.
16.【解析】 3 2( ) 6 2f x ax x 2( ) 3 12 3 4f x ax x x ax
当 0a 时,由 ( ) 0f x ,解得 0x 或 4x a
,
( )f x 在 ( , 0] 上是增函数,且 ( 1) 6 1 5 0f a a , (0) 1 0 f ,所以 ( )f x 在
( 1,0) 上有零点,由题意知 2
4 32( ) 2 0f a a
,由 2 16a 故 4a < - 或 4a ,又 0a
4a .
当 0a 时, 2( ) 2 6f x x 解得 3
3x 有两个零点,不合题意.
当 0a 时, ( )f x 增区间为 4[ ,0]a
,减区间为 4, a
和 0, 且 (0) 2f ,
当 4( ) 0f a
时,则由单调性及极值可知,有唯一零点,但零点大于 0,
当 4( ) 0f a
时,则有三个零点, ∴ 4( )f a
无论正负都不合适.所以 (4, )a .
故答案为: (4, ) .
四、解答题:共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤.
17.(10 分)已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a1,a2,a3-1 成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足 bn=2n-1+an(n∈N*),数列{bn}的前 n 项和为 Sn,试比较 Sn 与
n2+2n 的大小.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为 q,
∵a1,a2,a3-1 成等差数列,∴2a2=a1+(a3-1)=a3,∴q=a3
a2
=2,
∴{an}的通项公式为 an=a1qn-1=2n-1(n∈N*).
(2)由(1)知 bn=2n-1+an=2n-1+2n-1,
∴Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+(2n-1+2n-1)
=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2n-1)
=1+(2n-1)
2 ·n+1-2n
1-2
=n2+2n-1.
∵Sn-(n2+2n)=-1<0,∴Sn