2020版高中数学 第二章 数列同步精选测试 5页

同步精选测试　等差数列前n项和的综合应用 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.等差数列前n项和为Sn，若a3＝4，S3＝9，则S5－a5＝(　　)‎ A.14　　　B‎.19　　‎　 C.28　　　D.60‎ ‎【解析】　在等差数列{an}中，a3＝4，S3＝‎3a2＝9，∴a2＝3，S5－a5＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a2＋a3)＝2×7＝14.‎ ‎【答案】　A ‎2.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是(　　)‎ A.S7 B.S‎8 C.S13 D.S15‎ ‎【解析】　a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3(a1＋6d)＝‎3a7＝3×＝×＝S13.‎ 于是可知S13是常数.‎ ‎【答案】　C ‎3.已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为(　　)‎ A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 ‎【解析】　由得 所以故|a6|>|a7|.‎ ‎【答案】　C ‎4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) ‎ ‎【导学号：18082091】‎ A.63 B‎.45 C.36 D.27‎ ‎【解析】　∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.‎ ‎【答案】　B ‎5.若数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2(n∈N＋)，则当n≥2时，下列不等式成立的是(　　)‎ A.Sn＞na1＞nan B.Sn＞nan＞na1‎ 5‎ C.na1＞Sn＞nan D.nan＞Sn＞na1‎ ‎【解析】　由an＝ 解得an＝ 所以an＝5－4n，‎ 所以na1＝n，nan＝5n－4n2.‎ 因为na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)＞0，‎ Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n＞0，‎ 所以na1＞Sn＞nan.‎ ‎【答案】　C 二、填空题 ‎6.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15，则Sn＝________. ‎ ‎【导学号：18082092】‎ ‎【解析】　法一：由 得 解得a1＝1，d＝1，∴Sn＝n×1＋×1＝n2＋n.‎ 法二：设Sn＝An2＋Bn，∵S3＝6，S5＝15‎ ‎∴即 解得A＝，B＝，∴Sn＝n2＋n.‎ ‎【答案】　n2＋n ‎7.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足50，‎ ‎∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.‎ 故当n＝5或6时，Sn最大.‎ ‎【答案】　5或6‎ 三、解答题 ‎9.已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.‎ 5‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？‎ ‎【解】　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，‎ 得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.‎ ‎(2)法一：a1＝9，d＝－2，‎ Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n ‎＝－(n－5)2＋25，‎ ‎∴当n＝5时，Sn取得最大值.‎ 法二：由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.‎ 令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.‎ ‎∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.‎ ‎∴当n＝5时，Sn取得最大值.‎ ‎10.若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. ‎ ‎【导学号：18082093】‎ ‎【解】　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.‎ 当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ‎＝na1＋d＝13n＋×(－4)‎ ‎＝15n－2n2；‎ 当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|‎ ‎＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)‎ ‎＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn ‎＝2×－(15n－2n2)‎ ‎＝2n2－15n＋56.‎ ‎∴Tn＝ ‎[能力提升]‎ ‎1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　)‎ A.12 B‎.14 C.16 D.18‎ ‎【解析】　Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，‎ S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，‎ 所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，‎ 5‎ 由Sn＝＝210，得n＝14.‎ ‎【答案】　B ‎2.若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)‎ A.6 B‎.7 C.8 D.9‎ ‎【解析】　因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有 所以所以≤k≤.‎ 因为k∈N＋，所以k＝7.‎ 故满足条件的n的值为7.‎ ‎【答案】　B ‎3.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________.‎ ‎【解析】　设等差数列{an}的项数为2n＋1，‎ S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1‎ ‎＝ ‎＝(n＋1)an＋1，‎ S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝ ‎＝nan＋1，‎ 所以＝＝，‎ 解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，‎ S奇－S偶＝an＋1，‎ 即a4＝44－33＝11为所求中间项.‎ ‎【答案】　11　7‎ ‎4.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.‎ ‎(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；‎ ‎(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；‎ ‎(3){Sn}有多少项大于零？‎ ‎【解】　(1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.图象如图.‎ 5‎ ‎(2)Sn＝－n2＋13n＝－＋，n∈N＋，‎ ‎∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减.‎ ‎{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.‎ ‎(3)由图象得{Sn}中有12项大于零.‎ 5‎