2020高中数学 第三章 第2课时 一元二次不等式的应用学案 新人教A版必修5 7页

第2课时　一元二次不等式的应用 学习目标：1.掌握一元二次不等式的实际应用(重点).2.理解三个“二次”之间的关系.3.会解一元二次不等式中的恒成立问题(难点)．‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 >0(<0)‎ 法一：‎ 或 法二：‎ f(x)·g(x)>0(<0)‎ ≥0(≤0)‎ 法一：‎ 或 法二：‎ >a 先移项转化为上述两种形式 思考：>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？‎ ‎[提示]　等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．‎ ‎2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0‎ ax2＋bx＋c<0‎ a＝0‎ b＝0，c>0‎ b＝0，c<0‎ a≠0‎ ‎(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a 思考：x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？区间[2,3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？‎ ‎[提示]　x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3]上的图象恒在x轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集．‎ - 7 -‎ ‎3．从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤：‎ ‎(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．‎ ‎(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．‎ ‎(3)解不等式(或求函数最值)．‎ ‎(4)回扣实际问题．‎ 思考：解一元二次不等式应用题的关键是什么？‎ ‎[提示]　解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)不等式>1的解集为x<1.(　　)‎ ‎(2)求解m>f(x)恒成立时，可转化为求解f(x)的最小值，从而求出m的范围．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　‎ 提示：(1)>1⇒－1>0⇒<0⇒{x|0f(x)恒成立转化为m>f(x)max，(2)错．‎ ‎2．不等式≥5的解集是________．‎ 　[原不等式⇔≥⇔≤0⇔解得00在R上恒成立，则实数a的取值范围是________.‎ ‎【导学号：91432292】‎ ‎(0,8)　[因为x2－ax＋‎2a>0在R上恒成立，‎ 所以Δ＝a2－4×‎2a<0，所以00，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ - 7 -‎ 分式不等式的解法 ‎　解下列不等式：‎ ‎(1)<0；‎ ‎(2)≤1.‎ ‎【导学号：91432293】‎ ‎[解]　(1)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－23.‎ 即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．‎ ‎(2)不等式<3可改写为－3<0，即<0.‎ - 7 -‎ 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，‎ 解得－10恒成立，如何求实数a - 7 -‎ 的取值范围？‎ 提示：若a＝0，显然f(x)>0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数f(x)＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则解得a>.‎ ‎2．若函数f(x)＝x2－ax－3对x∈[－3，－1]上恒有f(x)<0成立，如何求a的范围？‎ 提示：要使f(x)<0在[－3，－1]上恒成立，则必使函数f(x)＝x2－ax－3在[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由f(x)的图象可知，此时a应满足 即 解得a<－2.‎ 故当a∈(－∞，－2)时，有f(x)<0在x∈[－3，－1]时恒成立．‎ ‎3．若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3,1]时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？‎ 提示：由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数f(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令g(a)＝2x·a＋x2－4x＋4.‎ 要使对任意a∈[－3,1]，y<0恒成立，只需满足即 因为x2－2x＋4<0的解集是空集，‎ 所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意a∈[－3,1]，y<0恒成立．‎ ‎　已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.‎ ‎【导学号：91432295】‎ 思路探究：对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．‎ ‎[解]　设函数f(x)＝x2＋ax＋3－a在x∈[－2,2]时的最小值为g(a)，则 ‎(1)当对称轴x＝－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－‎3a≥0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．‎ ‎(2)当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.‎ ‎(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.‎ 综上，a的取值范围为－7≤a≤2.‎ 母题探究：1.(变结论)本例条件不变，若f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．‎ ‎[解]　若x∈[－2,2]，f(x)≥2恒成立可转化为：当x∈[－2,2]时，f(x)min≥2‎ ‎⇔ 或 - 7 -‎ 或 解得a的取值范围为[－5，－2＋2]．‎ ‎2．(变条件)将例题中的条件“f(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”求a的取值范围．‎ ‎[解]　法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，‎ ‎∴函数f(x)＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，‎ ‎∴Δ＝4－4(a2－3)<0，‎ 解得a>2或a<－2.‎ 法二：令f(x)＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a满足f(x)min＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.‎ 法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3，‎ 即a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2.‎ ‎[规律方法]　‎ ‎1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0‎ 时，b＝0，c>0；‎ 当a≠0时， ‎2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0‎ 时，b＝0，c<0；‎ 当a≠0时， ‎3．f(x)≤a恒成立⇔a≥[f(x)]max，f(x)≥a恒成立⇔a≤[f(x)]min.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于(　　)‎ A．{x|－1≤x<0}　　　　 B．{x|00时，相应二次方程中的Δ＝a2－‎4a≤0，得{a|00的解集为________．‎ - 7 -‎ ‎{x|－4－1}　[原式可转化为(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)>0，‎ 根据数轴穿根法，解集为－4－1.]‎ ‎4．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈(1,3)恒成立，则a的取值范围是________.‎ ‎【导学号：91432297】‎ ‎(－∞，5]　[原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈(1,3)恒成立，设f(x)＝－x2＋2x＋8，易知f(x)在[1,3]上的最小值为f(3)＝5.‎ ‎∴a∈(－∞，5]．]‎ ‎5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？‎ ‎[解]　设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，解得：15≤x<20.‎ 所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20)．‎ - 7 -‎