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  • 2021-06-19 发布

2016年山东省高考数学试卷(理科)

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‎2016年山东省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求.‎ ‎1.(5分)若复数z满足2z+=3﹣2i,其中i为虚数单位,则z=(  )‎ A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i ‎2.(5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2﹣1<0},则A∪B=(  )‎ A.(﹣1,1) B.(0,1) C.(﹣1,+∞) D.(0,+∞)‎ ‎3.(5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(  )‎ A.56 B.60 C.120 D.140‎ ‎4.(5分)若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是(  )‎ A.4 B.9 C.10 D.12‎ ‎5.(5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为(  )‎ A.+π B.+π C.+π D.1+π ‎6.(5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.(5分)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx﹣sinx)的最小正周期是(  )‎ A. B.π C. D.2π ‎8.(5分)已知非零向量,满足4||=3||,cos<,>=.若⊥(t+),则实数t的值为(  )‎ A.4 B.﹣4 C. D.﹣‎ ‎9.(5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3﹣1;当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x);当x>时,f(x+)=f(x﹣).则f(6)=(  )‎ A.﹣2 B.1 C.0 D.2‎ ‎10.(5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(  )‎ A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为   .‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)若(ax2+)5的展开式中x5的系数是﹣80,则实数a=   .‎ ‎13.(5分)已知双曲线E:﹣=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是   .‎ ‎14.(5分)在[﹣1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x﹣5)2+y2=9相交”发生的概率为   .‎ ‎15.(5分)已知函数f(x)=,其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题,:本大题共6小题,共75分.‎ ‎16.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=+.‎ ‎(Ⅰ)证明:a+b=2c;‎ ‎(Ⅱ)求cosC的最小值.‎ ‎17.(12分)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.‎ ‎(I)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC;‎ ‎(Ⅱ)已知EF=FB=AC=2,AB=BC,求二面角F﹣BC﹣A的余弦值.‎ ‎18.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.‎ ‎(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎19.(12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:‎ ‎(I)“星队”至少猜对3个成语的概率;‎ ‎(II)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.‎ ‎20.(13分)已知f(x)=a(x﹣lnx)+,a∈R.‎ ‎(I)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(II)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.‎ ‎21.(14分)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎(i)求证:点M在定直线上;‎ ‎(ii)直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.‎ ‎ ‎ ‎2016年山东省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求.‎ ‎1.(5分)若复数z满足2z+=3﹣2i,其中i为虚数单位,则z=(  )‎ A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i ‎【分析】设出复数z,通过复数方程求解即可.‎ ‎【解答】解:复数z满足2z+=3﹣2i,‎ 设z=a+bi,‎ 可得:2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i.‎ 解得a=1,b=﹣2.‎ z=1﹣2i.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2﹣1<0},则A∪B=(  )‎ A.(﹣1,1) B.