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  • 2021-06-19 发布

2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(理科)(一)

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‎2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(理科)(一)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|2﹣x>0},B={x|()x<1},则(  )‎ A.A∩B={x|0<x≤2} B.A∩B={x|x<0} C.A∪B={x|x<2} D.A∪B=R ‎2.(5分)已知i为虚数单位,a为实数,复数z满足z+3i=a+ai,若复数z是纯虚数,则(  )‎ A.a=3 B.a=0 C.a≠0 D.a<0‎ ‎3.(5分)我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理,该图中用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边,用弦(c)表示斜边,现已知该图中勾为3,股为4,若从图中随机取一点,则此点不落在中间小正方形中的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S9=6π,则tan a5=(  )‎ A. B. C.﹣ D.﹣‎ ‎5.(5分)已知函数f(x)=x+(a∈R),则下列结论正确的是(  )‎ A.∀a∈R,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增 B.∃a∈R,f(x)在区间(0,+∞)内单调递减 C.∃a∈R,f(x)是偶函数 D.∃a∈R,f(x)是奇函数,且f(x)在区间(0,+∞)内单调递增 ‎6.(5分)(1+x)(2﹣x)4的展开式中x项的系数为(  )‎ A.﹣16 B.16 C.48 D.﹣48‎ ‎7.(5分)如图是某个几何体的三视图,则这个几何体的表面积是(  )‎ A.π+4+4 B.2π+4+4 C.2π+4+2 D.2π+2+4‎ ‎8.(5分)若a>1,0<c<b<1,则下列不等式不正确的是(  )‎ A.log2018a>log2018b B.logba<logca C.(a﹣c)ac>(a﹣c)ab D.(c﹣b)ac>(c﹣b)ab ‎9.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的n值为11,则判断框中的条件可以是(  )‎ A.S<1022? B.S<2018? C.S<4095? D.S>4095?‎ ‎10.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,所得图象与函数y=g(x)的图象重合,则(  )‎ A.g(x)=2sin(2x+) B.g(x)=2sin(2x+) C.g(x)=2sin2x D.g(x)=2sin(2x﹣)‎ ‎11.(5分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点,则+的值为(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎12.(5分)已知数列{an}中,a1=2,n(an+1﹣an)=an+1,n∈N*,若对于任意的a ‎∈[﹣2,2],n∈N*,不等式<2t2+at﹣1恒成立,则实数t的取值范围为(  )‎ A.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) B.(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞) C.(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) D.[﹣2,2]‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.(5分)已知向量=(1,λ),=(3,1),若向量2﹣与=(1,2)共线,则向量在向量方向上的投影为   .‎ ‎14.(5分)若实数x,y满足,则z=x﹣3y+1的最大值是   .‎ ‎15.(5分)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的下焦点F1作y轴的垂线,交双曲线于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2,则双曲线的离心率为   .‎ ‎16.(5分)一底面为正方形的长方体各棱长之和为24,则当该长方体体积最大时,其外接球的体积为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2acosA=bcosC+ccosB.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若点D在边AC上,且BD是∠ABC的平分线,AB=2,BC=4,求AD的长.‎ ‎18.(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱CC1⊥‎ 地面ABC,且CC1=2AC=2BC,AC⊥BC,D是AB的中点,点M在侧棱CC1上运动.‎ ‎(1)当M是棱CC1的中点时,求证:CD∥平面MAB1;‎ ‎(2)当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时,求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值.‎ ‎19.(12分)第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.