2013年福建省高考数学试卷（理科） 28页

‎2013年福建省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.‎ ‎1．（5分）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（　　）‎ A．588 B．480 C．450 D．120‎ ‎5．（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（　　）‎ A．14 B．13 C．12 D．10‎ ‎6．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（　　）‎ A．计算数列{2n﹣1}的前10项和 B．计算数列{2n﹣1}的前9项和 C．计算数列{2n﹣1}的前10项和 D．计算数列{2n﹣1}的前9项和 ‎7．（5分）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（　　）‎ A． B． C．5 D．10‎ ‎8．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（　　）‎ A．∀x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点 C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点 ‎9．（5分）已知等比数列{an}的公比为q，记bn=am（n﹣1）+1+am（n﹣1）+2+…+am（n﹣1）+m，cn=am（n﹣1）+1•am（n﹣1）+2•…•am（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确的是（　　）‎ A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为 D．数列{cn}为等比数列，公比为 ‎10．（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（　　）‎ A．A=N*，B=N B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}‎ C．A={x|0＜x＜1}，B=R D．A=Z，B=Q ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.‎ ‎11．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为　　．‎ ‎12．（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是　　．‎ ‎13．（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为　　．‎ ‎14．（4分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1‎ ‎，则该椭圆的离心率等于　　．‎ ‎15．（4分）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+xn+…=‎ 两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+xndx+…=dx 从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2‎ 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：‎ ‎×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．‎ ‎（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；‎ ‎（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？‎ ‎17．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）‎ ‎（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）的极值．‎ ‎18．（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi，交于点．‎ ‎（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；‎ ‎（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△‎ OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．‎ ‎19．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）‎ ‎（1）求证：CD⊥平面ADD1A1‎ ‎（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值 ‎（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）‎ ‎20．（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．‎ ‎（1）求函数f（x）与g（x）的解析式 ‎（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．‎ ‎　‎ 本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.‎ ‎21．（7分）选修4﹣2：矩阵与变换 已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1‎ ‎（I）求实数a，b的值 ‎（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标．‎ ‎22．（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．‎ ‎（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎23．设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且 ‎（Ⅰ）求a的值 ‎（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．‎ ‎　‎ ‎2013年福建省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.‎ ‎1．（5分）（2013•福建）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项．‎ ‎【解答】解：因为复数z的共轭复数，‎ 所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）．‎ z在复平面内对应的点位于第四象限．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2013•福建）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．‎ ‎【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；‎ 反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3‎ 故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2013•福建）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．‎ ‎【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，‎ 则顶点到渐近线的距离d=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2013•福建）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（　　）‎ A．588 B．480 C．450 D．120‎ ‎【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．‎ ‎【解答】解：根据频率分布直方图，‎ 成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8． ‎ 由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2013•福建）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（　　）‎ A．14 B．13 C．12 D．10‎ ‎【分析】由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠‎ ‎0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解．‎ ‎【解答】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；‎ 此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种．‎ ‎（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，‎ ‎∴△=4﹣4ab≥0，‎ ‎∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种，‎ 关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2013•福建）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（　　）‎ A．计算数列{2n﹣1}的前10项和 B．计算数列{2n﹣1}的前9项和 C．计算数列{2n﹣1}的前10项和 D．计算数列{2n﹣1}的前9项和 ‎【分析】‎ 从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．‎ ‎【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，‎ S=0，i=1；‎ 判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；‎ 判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；‎ 判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；‎ ‎…‎ 判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；‎ 判断i＞10成立，输出S=1+2+22+…+29．‎ 算法结束．‎ 故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前10项和．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2013•福建）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的面积为（　　）‎ A． B． C．5 D．10‎ ‎【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．‎ ‎【解答】解：因为在四边形ABCD中，，，=0，‎ 所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又，‎ ‎，‎ 该四边形的面积：==5．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2013•福建）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（　　）‎ A．