(0,1) C.(﹣1,+∞) D.(0,+∞)‎ ‎【分析】求解指数函数的值域化简A,求解一元二次不等式化简B,再由并集运算得答案.‎ ‎【解答】解:∵A={y|y=2x,x∈R}=(0,+∞),‎ B={x|x2﹣1<0}=(﹣1,1),‎ ‎∴A∪B=(0,+∞)∪(﹣1,1)=(﹣1,+∞).‎ 故选:C.‎ ‎【点评】‎ 本题考查并集及其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(  )‎ A.56 B.60 C.120 D.140‎ ‎【分析】根据已知中的频率分布直方图,先计算出自习时间不少于22.5小时的频率,进而可得自习时间不少于22.5小时的频数.‎ ‎【解答】解:自习时间不少于22.5小时的频率为:(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,‎ 故自习时间不少于22.5小时的频率为:0.7×200=140,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是(  )‎ A.4 B.9 C.10 D.12‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域,然后结合x2+y2的几何意义,即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值.‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ ‎∵A(0,﹣3),C(0,2),‎ ‎∴|OA|>|OC|,‎ 联立,解得B(3,﹣1).‎ ‎∵,‎ ‎∴x2+y2的最大值是10.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为(  )‎ A.+π B.+π C.+π D.1+π ‎【分析】由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个半球,下部是一个四棱锥,进而可得答案.‎ ‎【解答】‎ 解:由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个半球,下部是一个四棱锥,‎ 半球的直径为棱锥的底面对角线,‎ 由棱锥的底底面棱长为1,可得2R=.‎ 故R=,故半球的体积为:=π,‎ 棱锥的底面面积为:1,高为1,‎ 故棱锥的体积V=,‎ 故组合体的体积为:+π,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”,反之不成立.‎ ‎【解答】解:直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”,‎ 反之不成立.‎ ‎∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx﹣sinx)的最小正周期是(  )‎ A. B.π C. D.2π ‎【分析】‎ 利用和差角及二倍角公式,化简函数的解析式,进而可得函数的周期.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx﹣sinx)=2sin(x+)•2cos(x+)=2sin(2x+),‎ ‎∴T=π,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式,三角函数的周期,难度中档.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)已知非零向量,满足4||=3||,cos<,>=.若⊥(t+),则实数t的值为(  )‎ A.4 B.﹣4 C. D.﹣‎ ‎【分析】若⊥(t+),则•(t+)=0,进而可得实数t的值.‎ ‎【解答】解:∵4||=3||,cos<,>=,⊥(t+),‎ ‎∴•(t+)=t•+2=t||•||•+||2=()||2=0,‎ 解得:t=﹣4,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,向量垂直的充要条件,难度不大,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3﹣1;当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x);当x>时,f(x+)=f(x﹣).则f(6)=(  )‎ A.﹣2 B.1 C.0 D.2‎ ‎【分析】求得函数的周期为1,再利用当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x),得到f(1)=﹣f(﹣1),当x<0时,f(x)=x3﹣1,得到f(﹣1)=﹣2,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵当x>时,f(x+)=f(x﹣),‎ ‎∴当x>时,f(x+1)=f(x),即周期为1.‎ ‎∴f(6)=f(1),‎ ‎∵当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x),‎ ‎∴f(1)=﹣f(﹣1),‎ ‎∵当x<0时,f(x)=x3﹣1,‎ ‎∴f(﹣1)=﹣2,‎ ‎∴f(1)=﹣f(﹣1)=2,‎ ‎∴f(6)=2.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查函数值的计算,考查函数的周期性,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(  )‎ A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3‎ ‎【分析】若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则函数y=f(x)的导函数上存在两点,使这点的导函数值乘积为﹣1,进而可得答案.