2020年高中数学第二章平面向量数量积的物理背景及其含义 6页

‎2.4.1‎‎ 平面向量数量积的物理背景及其含义 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．4 D．－4‎ 解析：记向量a与b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cos θ＝－12，即6×3cos θ＝－12，所以cos θ＝－，所以a在b方向上的投影为|a|cos θ＝6×＝－4.‎ 答案：D ‎2．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．0‎ 解析：因为a∥b且a⊥c，所以b⊥c，从而c·b＝c·a＝0.所以c·(a＋2b)＝c·a＋‎2c·b＝0.‎ 答案：D ‎3．|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则a与b的夹角为(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．120° D．150°‎ 解析：c⊥a，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a＝0，所以a2＋a·b＝0，‎ 所以a2＋|a||b|cos θ＝0，则1＋2cos θ＝0，所以cos θ＝－，所以θ＝120°.‎ 答案：C ‎4．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝(　　)‎ A. B. C. D．4‎ 解析：|a＋3b|2＝a2＋‎6a·b＋9b2‎ ‎＝1＋6×cos 60°＋9＝13，所以|a＋3b|＝.‎ 答案：C ‎5．若向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．12‎ 5‎ 解析：由题意知a·b＝|a||b|cos ＝|a||b|＝2|a|，(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝‎ ‎|a|2－2|a|－6×42＝－72，∴|a|＝6.‎ 答案：C ‎6．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________.‎ 解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2‎ ‎＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.‎ 答案：－7‎ ‎7．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，＝2 ，则·＝________.‎ 解析：由＝2，所以＝，＝－，‎ 故·＝(＋)· ‎＝·(－)‎ ‎＝·(－)‎ ‎＝·＋－ ‎＝||||cos 120°＋||2－||2‎ ‎＝×2×1×＋×1－×22＝－.‎ 答案：－ ‎8．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.‎ 解析：将两已知等式相加得，‎2a＝－6i＋8j，所以a＝－3i＋4j.同理将两已知等式相减得，b＝5i－12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，‎ 所以a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－3×5＋4×(－12)＝－63.‎ 答案：－63‎ ‎9．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.‎ 解析：①当a∥b时，‎ 若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，‎ ‎∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；‎ 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，‎ ‎∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；‎ 5‎ ‎②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，‎ ‎∴a·b＝0；‎ ‎③当a与b的夹角是60°时，‎ 有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9.‎ ‎10．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|‎3a－b|＝.‎ ‎(1)求|a＋3b|的值；‎ ‎(2)求‎3a－b与a＋3b夹角的正弦值．‎ 解析：(1)由|‎3a－b|＝，得(‎3a－b)2＝5，‎ 所以‎9a2－‎6a·b＋b2＝5，因为a2＝b2＝1，所以a·b＝.因此(a＋3b)2＝a2＋‎6a·b＋9b2＝15，‎ 所以|a＋3b|＝.‎ ‎(2)设‎3a－b与a＋3b的夹角为θ，‎ 因为(‎3a－b)·(a＋3b)＝‎3a2＋‎8a·b－3b2＝，‎ 所以cos θ＝＝＝，‎ 因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝＝ ＝，‎ 所以‎3a－b与a＋3b的夹角的正弦值为.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B. C. D． 解析：∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线．‎ ‎∴a与c的夹角为60°或120°.‎ 当θ＝60°时|a＋c|＝ ＝ ‎＝ ‎∴|a＋c|min＝1‎ 当θ＝120°时，|a＋c|＝ 5‎ ‎＝ ‎∴|a＋c|min＝.‎ 答案：D ‎2．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C．5 D．10‎ 解析：＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝－6＝42－6＝10.‎ 答案：D ‎3．已知△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)‎ A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解析：由2－·＝·＋·，得·(－)＝·(－)，‎ 即·＝·，∴·＋·＝0，∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，‎ 所以△ABC是直角三角形，故选C.‎ 答案：C 5‎ ‎4．设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．‎ 解析：因为e1，e2为单位向量，e1，e2的夹角为，所以e1·e2＝.‎ ‎|b|＝＝ ‎＝＝ 所以＝＝ ‎＝≤2，所以的最大值为2.‎ 答案：2‎ ‎5．已知两个向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a，b的夹角为60°，m＝2xa＋7b，‎ n＝a＋xb，x∈R.‎ ‎(1)若m，n的夹角为钝角，求x的取值范围；‎ ‎(2)设函数f(x)＝m·n，求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．‎ 解析：(1)a·b＝|a||b|·cos 60°＝2×1×cos 60°＝1，由m，n的夹角为钝角，得m·n<0，且m，n不反向共线，∴m·n＝(2xa＋7b)·(a＋xb)＝2xa2＋‎7a·b＋2x‎2a·b＋7xb2＝‎ ‎8x＋2x2＋7＋7x＝2x2＋15x＋7<0，且去掉2xa＋7b＝μ(a＋xb)中μ小于0的情形．解得－7