∀x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点 C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点 ‎【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；‎ B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；‎ C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；‎ D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点．‎ ‎【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；‎ 对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；‎ 对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；‎ 对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2013•福建）已知等比数列{an}的公比为q，记bn=am（n﹣1）+1+am（n﹣1）+2+…+am（n﹣1）+m，cn=am（n﹣1）+1•am（n﹣1）+2•…•am（n﹣1）+m，（m，n∈N*），则以下结论一定正确的是（　　）‎ A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为 D．数列{cn}为等比数列，公比为 ‎【分析】①，当q=1时，bn=mam（n﹣1），bn+1=ma m（n﹣1）+m=mam（n﹣1）=bn，此时是常数列，可判断A，B两个选项 ‎②由于等比数列{an}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得，=，得出即可判断出C，D两个选项．‎ ‎【解答】解：①，当q=1时，bn=mam（n﹣1），bn+1=mam（n﹣1）+m=mam（n﹣1）=bn，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确；‎ 当q≠1时，，=，此时，选项B不正确，‎ 又bn+1﹣bn=，不是常数，故选项A不正确，‎ ‎②∵等比数列{an}的公比为q，∴，‎ ‎∴=，‎ ‎∴===，故C正确D不正确．‎ 综上可知：只有C正确．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2013•福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（　　）‎ A．A=N*，B=N B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}‎ C．A={x|0＜x＜1}，B=R D．A=Z，B=Q ‎【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．‎ ‎【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；‎ 对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，满足：‎ ‎（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”；‎ 对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f（x）|x∈A}；‎ ‎（ii）对任意 x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；‎ 前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.‎ ‎11．（4分）（2013•福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为　　．‎ ‎【分析】‎ 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件“3a﹣1＞0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．‎ ‎【解答】解：3a﹣1＞0即a＞，‎ 则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2013•福建）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是　12π　．‎ ‎【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，‎ 球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=，r=，‎ 所以球的表面积为：4πr2=12π．‎ 故答案为：12π．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2013•福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin ‎∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为　　．‎ ‎【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长．‎ ‎【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，‎ ‎∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°，‎ ‎∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，‎ 在△ABD中，AB=3，AD=3，‎ 根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3，‎ 则BD=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2013•福建）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于　　．‎ ‎【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而．‎ 设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．‎ 又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．‎ 设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．‎ ‎∴该椭圆的离心率e=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2013•福建）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+xn+…=‎ 两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+xndx+…=dx 从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2‎ 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：‎ ‎×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=　　．‎ ‎【分析】根据二项式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：二项式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n，‎ 对Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n 两边同时积分得：‎ 从而得到如下等式：=‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16．（13分）（2013•福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．‎ ‎（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；‎ ‎（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？‎ ‎【分析】（1）记“他们的累计得分X≤3”的事事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率．‎ ‎（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2，），X2～B（2，），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为 ‎，且两人抽奖中奖与否互不影响，‎ 记“他们的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，‎ 因为P（X=5）=，∴P（A）=1﹣P（X=5）=；‎ 即他们的累计得分x≤3的概率为．‎ ‎（2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，‎ 小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1）‎ 都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）‎ 由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，），‎ ‎∴E（X1）=2×=，E（X2）=2×=，‎ 从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=，‎ 由于E（2X1）＞E（3X2），‎ ‎∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2013•福建）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）‎ ‎（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f（x）的极值．‎ ‎【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；‎ ‎（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．‎ ‎（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，‎ 因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，‎ 所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），‎ 即x+y﹣2=0‎ ‎（2）由，x＞0知：‎ ‎①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；‎ ‎②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．‎ 又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．‎ 从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；‎ 当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2013•福建）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi，交于点．