2016年山东省高考数学试卷（理科） 24页

‎2016年山东省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.‎ ‎1．（5分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（　　）‎ A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i ‎2．（5分）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）‎ A．56 B．60 C．120 D．140‎ ‎4．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（　　）‎ A．4 B．9 C．10 D．12‎ ‎5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）‎ A．+π B．+π C．+π D．1+π ‎6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．（5分）函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（　　）‎ A． B．π C． D．2π ‎8．（5分）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（　　）‎ A．4 B．﹣4 C． D．﹣‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（　　）‎ A．﹣2 B．1 C．0 D．2‎ ‎10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）‎ A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为　 　．‎ ‎ ‎ ‎12．（5分）若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=　 　．‎ ‎13．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　 　．‎ ‎14．（5分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为　 　．‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题,：本大题共6小题，共75分.‎ ‎16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=2c；‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值．‎ ‎17．（12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．‎ ‎（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．‎ ‎18．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎19．（12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；‎ ‎（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．‎ ‎20．（13分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．‎ ‎（I）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．‎ ‎21．（14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．‎ ‎（i）求证：点M在定直线上；‎ ‎（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎2016年山东省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.‎ ‎1．（5分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（　　）‎ A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i ‎【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．‎ ‎【解答】解：复数z满足2z+=3﹣2i，‎ 设z=a+bi，‎ 可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．‎ 解得a=1，b=﹣2．‎ z=1﹣2i．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案．‎ ‎【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），‎ B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），‎ ‎∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）‎ A．56 B．60 C．120 D．140‎ ‎【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．‎ ‎【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，‎ 故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（　　）‎ A．4 B．9 C．10 D．12‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ ‎∵A（0，﹣3），C（0，2），‎ ‎∴|OA|＞|OC|，‎ 联立，解得B（3，﹣1）．‎ ‎∵，‎ ‎∴x2+y2的最大值是10．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）‎ A．+π B．+π C．+π D．1+π ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．‎ ‎【解答】‎ 解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，‎ 半球的直径为棱锥的底面对角线，‎ 由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．‎ 故R=，故半球的体积为：=π，‎ 棱锥的底面面积为：1，高为1，‎ 故棱锥的体积V=，‎ 故组合体的体积为：+π，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．‎ ‎【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，‎ 反之不成立．‎ ‎∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（　　）‎ A． B．π C． D．2π ‎【分析】‎ 利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos（x+）=2sin（2x+），‎ ‎∴T=π，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（　　）‎ A．4 B．﹣4 C． D．﹣‎ ‎【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．‎ ‎【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），‎ ‎∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，‎ 解得：t=﹣4，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（　　）‎ A．﹣2 B．1 C．0 D．2‎ ‎【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），‎ ‎∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．‎ ‎∴f（6）=f（1），‎ ‎∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），‎ ‎∴f（1）=﹣f（﹣1），‎ ‎∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，‎ ‎∴f（﹣1）=﹣2，‎ ‎∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，‎ ‎∴f（6）=2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）‎ A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3‎ ‎【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，‎ 则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，‎ 当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；‎ 当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；‎ 当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；‎ 当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为　3　．‎ ‎ ‎ ‎【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．‎ 第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＞b，故i=2；‎ 第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＞b，故i=3；‎ 第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＞b，‎ 故输出的i值为：3，‎ 故答案为：3‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=　﹣2　．‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=（ax2）5﹣r，化简可得求的x5的系数．‎ ‎【解答】解：（ax2+）5的展开式的通项公式Tr+1=（ax2）5﹣r=a5﹣r，‎ 令10﹣=5，解得r=2．‎ ‎∵（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80‎ ‎∴a3=﹣80，‎ 得a=﹣2．‎ ‎【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　2　．‎ ‎【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，‎ 由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），‎ 由2|AB|=3|BC|，可得 ‎2•=3•2c，即为2b2=3ac，‎ 由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，‎ 解得e=2（负的舍去）．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为　　．‎ ‎【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．‎ 圆心到直线y=kx的距离为，‎ 要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．‎ ‎∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞‎ ‎0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　（3，+∞）　．‎ ‎【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．