2013年湖北省高考数学试卷（文科） 25页

‎2013年湖北省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B∩∁∪A=（　　）‎ A．{2} B．{3，4} C．{1，4，5} D．{2，3，4，5}‎ ‎2．（5分）已知，则双曲线C1：与C2：的（　　）‎ A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 ‎3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）‎ A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q ‎4．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：‎ ‎①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；‎ ‎②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648；‎ ‎③y与x正相关且=5.437x+8.493；‎ ‎④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578．‎ 其中一定不正确的结论的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎5．（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（　　）‎ A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 ‎9．（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（　　）‎ A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元 ‎10．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，） C．（0，1） D．（0，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.‎ ‎11．（5分）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2﹣3i，则z2=　　．‎ ‎12．（5分）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则 ‎（Ⅰ）平均命中环数为　　；‎ ‎（Ⅱ）命中环数的标准差为　　．‎ ‎13．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i=　　．‎ ‎14．（5分）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k=　　．‎ ‎15．（5分）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=　　．‎ ‎16．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是　　寸．‎ ‎（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）‎ ‎17．（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．‎ ‎（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是　　；‎ ‎（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=　　（用数值作答）．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．‎ ‎19．（13分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．‎ ‎（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中﹣h来估算．已知V=（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．‎ ‎21．（13分）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．‎ ‎（i）判断f（1），f（），f（）是否成等比数列，并证明f（）≤f（）；‎ ‎（ii）a、b的几何平均数记为G．称为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．‎ ‎22．（14分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．‎ ‎（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；‎ ‎（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2013年湖北省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）（2013•湖北）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B∩∁∪A=（　　）‎ A．{2} B．{3，4} C．{1，4，5} D．{2，3，4，5}‎ ‎【分析】根据全集U和集合A先求出集合A的补集，然后求出集合A的补集与集合B的交集即可 ‎【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，‎ 则CUA={3，4，5}，‎ 又因为B={2，3，4}，‎ 则（CUA）∩B={3，4}．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2013•湖北）已知，则双曲线C1：与C2：的（　　）‎ A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 ‎【分析】通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论．‎ ‎【解答】解：双曲线C1：可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；‎ 双曲线C2：可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2（sin2θ+cos2‎ θ）=2；‎ 所以两条双曲线的焦距相等．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2013•湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）‎ A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q ‎【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．‎ ‎【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，‎ q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，‎ 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括 ‎“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”‎ 或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”‎ 或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．‎ 所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2013•湖北）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：‎ ‎①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；‎ ‎②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648；‎ ‎③y与x正相关且=5.437x+8.493；‎ ‎④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578．‎ 其中一定不正确的结论的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【分析】‎ 由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项．‎ ‎【解答】解：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；‎ ‎②y与x负相关且；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；‎ ‎③y与x正相关且； 此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；‎ ‎④y与x正相关且．此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．‎ 综上判断知，①④是一定不正确的 故选D ‎　‎ ‎5．（5分）（2013•湖北）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项 ‎【解答】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；‎ 再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，‎ 之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．‎ 故选：C ‎　‎ ‎6．