2020年高中数学 第三章 不等式 5页

‎3.2.2‎‎ 一元二次不等式的应用 ‎ [A　基础达标]‎ ‎1．不等式≥2的解集是(　　)‎ A.　　　　　　 B． C.∪(1，3] D．∪(1，3]‎ 解析：选D.因为(x－1)2＞0，‎ 由≥2可得x＋5≥2(x－1)2且x≠1.‎ 所以2x2－5x－3≤0且x≠1，‎ 所以－≤x≤3且x≠1.‎ 所以不等式的解集是∪(1，3]．‎ ‎2．已知集合M＝，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于(　　)‎ A．M∩N B．M∪N C．∁R(M∩N) D．∁R(M∪N)‎ 解析：选D.＜0⇔(x＋3)(x－1)＜0，故集合M可化为{x|－3＜x＜1}，将集合M和集合N在数轴上表示出来(如图)，易知答案．‎ ‎3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的集合是(　　)‎ A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a＜4}‎ C．{a|0＜a≤4} D．{a|0≤a≤4}‎ 解析：选D.若a＝0时符合题意，若a＞0时，相应二次方程中的Δ＝a2－‎4a≤0，得{a|0＜a≤4}，综上得{a|0≤a≤4}，故选D.‎ ‎4．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B． C. D．(1，＋∞)‎ 解析：选B.A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax 5‎ ‎－1的对称轴为x＝a>0，f(－3)＝‎6a＋8>0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所以即≤a<.‎ ‎5．在R上定义运算：AB＝A(1－B)，若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．－10对x∈R恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝‎4a2－‎4a－3<0，所以(‎2a－3)(‎2a＋1)<0，即－1.‎ 解：因为函数f(x)是二次函数，所以a≠0，‎ 因为Δ＝(a＋2)2－‎4a＝a2＋4>0，‎ 又二次方程ax2－(a＋2)x＋1＝0在(－2，－1)上只有一个实数根，所以f(－2)f(－1)<0，‎ 而f(－2)＝‎6a＋5，f(－1)＝‎2a＋3，‎ 所以(‎6a＋5)(‎2a＋3)<0，所以－1可化为－x2－x＋1>1，解得－1400，‎ 即x2－30x＋200<0，‎ 因为方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，‎ 5‎ 所以x2－30x＋200<0的解为100的解集为{x|－1bx的解集为________．‎ 解析：依题意，－1和2都是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a<0.‎ 因此，即 于是，不等式＋c>bx可化为－‎2a>－ax.‎ 因为a<0，所以－2<－x，即<0，‎ 当x＝1时，不等式不成立；‎ 当x≠1时，得x<0.‎ 所以，所求不等式的解集为{x|x<0}．‎ 答案：{x|x<0}‎ ‎13．解下列不等式：‎ ‎(1)(x－1)(x－2)(3－x)>0；‎ ‎(2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0；‎ ‎(3)1＋x－x3－x4>0.‎ 解：(1)因为(x－1)(x－2)(3－x)>0.‎ 所以(x－1)(x－2)(x－3)<0，‎ 又因为方程(x－1)(x－2)(x－3)＝0的根是x1＝1，‎ x2＝2，x3＝3.‎ 画出数轴、标出根、再穿线如图(1)所示．‎ 所以原不等式的解集为{x|x<1或20，‎ 所以原不等式等价于(x＋1)(x－1)<0，‎ 所以原不等式的解集为{x|－1