‎ ‎【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：‎ ‎∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，‎ ‎∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，‎ 必须4m﹣m2＜m（m＞0），‎ 即m2＞3m（m＞0），‎ 解得m＞3，‎ ‎∴m的取值范围是（3，+∞），‎ 故答案为：（3，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m2＜m是难点，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题,：本大题共6小题，共75分.‎ ‎16．（12分）在△‎ ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=2c；‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由切化弦公式，带入并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；‎ ‎（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：‎ ‎；‎ ‎∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；‎ ‎∴2sin（A+B）=sinA+sinB；‎ 即sinA+sinB=2sinC（1）；‎ 根据正弦定理，；‎ ‎∴，带入（1）得：；‎ ‎∴a+b=2c；‎ ‎（Ⅱ）a+b=2c；‎ ‎∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；‎ ‎∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；‎ 又a，b＞0；‎ ‎∴；‎ ‎∴由余弦定理，=；‎ ‎∴cosC的最小值为．‎ ‎【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的应用，不等式的性质．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．‎ ‎（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．‎ ‎（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，‎ ‎∵G、H为EC、FB的中点，‎ ‎∴GQ，QH，‎ 又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，‎ ‎∵QH∩GQ=Q，BC∩BO=B，‎ ‎∴平面GQH∥平面ABC，‎ ‎∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．‎ 解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，‎ 又∵OO′⊥面ABC，‎ ‎∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），‎ ‎=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），‎ 由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），‎ 设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，‎ 则，即，‎ 取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），‎ ‎∴cos＜，＞==﹣．‎ ‎∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，‎ ‎∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．‎ ‎（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，‎ ‎∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，‎ n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；‎ ‎∵an=bn+bn+1，‎ ‎∴an﹣1=bn﹣1+bn，‎ ‎∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．‎ ‎∴2d=6，‎ ‎∴d=3，‎ ‎∵a1=b1+b2，‎ ‎∴11=2b1+3，‎ ‎∴b1=4，‎ ‎∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；‎ ‎（Ⅱ）cn========6（n+1）•2n，‎ ‎∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，‎ ‎∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，‎ ‎①﹣②可得 ‎﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]‎ ‎=12+6×﹣6（n+1）•2n+1‎ ‎=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，‎ ‎∴Tn=3n•2n+2．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是 ‎；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；‎ ‎（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．‎ ‎【分析】（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；‎ ‎（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，‎ 故概率P=++=++=，‎ ‎（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，‎ 则P（X=0）==，‎ P（X=1）=2×[+]=，‎ P（X=2）=+++=，‎ P（X=3）=2×=，‎ P（X=4）=2×[+]=‎ P（X=6）==‎ 故X的分布列如下图所示：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 6‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．‎ ‎（I）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（x）=．则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+，‎ 得f′（x）=a（1﹣）+‎ ‎==（x＞0）．‎ 若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，‎ ‎∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，‎ 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；‎ 当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，‎ 当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；‎ 若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；‎ 若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，‎ 当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；‎ ‎（Ⅱ）解：∵a=1，‎ 令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+‎ ‎．‎ 令g（x）=x﹣lnx，h（x）=．‎ 则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），‎ 由，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号；‎ 又，‎ 设φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，‎ 且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，‎ ‎∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0） 时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，‎ ‎∴函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，‎ 由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，当且仅当x=2取等号，‎ ‎∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=，‎ ‎∴F（x）＞恒成立．‎ 即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．‎ ‎【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．‎ ‎（i）求证：点M在定直线上；‎ ‎（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．‎ ‎【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）（i）设P（x0，y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x0，可得y=﹣．进而得到定直线；‎ ‎（ii）由直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式，可得S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0），S2=|PM|•|x0﹣|，化简整理，再1+2x02=t（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标．‎ ‎【解答】解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），‎ 即有b=，a2﹣c2=，‎ 解得a=1，c=，‎ 可得椭圆的方程为x2+4y2=1；‎ ‎（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，‎ 由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，‎ 则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），‎ 可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，‎ 可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，‎ ‎△=64x02y02﹣4（1+4x02）（4y02﹣1）＞0，可得1+4x02＞4y02．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），‎ 直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．‎ 即有点M在定直线y=﹣上；‎ ‎（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），‎ 则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；‎ S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，‎ 则=，‎ 令1+2x02=t（t≥1），则==‎ ‎==2+﹣=﹣（﹣）2+，‎ 则当t=2，即x0=时，取得最大值，‎ 此时点P的坐标为（，）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．‎ ‎　‎