（5分）（2013•湖北）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．‎ ‎【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），‎ ‎∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），‎ ‎∵所得的图象关于y轴对称，‎ ‎∴m+=kπ+（k∈Z），‎ 则m的最小值为．‎ 故选B ‎　‎ ‎7．（5分）（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．‎ ‎【解答】解：，，‎ 则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•=‎ ‎==，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2013•湖北）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（　　）‎ A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 ‎【分析】依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x﹣[x]，‎ ‎∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），‎ ‎∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2013•湖北）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（　　）‎ A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元 ‎【分析】设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，总租金为z元．可得目标函数z=1600x+2400y，结合题意建立关于x、y的不等式组，计算A、B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低．由此设计方案并代入约束条件与目标函数验证，可得当x=5、y=12时，z达到最小值36800．‎ ‎【解答】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则 z=1600x+2400y，‎ 其中x、y满足不等式组，（x、y∈N）‎ ‎∵A型车租金为1600元，可载客36人，∴A型车的人均租金是≈44.4元，‎ 同理可得B型车的人均租金是=40元，‎ 由此可得，租用B型车的成本比租用A型车的成本低 因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低 由此进行验证，可得当x=5、y=12时，可载客36×5+60×12=900人，符合要求 且此时的总租金z=1600×5+2400×12=36800，达到最小值 故选：C ‎　‎ ‎10．（5分）（2013•湖北）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，） C．（0，1） D．（0，+∞）‎ ‎【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，‎ 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，‎ 函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，‎ 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，‎ 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）‎ 当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，‎ 由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．‎ 则实数a的取值范围是（0，）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.‎ ‎11．（5分）（2013•湖北）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2﹣3i，则z2=　﹣2+3i　．‎ ‎【分析】直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数z2．‎ ‎【解答】解：设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，复数z1，z2的实部相反，虚部相反，‎ z1=2﹣3i，‎ 所以z2=﹣2+3i．‎ 故答案为：﹣2+3i．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2013•湖北）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则 ‎（Ⅰ）平均命中环数为　7　；‎ ‎（Ⅱ）命中环数的标准差为　2　．‎ ‎【分析】根据题中的数据，结合平均数、方差的计算公式，不难算出学员在一次射击测试中射击命中环数的平均数和方差，从而得到答案．‎ ‎【解答】‎ 解：（I）根据条件中的数据，得学员在一次射击测试中命中环数的平均数是=（7+8+7+9+5+4+9+10+7+4）=7，‎ ‎（II）可得学员在一次射击测试中命中环数的方差是s2=[（7﹣7）2+（8﹣7）2+…+（4﹣7）2]=4．‎ 故答案为：7，2．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2013•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i=　4　．‎ ‎【分析】框图输入m的值后，根据对A，B，i的赋值执行运算i=i+1，A=A×m，B=B×i，然后判断A＜B是否成立不成立继续执行循环，成立则跳出循环，输出i的值．‎ ‎【解答】解：框图首先给累积变量A，B赋值1，1，给循环变量i赋值0．‎ 若输入m的值为2，执行i=1+1，A=1×2=2，B=1×1=1；‎ 判断2＜1不成立，执行i=1+1=2，A=2×2=4，B=1×2=2；‎ 判断4＜2不成立，执行i=2+1=3，A=4×2=8，B=2×3=6；‎ 判断8＜6不成立，执行i=3+1=4，A=8×2=16，B=6×4=24；‎ 判断16＜24成立，跳出循环，输出i的值为4．‎ 故答案为4．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2013•湖北）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k=　4　．‎ ‎【分析】找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d，根据d与r的大小关系及r﹣d的值，即可作出判断．‎ ‎【解答】解：由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=，‎ ‎∵圆心O到直线l的距离d==1＜，且r﹣d=﹣1＞1=d，‎ ‎∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k=4．‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2013•湖北）在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m=　3　．‎ ‎【分析】画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．‎ ‎【解答】解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2013•湖北）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是　3　寸．‎ ‎（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）‎ ‎【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案．‎ ‎【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，‎ 下底面半径为6寸，高为18寸．‎ 因为积水深9寸，所以水面半径为寸．‎ 则盆中水的体积为（立方寸）．‎ 所以则平地降雨量等于（寸）．‎ 故答案为3．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）（2013•湖北）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．‎ ‎（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是　3，1，6　；‎ ‎（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=　79　（用数值作答）．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用新定义，观察图形，即可求得结论；‎ ‎（Ⅱ）根据格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b，c即可求得S．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）观察图形，可得S=3，N=1，L=6；‎ ‎（Ⅱ）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=2，N=0，L=6‎ ‎∵格点多边形的面积S=aN+bL+c，‎ ‎∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得 ‎∴，∴S=N+﹣1‎ 将N=71，L=18代入可得S=79．