‎ ‎【解答】解:函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,‎ 则函数y=f(x)的导函数上存在两点,使这点的导函数值乘积为﹣1,‎ 当y=sinx时,y′=cosx,满足条件;‎ 当y=lnx时,y′=>0恒成立,不满足条件;‎ 当y=ex时,y′=ex>0恒成立,不满足条件;‎ 当y=x3时,y′=3x2>0恒成立,不满足条件;‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,转化思想,难度中档.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为 3 .‎ ‎ ‎ ‎【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值,模拟程序的运行过程,可得答案.‎ ‎【解答】解:∵输入的a,b的值分别为0和9,i=1.‎ 第一次执行循环体后:a=1,b=8,不满足条件a>b,故i=2;‎ 第二次执行循环体后:a=3,b=6,不满足条件a>b,故i=3;‎ 第三次执行循环体后:a=6,b=3,满足条件a>b,‎ 故输出的i值为:3,‎ 故答案为:3‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)若(ax2+)5的展开式中x5的系数是﹣80,则实数a= ﹣2 .‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=(ax2)5﹣r,化简可得求的x5的系数.‎ ‎【解答】解:(ax2+)5的展开式的通项公式Tr+1=(ax2)5﹣r=a5﹣r,‎ 令10﹣=5,解得r=2.‎ ‎∵(ax2+)5的展开式中x5的系数是﹣80‎ ‎∴a3=﹣80,‎ 得a=﹣2.‎ ‎【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数,属常规题型.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)已知双曲线E:﹣=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 2 .‎ ‎【分析】可令x=c,代入双曲线的方程,求得y=±,再由题意设出A,B,C,D的坐标,由2|AB|=3|BC|,可得a,b,c的方程,运用离心率公式计算即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:令x=c,代入双曲线的方程可得y=±b=±,‎ 由题意可设A(﹣c,),B(﹣c,﹣),C(c,﹣),D(c,),‎ 由2|AB|=3|BC|,可得 ‎2•=3•2c,即为2b2=3ac,‎ 由b2=c2﹣a2,e=,可得2e2﹣3e﹣2=0,‎ 解得e=2(负的舍去).‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用方程的思想,正确设出A,B,C,D的坐标是解题的关键,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)在[﹣1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x﹣5)2+y2=9相交”发生的概率为  .‎ ‎【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交,可求出满足条件的k,最后根据几何概型的概率公式可求出所求.‎ ‎【解答】解:圆(x﹣5)2+y2=9的圆心为(5,0),半径为3.‎ 圆心到直线y=kx的距离为,‎ 要使直线y=kx与圆(x﹣5)2+y2=9相交,则<3,解得﹣<k<.‎ ‎∴在区间[﹣1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx与圆(x﹣5)2+y2=9相交相交的概率为=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查了几何概型的概率,以及直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)已知函数f(x)=,其中m>‎ ‎0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 (3,+∞) .‎ ‎【分析】作出函数f(x)=的图象,依题意,可得4m﹣m2<m(m>0),解之即可.‎ ‎【解答】解:当m>0时,函数f(x)=的图象如下:‎ ‎∵x>m时,f(x)=x2﹣2mx+4m=(x﹣m)2+4m﹣m2>4m﹣m2,‎ ‎∴y要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,‎ 必须4m﹣m2<m(m>0),‎ 即m2>3m(m>0),‎ 解得m>3,‎ ‎∴m的取值范围是(3,+∞),‎ 故答案为:(3,+∞).‎ ‎【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断,数形结合思想的运用是关键,分析得到4m﹣m2<m是难点,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题,:本大题共6小题,共75分.‎ ‎16.(12分)在△‎ ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=+.‎ ‎(Ⅰ)证明:a+b=2c;‎ ‎(Ⅱ)求cosC的最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由切化弦公式,带入并整理可得2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+cosB,这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC,从而根据正弦定理便可得出a+b=2c;‎ ‎(Ⅱ)根据a+b=2c,两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2,从而得出a2+b2=4c2﹣2ab,并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab,也就得到了,这样由余弦定理便可得出,从而得出cosC的范围,进而便可得出cosC的最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:由得:‎ ‎;‎ ‎∴两边同乘以cosAcosB得,2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+sinB;‎ ‎∴2sin(A+B)=sinA+sinB;‎ 即sinA+sinB=2sinC(1);‎ 根据正弦定理,;‎ ‎∴,带入(1)得:;‎ ‎∴a+b=2c;‎ ‎(Ⅱ)a+b=2c;‎ ‎∴(a+b)2=a2+b2+2ab=4c2;‎ ‎∴a2+b2=4c2﹣2ab,且4c2≥4ab,当且仅当a=b时取等号;‎ 又a,b>0;‎ ‎∴;‎ ‎∴由余弦定理,=;‎ ‎∴cosC的最小值为.