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  • 2021-06-15 发布

高中数学第三章不等式3-2一元二次不等式及其解法第2课时一元二次不等式的应用达标检测含解析新人教A版必修5

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一元二次不等式的应用 A级 基础巩固 一、选择题 ‎1.设集合P={m|-4<m<0},Q={mx2-mx-1<0,x∈R},则下列关系式成立的是(  )‎ A.PQ B.QP C.P=Q D.P∩Q=Q 解析:对Q:若mx2-mx-1<0对x∈R恒成立,‎ 则:①当m=0时⇒-1<0恒成立.‎ ‎②当m≠0时⇒ 解得-4<m<0.‎ 由①②得Q={m|-4<m≤0},‎ 所以P Q.‎ 答案:A ‎2.在R上定义运算⊙:A⊙B=A(1-B),若不等式(x-a)⊙(x+a)<1对任意的实数x∈R恒成立,则实数a的取值范围为(  )‎ A.-10对任意实数x恒成立,‎ 所以Δ=1-4(-a2+a+1)<0,‎ 解得-0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集为(  )‎ A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(1,2)‎ C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2)‎ 解析:x=1为ax-b=0的根,所以a-b=0,即a=b,‎ 因为ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,‎ 故=>0,‎ 转化为(x+1)(x-2)>0.‎ 所以x>2或x<-1.‎ 答案:C 二、填空题 ‎6.不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0的解集为R,则m的取值范围为________.‎ 解析:①若m2-2m-3=0,即m=3或m=-1,‎ m=3时,原式化为-1<0,显然成立,‎ m=-1时,原式不恒成立,故m≠-1.‎ ‎②若m2-2m-3≠0,则 解得-0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a=________.‎ 解析:因为(x-a)(x+1)>0与>0同解,‎ 所以(x-a)(x+1)>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),‎ - 4 -‎ 所以4,-1是(x-a)(x+1)=0的根,‎ 所以a=4.‎ 答案:4‎ ‎8.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.‎ 解析:若二次函数f(x)对于任意x∈[m,m+1],‎ 都有f(x)<0成立,‎ 则 解得-400,解得15≤x<20.‎ 所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入,应当制订这批台灯的销售价格区间为x∈[15,20).‎ ‎10.已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.对于任意的x∈[0,2],均有不等式f(x)≤a成立,试求a的取值范围.‎ 解:因为f(x)-a=x2-2ax-1,所以要使得“∀x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.‎ 不妨设g(x)=x2-2ax-1,‎ 则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.‎ 所以即解得a≥.‎ 故a的取值范围为.‎ B级 能力提升 ‎1.已知a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为(  )‎ A.(-∞,2)∪(3,+∞) B.(-∞,1)∪(2,+∞)‎ C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(1,3)‎ 解析:把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则由 - 4 -‎ f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,可得f(-1)=x2-5x+6>0,且f(1)=x2-3x+2>0,解得x<1或x>3.‎ 答案:C ‎2.设x2-2x+a-8≤0对于任意x∈(1,3)恒成立,则a的取值范围是________.‎ 解析:原不等式x2-2x+a-8≤0转化为a≤-x2+2x+8对任意x∈(1,3)恒成立,设f(x)=-x2+2x+8,易知f(x)在[1,3]上的最小值为f(3)=5.‎ 所以a∈(-∞,5].‎ 答案:(-∞,5]‎ ‎3.设g(x)=x2-mx+1.‎ ‎(1)若≥0对任意x>0恒成立,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)讨论关于x的不等式g(x)≥0的解集.‎ 解:(1)由题意,若≥0对任意x>0恒成立,‎ 即为x-m+≥0对x>0恒成立,‎ 即有m≤x+的最小值,由x+≥2,可得x=1时,取得最小值2,可得m≤2;‎ ‎(2)当Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2时,g(x)≥0的解集为R;‎ 当Δ>0,即m>2或m<-2时,方程x2-mx+1=0的两根为,,‎ 可得g(x)≥0的解集为(-∞,]∪[,+∞).‎ - 4 -‎