‎ 故答案为：（Ⅰ）3，1，6；（Ⅱ）79．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18．（12分）（2013•湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．‎ ‎【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；‎ ‎（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，‎ 即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．‎ 因为0＜A＜π，所以．‎ ‎（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．‎ 由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．‎ 又由正弦定理得．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2013•湖北）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3‎ 成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，依题意，列出关于其首项a1与公办q的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）依题意，可求得1﹣（﹣2）n≥2013，对n的奇偶性分类讨论，即可求得答案．‎ ‎【解答】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，显然q≠1，‎ 由题意得，‎ 由，解得q=﹣2，a3=12，‎ 故数列{an}的通项公式为an=a3•qn﹣3=12×（﹣2）n﹣3=3×（﹣2）n﹣1．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）有an=（﹣）×（﹣2）n．若存在正整数n，使得Sn≥2013，则Sn==1﹣（﹣2）n，即1﹣（﹣2）n≥2013，‎ 当n为偶数时，2n≤﹣2012，上式不成立；‎ 当n为奇数时，1+2n≥2013，即2n≥2012，则n≥11．‎ 综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2013•湖北）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1﹣A2B2C2‎ 所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．‎ ‎（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中﹣h来估算．已知V=（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形DEFG的一组对边相互平行，然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等，则可证明中截面DEFG是梯形；‎ ‎（Ⅱ）由题意可证得MN是中截面梯形DEFG的高，根据四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形，利用梯形的中位线公式吧DE，FG用d1，d2，d3表示，这样就能把V估用含有a，h，d1，d2，d3的代数式表示，把V=（d1+d2+d3）S与V估作差后利用d1，d2，d3的大小关系可以判断出差的符号，及能判断V估与V的大小关系．‎ ‎【解答】（Ⅰ）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，‎ 所以A1A2∥B1B2∥C1C2，又A1A2=d1，B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．‎ 因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形．‎ 由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME，‎ 可得AA2∥ME，即A1A2∥DE．同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG．‎ 又M，N分别为AB，AC的中点，‎ 则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1 的中点，‎ 即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线．‎ 因此DE=，FG=，‎ 而d1＜d2＜d3，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形；‎ ‎（Ⅱ）V估＜V．证明：‎ 由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN．‎ 而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN．‎ 由MN是△ABC的中位线，可得MN=BC=a，即为梯形DEFG的高，‎ 因此，‎ 即．又 S=ah，所以．‎ 于是=．‎ 由d1＜d20，d3﹣d1＞0，故V估＜V．‎ ‎　‎ ‎21．（13分）（2013•湖北）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．‎ ‎（i）判断f（1），f（），f（）是否成等比数列，并证明f（）≤f（）；‎ ‎（ii）a、b的几何平均数记为G．称为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）（i）利用函数解析式，求出f（1），f（），f（），根据等比数列的定义，即可得到结论；‎ ‎（ii）利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为{x|x≠﹣1}，‎ ‎∴当a＞b＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增；‎ 当0＜a＜b时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递减．‎ ‎（Ⅱ）（i）计算得f（1）=，f（）=，f（）=．‎ ‎∵‎ ‎∴f（1），f（），f（）成等比数列，‎ ‎∵a＞0，b＞0，∴≤‎ ‎∴f（）≤f（）；‎ ‎（ii）由（i）知f（）=，f（）=，‎ 故由H≤f（x）≤G，得f（）≤f（x）≤f（）．‎ 当a=b时，f（）=f（x）=f（）=f（1）=a，此时x的取值范围是（0，+∞），‎ 当a＞b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，这时有≤x≤，即x的取值范围为≤x≤；‎ 当a＜b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，这时有≤x≤，即x的取值范围为≤x≤．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2013•湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．‎ ‎（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；‎ ‎（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值；‎ ‎（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围．‎ ‎【解答】解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为 ‎，．其中a＞m＞n＞0，‎ ‎＞1．‎ ‎（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则 ‎，‎ ‎，‎ 所以．‎ 在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m，‎ 于是．‎ 若，则，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得．‎ 故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则．‎ ‎（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，‎ 不妨设直线l：y=kx（k＞0），‎ 点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则 ‎，所以d1=d2．‎ 又，所以，即|BD|=λ|AB|．‎ 由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，‎ ‎|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是．‎ 将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得 根据对称性可知xC=﹣xB，xD=﹣xA，于是 ‎②‎ 从而由①和②可得 ‎③‎ 令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．‎ 因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当，‎ 等价于，由λ＞1，解得，‎ 即，由λ＞1，解得，所以 当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2；‎ 当时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：wubh2011；qiss；sxs123；xintrl；sllwyn；wyz123；wfy814；ywg2058；minqi5；刘长柏；沂蒙松（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日