‎ ‎(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数;‎ ‎(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人.‎ ‎①记X表示选取4人的成绩的平均数,求P(X≥87);‎ ‎②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布和数学期望.‎ ‎20.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,点P在椭圆C上,且△PF1F2的面积的最大值为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)已知直线l:y=kx+2(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,若在x轴上存在点G,使得|GM|=|GN|,求点G的横坐标的取值范围.‎ ‎21.(12分)设函数f(x)=ex﹣2a﹣ln(x+a),a∈R,e为自然对数的底数.‎ ‎(1)若a>0,且函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若0<a<,试判断函数f(x)的零点个数.‎ ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为+=1,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=3.‎ ‎(1)求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程;‎ ‎(2)设M(x,y)为椭圆C上任意一点,求|2x+y﹣1|的最大值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知函数f(x)=|x﹣2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)+f(2+x)≤4的解集;‎ ‎(2)若g(x)=f(x)﹣f(2﹣x)的最大值为m,对任意不相等的正实数a,b,证明:af(b)+bf(a)≥m|a﹣b|.‎ ‎ ‎ ‎2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷(理科)(一)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|2﹣x>0},B={x|()x<1},则(  )‎ A.A∩B={x|0<x≤2} B.A∩B={x|x<0} C.A∪B={x|x<2} D.A∪B=R ‎【解答】解:集合A={x|2﹣x>0}={x|x<2},‎ B={x|()x<1}={x|x>0},‎ 则A∩B={x|0<x<2},‎ A∪B=R.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)已知i为虚数单位,a为实数,复数z满足z+3i=a+ai,若复数z是纯虚数,则(  )‎ A.a=3 B.a=0 C.a≠0 D.a<0‎ ‎【解答】解:由z+3i=a+ai,‎ 得z=a+(a﹣3)i,‎ 又∵复数z是纯虚数,‎ ‎∴,解得a=0.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理,该图中用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边,用弦(c)表示斜边,现已知该图中勾为3,股为4,若从图中随机取一点,则此点不落在中间小正方形中的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:设直角三角形的长直角边为a=4,短直角边为b=3,‎ 由题意c=5,∵大方形的边长为a+b=3+4=7,小方形的边长为c=5,‎ 则大正方形的面积为49,小正方形的面积为25,‎ ‎∴满足题意的概率值为:1﹣=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S9=6π,则tan a5=(  )‎ A. B. C.﹣ D.﹣‎ ‎【解答】解:由等差数列的性质可得:S9=6π==9a5,‎ ‎∴a5=.‎ 则tan a5=tan=﹣.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)已知函数f(x)=x+(a∈R),则下列结论正确的是(  )‎ A.∀a∈R,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增 B.∃a∈R,f(x)在区间(0,+∞)内单调递减 C.∃a∈R,f(x)是偶函数 D.∃a∈R,f(x)是奇函数,且f(x)在区间(0,+∞)内单调递增 ‎【解答】解:当a≤0时,函数f(x)=x+在区间(0,+∞)内单调递增,‎ 当a>0时,函数f(x)=x+在区间(0,]上单调递减,在[,+∞)内单调递增,‎ 故A,B均错误,‎ ‎∀a∈R,f(﹣x)=﹣f(x)均成立,故f(x)是奇函数,‎ 故C错误,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(1+x)(2﹣x)4的展开式中x项的系数为(  )‎ A.﹣16 B.16 C.48 D.﹣48‎ ‎【解答】解:∵(2﹣x)4展开式的通项公式为 Tr+1=•24﹣r(﹣x)r,‎ ‎∴(1+x)(2﹣x)4的展开式中x项的系数为﹣•23+24=﹣16,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)如图是某个几何体的三视图,则这个几何体的表面积是(  )‎ A.π+4+4 B.2π+4+4 C.2π+4+2 D.2π+2+4‎ ‎【解答】解:由三视图可知:该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体.