‎ ‎（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；‎ ‎（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．‎ ‎【分析】（I）由题意，求出过且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），即可得到直线OBi的方程为．联立方程 ‎，即可得到Pi满足的方程；‎ ‎（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S△OCM=S△OCN，可得|x1|=4|x2|．即x1=﹣4x2．联立即可得到k，进而得到直线方程．‎ ‎【解答】（I）证明：由题意，过且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），‎ ‎∴直线OBi的方程为．‎ 设Pi（x，y），由，解得，即x2=10y．‎ ‎∴点都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x2=10y．‎ ‎（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，‎ 联立消去y得到x2﹣10kx﹣100=0，‎ 此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，‎ 设为M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=10k，x1x2=﹣100，‎ ‎∵S△OCM=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．∴x1=﹣4x2．‎ 联立，解得．‎ ‎∴直线l的方程为．即为3x+2y﹣20=0或3x﹣2y+20=0．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2013•福建）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）‎ ‎（1）求证：CD⊥平面ADD1A1‎ ‎（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值 ‎（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1‎ 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）‎ ‎【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案 新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．‎ ‎【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形，‎ ‎∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，‎ 又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．‎ ‎∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，‎ ‎∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．‎ ‎（2）解：以D为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．‎ ‎∴，，．‎ 设平面AB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=﹣6k，x=3．∴．‎ 设AA1与平面AB1C所成角为θ，则===，解得k=1，故所求k=1．‎ ‎（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．‎ 写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．‎ ‎（1）求函数f（x）与g（x）的解析式 ‎（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．‎ ‎【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；‎ ‎（2）依题意，当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cosx＜⇒sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（，）内单调递增，而G（）＜0，G（）＞0，从而可得答案；‎ ‎（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈‎ Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，‎ ‎∴ω==2，‎ 又曲线y=f（x）的一个对称中心为，φ∈（0，π），‎ 故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，所以f（x）=cos2x．‎ 将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，‎ 再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，‎ ‎∴g（x）=sinx．‎ ‎（2）当x∈（，）时，＜sinx＜，0＜cosx＜，‎ ‎∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，‎ 问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解．‎ 设G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（，），‎ 则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx），‎ ‎∵x∈（，），‎ ‎∴G′（x）＞0，G（x）在（，）内单调递增，‎ 又G（）=﹣＜0，G（）=＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（，）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（，）满足题意．‎ ‎（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，‎ 当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，‎ ‎∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．‎ 现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣的解的情况．‎ 令h（x）=﹣，x∈（0，π）∪（π，2π），‎ 则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．‎ h′（x）=，令h′（x）=0，得x=或x=，‎ 当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（0，）‎ ‎（，π）‎ ‎（π，）‎ ‎（，2π）‎ h′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ h（x）‎ ‎↗‎ ‎1‎ ‎↘‎ ‎↘‎ ‎﹣1‎ ‎↗‎ 当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞，‎ 当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，‎ 当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，‎ 当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，‎ 故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；‎ 当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；‎ 当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；‎ 由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；‎ 又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671，‎ ‎∴依题意得n=671×2=1342．‎ 综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．‎ ‎　‎ 本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.‎ ‎21．（7分）（2013•福建）选修4﹣2：矩阵与变换 已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1‎ ‎（I）求实数a，b的值 ‎（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标．‎ ‎【分析】（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值；‎ ‎（II）由得，从而解得y0的值，又点P（x0，y0）在直线l上，即可求出点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），‎ 经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），则有=，‎ 可得，又点M′（x′，y′）在直线l′上，∴x+（b+2）y=1，‎ 可得，解得 ‎（II）由得，从而y0=0，‎ 又点P（x0，y0）在直线l上，∴x0=1，‎ ‎∴点P的坐标为（1，0）．‎ ‎　‎ ‎22．（7分）（2013•福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．‎ ‎（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）点A在直线l上，得，∴a=，‎ 故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2，‎ 得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0；‎ ‎（Ⅱ）消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1‎ 圆心C到直线l的距离d=＜1，‎ 所以直线l和⊙C相交．‎ ‎　‎ ‎23．（2013•福建）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且 ‎（Ⅰ）求a的值 ‎（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值．‎ ‎（Ⅱ）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x﹣2|的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为，‎ 所以且，‎ 解得，‎ 因为a∈N*，所以a的值为1．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，‎ 当且仅当（x+1）（x﹣2）≥0，即x≥2或x≤﹣1时取等号，‎ 所以函数f（x）的最小值为3．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；minqi5；沂蒙松；刘长柏；sxs123；sllwyn；wfy814（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日