‎ ‎【点评】考查切化弦公式,两角和的正弦公式,三角形的内角和为π,以及三角函数的诱导公式,正余弦定理,不等式a2+b2≥2ab的应用,不等式的性质.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.‎ ‎(I)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC;‎ ‎(Ⅱ)已知EF=FB=AC=2,AB=BC,求二面角F﹣BC﹣A的余弦值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)取FC中点Q,连结GQ、QH,推导出平面GQH∥平面ABC,由此能证明GH∥平面ABC.‎ ‎(Ⅱ)由AB=BC,知BO⊥AC,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OO′为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)取FC中点Q,连结GQ、QH,‎ ‎∵G、H为EC、FB的中点,‎ ‎∴GQ,QH,‎ 又∵EF∥BO,∴GQ∥BO,‎ ‎∵QH∩GQ=Q,BC∩BO=B,‎ ‎∴平面GQH∥平面ABC,‎ ‎∵GH⊂面GQH,∴GH∥平面ABC.‎ 解:(Ⅱ)∵AB=BC,∴BO⊥AC,‎ 又∵OO′⊥面ABC,‎ ‎∴以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OO′为z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则A(,0,0),C(﹣2,0,0),B(0,2,0),O′(0,0,3),F(0,,3),‎ ‎=(﹣2,﹣,﹣3),=(2,2,0),‎ 由题意可知面ABC的法向量为=(0,0,3),‎ 设=(x0,y0,z0)为面FCB的法向量,‎ 则,即,‎ 取x0=1,则=(1,﹣1,﹣),‎ ‎∴cos<,>==﹣.‎ ‎∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角,‎ ‎∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为.‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.‎ ‎(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式,再求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求出数列{cn}的通项,利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)Sn=3n2+8n,‎ ‎∴n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5,‎ n=1时,a1=S1=11,∴an=6n+5;‎ ‎∵an=bn+bn+1,‎ ‎∴an﹣1=bn﹣1+bn,‎ ‎∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1.‎ ‎∴2d=6,‎ ‎∴d=3,‎ ‎∵a1=b1+b2,‎ ‎∴11=2b1+3,‎ ‎∴b1=4,‎ ‎∴bn=4+3(n﹣1)=3n+1;‎ ‎(Ⅱ)cn========6(n+1)•2n,‎ ‎∴Tn=6[2•2+3•22+…+(n+1)•2n]①,‎ ‎∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1]②,‎ ‎①﹣②可得 ‎﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣(n+1)•2n+1]‎ ‎=12+6×﹣6(n+1)•2n+1‎ ‎=(﹣6n)•2n+1=﹣3n•2n+2,‎ ‎∴Tn=3n•2n+2.‎ ‎【点评】本题考查数列的通项与求和,着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用,考查分析与运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是 ‎;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:‎ ‎(I)“星队”至少猜对3个成语的概率;‎ ‎(II)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.‎ ‎【分析】(I)“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个,乙猜对2个”,“甲猜对2个,乙猜对1个”,“甲猜对2个,乙猜对2个”三个基本事件,进而可得答案;‎ ‎(II)由已知可得:“星队”两轮得分之和为X可能为:0,1,2,3,4,6,进而得到X的分布列和数学期望.‎ ‎【解答】解:(I)“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个,乙猜对2个”,“甲猜对2个,乙猜对1个”,“甲猜对2个,乙猜对2个”三个基本事件,‎ 故概率P=++=++=,‎ ‎(II)“星队”两轮得分之和为X可能为:0,1,2,3,4,6,‎ 则P(X=0)==,‎ P(X=1)=2×[+]=,‎ P(X=2)=+++=,‎ P(X=3)=2×=,‎ P(X=4)=2×[+]=‎ P(X=6)==‎ 故X的分布列如下图所示:‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,属中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)已知f(x)=a(x﹣lnx)+,a∈R.