‎ 其直观图如下所示:‎ 其表面积S=2×π•12+2××2×1++﹣2×1=2π+4+4,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎8.(5分)若a>1,0<c<b<1,则下列不等式不正确的是(  )‎ A.log2018a>log2018b B.logba<logca C.(a﹣c)ac>(a﹣c)ab D.(c﹣b)ac>(c﹣b)ab ‎【解答】解:根据对数函数的单调性可得log2018a>log2018b正确,logba<logca正确,‎ ‎∵a>1,0<c<b<1,‎ ‎∴ac<ab,a﹣c>0,‎ ‎∴(a﹣c)ac<(a﹣c)ab,故C不正确,‎ ‎∵c﹣b<0,‎ ‎∴(c﹣b)ac>(c﹣b)ab正确,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出的n值为11,则判断框中的条件可以是(  )‎ A.S<1022? B.S<2018? C.S<4095? D.S>4095?‎ ‎【解答】解:第1次执行循环体,S=3,应不满足输出的条件,n=2,‎ 第2次执行循环体,S=7,应不满足输出的条件,n=3,‎ 第3次执行循环体,S=15,应不满足输出的条件,n=4,‎ 第4次执行循环体,S=31,应不满足输出的条件,n=5,‎ 第5次执行循环体,S=63,应不满足输出的条件,n=6,‎ 第6次执行循环体,S=127,应不满足输出的条件,n=7,‎ 第7次执行循环体,S=255,应不满足输出的条件,n=8,‎ 第8次执行循环体,S=511,应不满足输出的条件,n=9,‎ 第9次执行循环体,S=1023,应不满足输出的条件,n=10,‎ 第10次执行循环体,S=2047,应不满足输出的条件,n=11‎ 第11次执行循环体,S=4095,应满足输出的条件,‎ 故判断框中的条件可以是S<4095?,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,所得图象与函数y=g(x)的图象重合,则(  )‎ A.g(x)=2sin(2x+) B.g(x)=2sin(2x+) C.g(x)=2sin2x D.g(x)=2sin(2x﹣)‎ ‎【解答】解:根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的部分图象,可得==+,∴ω=2,‎ 根据+φ=2•(﹣)+φ=0,∴φ=,故f(x)=2sin(2x+).‎ 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,所得图象与函数y=g(x)的图象重合,‎ 故g(x)=2sin(2x++)=2sin(2x+).‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点,则+的值为(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎【解答】解:抛物线C:y2‎ ‎=4x的焦点为F(1,0),过点F作斜率为1的直线l:y=x﹣1,‎ 可得,‎ 消去y可得:x2﹣6x+1=0,可得xP+xQ=6,xPxQ=1,‎ ‎|PF|=xP+1,|QF|=xQ+1,‎ ‎|PF||QF|=xQ+xP+xPxQ+1=6+1+1=8,‎ 则+===1.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)已知数列{an}中,a1=2,n(an+1﹣an)=an+1,n∈N*,若对于任意的a∈[﹣2,2],n∈N*,不等式<2t2+at﹣1恒成立,则实数t的取值范围为(  )‎ A.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) B.(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞) C.(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) D.[﹣2,2]‎ ‎【解答】解:根据题意,数列{an}中,n(an+1﹣an)=an+1,‎ 即nan+1﹣(n+1)an=1,‎ 则有﹣==﹣,‎ 则有=(﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(a2﹣a1)+a1‎ ‎=(﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(1﹣)+2=3﹣<3,‎ ‎<2t2+at﹣1即3﹣<2t2+at﹣1,‎ ‎∵对于任意的a∈[﹣2,2],n∈N*,不等式<2t2+at﹣1恒成立,‎ ‎∴2t2+at﹣1≥3,‎ 化为:2t2+at﹣4≥0,‎ 设f(a)=2t2+at﹣4,a∈[﹣2,2],‎ 可得f(2)≥0且f(﹣2)≥0,‎ 即有即,‎ 可得t≥2或t≤﹣2,‎ 则实数t的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞).‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.(5分)已知向量=(1,λ),=(3,1),若向量2﹣与=(1,2)共线,则向量在向量方向上的投影为 0 .‎ ‎【解答】解:向量=(1,λ),=(3,1),‎ 向量2﹣=(﹣1,2λ﹣1),‎ ‎∵向量2﹣与=(1,2)共线,‎ ‎∴2λ﹣1=﹣2,即λ=.‎ ‎∴向量=(1,﹣),‎ ‎∴向量在向量方向上的投影为||•cos<,>===0.‎ 故答案为:0.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)若实数x,y满足,则z=x﹣3y+1的最大值是  .‎ ‎【解答】解:实数x,y满足,对应的可行域如图:线段AB,z=x﹣3y+1化为:y=,如果z最大,则直线y=在y轴上的截距最小,作直线l:y=,‎ 平移直线y=至B点时,‎ z=x﹣3y+1取得最大值,联立,‎ 解得B(,).