2020版高中数学第四章用数学归纳法证明不等式举例 7页

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2021-06-19 发布

2020版高中数学第四章用数学归纳法证明不等式举例

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二　用数学归纳法证明不等式举例课后篇巩固探究 ‎1.用数学归纳法证明1++…+1)时,第一步是证下述哪个不等式成立(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.1<2 B.1+<2‎ C.1+<2 D.1+<2‎ 解析当n=2时,左边=1+,右边=2,所以应证1+<2.‎ 答案C ‎2.若x>-1,x≠0,则下列不等式正确的是(　　)‎ A.(1+x)3<1+3x B.(1+x<1+x C.(1+x)-2<1-2x D.(1+x<1+x 7‎ 解析由贝努利不等式可得选项D正确.‎ 答案D ‎3.用数学归纳法证明+…+(n≥n0,且n∈N+),则n的最小值n0为(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎C.3 D.4‎ 解析当n=1时,左边==1,右边=10=1,1>1,不成立;当n=2时,左边==2+1=3,右边=,3>,成立;当n=3时,左边==3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.‎ 所以n的最小值n0为2.‎ 答案B ‎4.导学号26394067某同学回答“用数学归纳法证明时,f(2k+1)比f(2k)多的项为　　　　　　　　　　　　　. ‎ 7‎ 解析f(2k+1)-f(2k)=1++…++…+.‎ 答案+…+‎ ‎6.已知x>0,观察下列几个不等式:x+≥2;x+≥3;x+≥4;x+≥5…归纳猜想一般的不等式为　　　　　　　　　　　　　. ‎ 答案x+≥n+1(n为正整数)‎ ‎7.用数学归纳法证明(a,b是非负实数,n∈N+)时,假设当n=k时不等式(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘　　　　　. ‎ 解析对比k与k+1时的结论可知,两边只需同乘即可.‎ 答案 ‎8.用数学归纳法证明1++…+<2(n∈N+).‎ 证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,‎ 即1++…+<2.‎ 当n=k+1时,1++…+<2=2.‎ 7‎ 所以当n=k+1时,不等式成立.‎ 由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.‎ ‎9.导学号26394068若不等式+…+对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.‎ 解取n=1,则有成立,‎ 所以,因此a<26,取a=25,‎ 即正整数a的最大值为25.‎ 以下用数学归纳法证明.‎ ‎+…+对一切正整数n都成立.‎ ‎(1)当n=1时不等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,‎ 即+…+,‎ 当n=k+1时,‎ ‎+…+‎ ‎=.‎ 因为,‎ 所以>0,‎ 7‎ 于是+…+,‎ 即当n=k+1时不等式成立.‎ 由(1)(2)知,对一切正整数n,都有+…+,且正整数a的最大值等于25.‎ ‎10.导学号26394069已知数列{an}满足:a1=,且an=(n≥2,n∈N+).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求证对一切正整数n,不等式a‎1a2…an<2n!恒成立.‎ ‎(1)解将条件变为1-,‎ 因此数列为一个等比数列,其首项为1-,公比为,‎ 从而1-,‎ 因此得an=(n≥1). ①‎ ‎(2)证明由①得 a‎1a2…an=.‎ 为证a‎1a2…an<2n!,只要证当n∈N+时,有×…×. ②‎ 显然,左端每个因式皆为正数,先证明对n∈N+,有 7‎ ‎×…×‎ ‎≥1-. ③‎ 下面用数学归纳法证明③式:‎ ⅰ当n=1时,显然③式成立,‎ ⅱ假设当n=k(k≥1)时,③式成立,‎ 即×…×≥‎ ‎1-.‎ 当n=k+1时,‎ ‎×…×‎ ‎≥‎ ‎=1-‎ ‎>1-.‎ 即当n=k+1时,③式也成立.‎ 故对一切n∈N+,③式都成立.‎ 利用③,得 ‎≥1-‎ ‎=1-‎ 7‎ ‎=1-.‎ 故原不等式成立.‎ 7‎

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