‎ ‎(I)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(II)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出原函数的导函数,然后对a分类分析导函数的符号,由导函数的符号确定原函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)构造函数F(x)=f(x)﹣f′(x),令g(x)=x﹣lnx,h(x)=.则F(x)=f(x)﹣f′(x)=g(x)+h(x),利用导数分别求g(x)与h(x)的最小值得到F(x)>恒成立.由此可得f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=a(x﹣lnx)+,‎ 得f′(x)=a(1﹣)+‎ ‎==(x>0).‎ 若a≤0,则ax2﹣2<0恒成立,‎ ‎∴当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,‎ 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;‎ 当a>0,若0<a<2,当x∈(0,1)和(,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,‎ 当x∈(1,)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;‎ 若a=2,f′(x)≥0恒成立,f(x)在(0,+∞)上为增函数;‎ 若a>2,当x∈(0,)和(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,‎ 当x∈(,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;‎ ‎(Ⅱ)解:∵a=1,‎ 令F(x)=f(x)﹣f′(x)=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+‎ ‎.‎ 令g(x)=x﹣lnx,h(x)=.‎ 则F(x)=f(x)﹣f′(x)=g(x)+h(x),‎ 由,可得g(x)≥g(1)=1,当且仅当x=1时取等号;‎ 又,‎ 设φ(x)=﹣3x2﹣2x+6,则φ(x)在[1,2]上单调递减,‎ 且φ(1)=1,φ(2)=﹣10,‎ ‎∴在[1,2]上存在x0,使得x∈(1,x0) 时φ(x0)>0,x∈(x0,2)时,φ(x0)<0,‎ ‎∴函数h(x)在(1,x0)上单调递增;在(x0,2)上单调递减,‎ 由于h(1)=1,h(2)=,因此h(x)≥h(2)=,当且仅当x=2取等号,‎ ‎∴f(x)﹣f′(x)=g(x)+h(x)>g(1)+h(2)=,‎ ‎∴F(x)>恒成立.‎ 即f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.‎ ‎【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,是压轴题.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎(i)求证:点M在定直线上;‎ ‎(ii)直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.‎ ‎【分析】(I)运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标,以及椭圆的a,b,c的关系,解得a,b,进而得到椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)(i)设P(x0,y0),运用导数求得切线的斜率和方程,代入椭圆方程,运用韦达定理,可得中点D的坐标,求得OD的方程,再令x=x0,可得y=﹣.进而得到定直线;‎ ‎(ii)由直线l的方程为y=x0x﹣y0,令x=0,可得G(0,﹣y0),运用三角形的面积公式,可得S1=|FG|•|x0|=x0•(+y0),S2=|PM|•|x0﹣|,化简整理,再1+2x02=t(t≥1),整理可得t的二次方程,进而得到最大值及此时P的坐标.‎ ‎【解答】解:(I)由题意可得e==,抛物线E:x2=2y的焦点F为(0,),‎ 即有b=,a2﹣c2=,‎ 解得a=1,c=,‎ 可得椭圆的方程为x2+4y2=1;‎ ‎(Ⅱ)(i)证明:设P(x0,y0),可得x02=2y0,‎ 由y=x2的导数为y′=x,即有切线的斜率为x0,‎ 则切线的方程为y﹣y0=x0(x﹣x0),‎ 可化为y=x0x﹣y0,代入椭圆方程,‎ 可得(1+4x02)x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0,‎ ‎△=64x02y02﹣4(1+4x02)(4y02﹣1)>0,可得1+4x02>4y02.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 可得x1+x2=,即有中点D(,﹣),‎ 直线OD的方程为y=﹣x,可令x=x0,可得y=﹣.‎ 即有点M在定直线y=﹣上;‎ ‎(ii)直线l的方程为y=x0x﹣y0,令x=0,可得G(0,﹣y0),‎ 则S1=|FG|•|x0|=x0•(+y0)=x0(1+x02);‎ S2=|PM|•|x0﹣|=(y0+)•=x0•,‎ 则=,‎ 令1+2x02=t(t≥1),则==‎ ‎==2+﹣=﹣(﹣)2+,‎ 则当t=2,即x0=时,取得最大值,‎ 此时点P的坐标为(,).‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标,考查直线和抛物线斜的条件,以及直线方程的运用,考查三角形的面积的计算,以及化简整理的运算能力,属于难题.‎ ‎ ‎