‎ 所以z=x﹣3y+1的最大值是:.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的下焦点F1作y轴的垂线,交双曲线于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2,则双曲线的离心率为  .‎ ‎【解答】解:过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的下焦点F1作y轴的垂线,‎ 交双曲线于A,B两点,则|AB|=,‎ 以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2,‎ 可得:,∴c2﹣a2﹣2ac=0,可得e2﹣2e﹣1=0,‎ 解得e=1+,e=1﹣舍去.‎ 故答案为:1+.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)一底面为正方形的长方体各棱长之和为24,则当该长方体体积最大时,其外接球的体积为 4 .‎ ‎【解答】解:设该项长方体底面边长为x米,‎ 由题意知其高是:=6﹣2x,(0<x<3)‎ 则长方体的体积V(x)=x2(6﹣2x),(0<x<3),‎ V′(x)=12x﹣6x2=6x(2﹣x),‎ 由V′(x)=0,得x=2,且当0<x<2时,V′(x)>0,V(x)单调递增;‎ 当2<x<3时,V′(x)<0,V(x)单调递减.‎ ‎∴体积函数V(x)在x=2处取得唯一的极大值,即为最大值,‎ 此时长方体的高为6﹣2x=2,‎ ‎∴其外接球的直径2R==2,∴R=,‎ ‎∴其外接球的体积V==4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2acosA=bcosC+ccosB.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若点D在边AC上,且BD是∠ABC的平分线,AB=2,BC=4,求AD的长.‎ ‎【解答】解:(1)∵2acosA=bcosC+ccosB,‎ ‎∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,‎ ‎∵sinA≠0,∴cosA=,‎ ‎∴A=.‎ ‎(2)在△ABC中,由余弦定理的cosA==,‎ 解得AC=1+或AC=1﹣(舍).‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AD=AC=.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱CC1⊥地面ABC,且CC1=2AC=2BC,AC⊥BC,D是AB的中点,点M在侧棱CC1上运动.‎ ‎(1)当M是棱CC1的中点时,求证:CD∥平面MAB1;‎ ‎(2)当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时,求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值.‎ ‎【解答】证明:(1)取线段AB的中点E,连接DE,EM.∵‎ AD=DB,AE=EB,∴DE∥BB1,ED=,‎ 又M为CC1的中点,∴.‎ ‎∴四边形CDEM是平行四边形.‎ ‎∴CD∥EM,‎ 又EM⊂MAB1,CD⊄MAB1‎ ‎∴CD∥平面MAB1;‎ 解(2)∵CA,CB,CC1两两垂直,∴以C为原点,CA,CB,CC1‎ 所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.‎ ‎∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱CC1⊥地面ABC,可得∠MAC为直线AM与平面ABC所成的角,‎ 设AC=1,tan,得CM=‎ ‎∴C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),B1(0,1,2),M(0,0,)‎ 设AMB1的法向量为,‎ 可取 又平面B1C1CB的法向量为.‎ cos==.‎ ‎∵二面角A﹣MB1﹣C1为钝角,‎ ‎∴二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值为﹣.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.‎ ‎(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数;‎ ‎(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人.‎ ‎①记X表示选取4人的成绩的平均数,求P(X≥87);‎ ‎②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布和数学期望.‎ ‎【解答】解:(1)众数为76,中位数为76,‎ 抽取的12人中,70分以下的有4人,不低于70分的有8人,‎ 故从该校学生中任选1人,这个人测试成绩在70分以上的概率为=,‎ ‎∴该校这次测试成绩在70分以上的约有:3000×=2000人.‎ ‎(2)①由题意知70分以上的有72,76,76,76,82,88,93,94,‎ 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时,有两类:‎ 一类是:82,88,93,94,共1种;‎ 另一类是:76,88,93,94,共3种.‎ ‎∴P(X≥87)==.‎ ‎②由题意得ξ的可能取值为0,1,2,3,4,‎ P(ξ=0)==,‎ P(ξ=1)==,‎ P(ξ=2)==,‎ P(ξ=3)==,‎ P(ξ=4)==,‎ ‎∴ξ的分布列为:‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴E(ξ)==2.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,点P在椭圆C上,且△PF1F2的面积的最大值为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)已知直线l:y=kx+2(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,若在x轴上存在点G,使得|GM|=|GN|,求点G的横坐标的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)显然当点P位于短轴端点时,△PF1F2的面积取得最大值,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴椭圆的方程为=1.‎ ‎(2)联立方程组,消元得(8+9k2)x2+36kx﹣36=0,‎ ‎∵直线l恒过点(0,2),∴直线l与椭圆始终有两个交点,‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,‎ 设MN的中点为E(x0,y0),则x0=,y0=kx0+2=.‎ ‎∵|GM|=|GN|,∴GE⊥MN,‎ 设G(m,0),则kGE==﹣,‎ ‎∴m==,‎ 当k>0时,9k+≥2=12.当且仅当9k=,即k=时取等号;‎ ‎∴﹣≤m<0,‎ 当k<0时,9k+≤﹣2=﹣12,当且仅当9k=,即k=﹣时取等号;‎ ‎∴0<m≤.‎ ‎∴点G的横坐标的取值范围是[﹣,0)∪(0,].‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)设函数f(x)=ex﹣2a﹣ln(x+a),a∈R,e为自然对数的底数.‎ ‎(1)若a>0,且函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若0<a<,试判断函数f(x)的零点个数.‎ ‎【解答】解:(1)∵函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,‎ ‎∴f′(x)=ex﹣≥0在区间[0,+∞)恒成立,‎ 即a≥e﹣x﹣x在[0,+∞)恒成立,‎ 记g(x)=e﹣x﹣x,则g′(x)=﹣e﹣x﹣1<0恒成立,‎ 故g(x)在[0,+∞)递减,‎ 故g(x)≤g(0)=1,a≥1,‎ 故实数a的范围是[1,+∞);‎ ‎(2)∵0<a<,f′(x)=ex﹣,‎ 记h(x)=f′(x),则h′(x)=ex+>0,‎ 知f′(x)在区间(﹣a,+∞)递增,‎ 又∵f′(0)=1﹣<0,f′(1)=e﹣>0,‎ ‎∴f′(x)在区间(﹣a,+∞)内存在唯一的零点x0,‎ 即f′(x0)=﹣=0,‎ 于是x0=﹣ln(x0+a),‎ 当﹣a<x<x0时,f′(x)<0,f(x)递减,‎ 当x>x0时,f′(x)>0,f(x)递增,‎ 故f(x)min=f(x0)=﹣2a﹣ln(x0+a)=x0+a+﹣3a≥2﹣3a,‎ 当且仅当x0+a=1时取“=”,‎ 由0<a<得2﹣3a>0,‎ ‎∴f(x)min=f(x0)>0,即函数f(x)无零点.‎ ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为+=1,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=3.‎ ‎(1)求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程;‎ ‎(2)设M(x,y)为椭圆C上任意一点,求|2x+y﹣1|的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意,椭圆C的方程为+=1,‎ 则其参数方程为,(α为参数);‎ 直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=3,变形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3,即ρsinθ+ρcosθ=3,‎ 将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0,‎ 即直线l的普通方程为x+y﹣6=0;‎ ‎(2)根据题意,M(x,y)为椭圆一点,则设M(2cosθ,4sinθ),‎ ‎|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin(θ+)﹣1|,‎ 分析可得,当sin(θ+)=﹣1时,|2x+y﹣1|取得最大值9.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知函数f(x)=|x﹣2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)+f(2+x)≤4的解集;‎ ‎(2)若g(x)=f(x)﹣f(2﹣x)的最大值为m,对任意不相等的正实数a,b,证明:af(b)+bf(a)≥m|a﹣b|.‎ ‎【解答】(1)解:不等式f(x)+f(2+x)≤4,‎ 即为|x﹣2|+|x|≤4,‎ 当x≥2时,2x﹣2≤4,即x≤3,则2≤x≤3;‎ 当0<x<2时,2﹣x+x≤4,即2≤4,则0<x<2;‎ 当x≤0时,2﹣x﹣x≤4,即x≥﹣1,则﹣1≤x≤0.‎ 综上可得,不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3};‎ ‎(2)证明:g(x)=f(x)﹣f(2﹣x)=|x﹣2|﹣|x|,‎ 由|x﹣2|﹣|x|≤|x﹣2﹣x|=2,当且仅当x≤0时,取得等号,‎ 即g(x)≤2,则m=2,‎ 任意不相等的正实数a,b,可得 af(b)+bf(a)=a|b﹣2|+b|a﹣2|‎ ‎=|ab﹣2a|+|ab﹣2b|‎ ‎≥|ab﹣2a﹣ab+2b|=|2a﹣2b|=2|a﹣b|=m|a﹣b|,‎ 当且仅当(a﹣2)(b﹣2)≤0时,取得等号,‎ 即af(b)+bf(a)≥m|a﹣b|.‎ ‎ ‎