高中数学必修1教案：第四章（第24课时）正弦函数余弦函数的图象和性质（3） 6页

课 题：48正弦函数、余弦函数的图象和性质（3）‎ 教学目的：‎ ‎1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；‎ ‎2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；‎ ‎3掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法 教学重点：正、余弦函数的性质 教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．‎ ‎ 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：‎ 正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：‎ ‎(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)‎ 余弦函数y x o ‎1‎ ‎-1‎ y=cosx xÎ[0,2p]的五个点关键是 ‎(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)‎ ‎ 3．定义域：‎ 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，‎ 分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R ‎4．值域 正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］‎ 其中正弦函数y=sinx,x∈R ‎①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1‎ ‎②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1‎ 而余弦函数y＝cosx，x∈R ‎①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1‎ ‎②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1‎ ‎5．周期性 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 ‎1°周期函数xÎ定义域M，则必有x+TÎM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；‎ ‎2°“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)¹f (x0)）‎ ‎3°T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）‎ 正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π ‎6．奇偶性 y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数 正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称 ‎7．单调性 正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1‎ 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1‎ 二、讲解范例：‎ 例1 求下列函数的周期：‎ ‎(1)y＝3cosx，x∈R；‎ ‎(2)y＝sin2x，x∈R；‎ ‎(3)y＝2sin(x－)，x∈R 解：(1)∵y＝cosx的周期是2π ‎∴只有x增到x＋2π时，函数值才重复出现 ‎∴y＝3cosx，x∈R的周期是2π ‎(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝sinZ，Z∈R的周期是2π 即Z＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)．‎ 只有当x至少增加到x＋π，函数值才能重复出现 ‎∴y＝sin2x的周期是π ‎(3)令Z＝x－，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝2sinZ，Z∈R的周期是2π，由于Z＋2π＝(x－)＋2π＝ (x＋4π)－，所以只有自变量x至少要增加到x＋4π，函数值才能重复取得，即T＝4π是能使等式2sin［ (x＋T)－］＝2sin(x－)成立的最小正数 从而y＝2sin(x－)，x∈R的周期是4π 从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x的系数有关 一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋)，x∈R(其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝‎ 根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子：‎ ‎(1)T＝2π，(2)T＝＝π，(3)T＝2π÷＝4π 例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0‎ ‎(1)sin(－)－sin(－)；‎ ‎(2)cos(－)－cos(－)．‎ 解：(1)∵－＜－＜－＜．‎ 且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数 ‎∴sin(－)＜sin(－)‎ 即sin(－)－sin(－)＞0‎ ‎(2)cos(－)＝cos＝cos cos(－)＝cos＝cos ‎∵0＜＜＜π 且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数 ‎∴cos＜cos 即cos－cos＜0‎ ‎∴cos(－)－cos(－)＜0‎ 例3 求函数y＝的值域 解：由已知：cosx＝｜｜＝｜cosx｜≤1()2≤13y2＋2y－8≤0‎ ‎∴－2≤y≤‎ ‎∴ymax＝，ymin＝－2‎ 例4f(x)＝sinx图象的对称轴是 ‎ 解：由图象可知：‎ 对称轴方程是：x＝kπ＋(k∈Z)‎ 例5(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数?‎ ‎(2)函数y＝3sin(－2x)在什么区间是减函数?‎ 解：(1)函数y＝sinx在下列区间上是增函数：‎ ‎2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z)‎ ‎∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当2kπ－＜x＋＜2kπ＋‎ ‎ 即2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)为所求 ‎(2)∵y＝3sin(－2x)＝－3sin(2x－)‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋‎ 得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)为所求 或：令u＝－2x，则u是x的减函数 又∵y＝sinｕ在［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)上为增函数，‎ ‎∴原函数y＝3sin(－2x)在区间［2kπ－，2kπ＋］上递减 设2kπ－≤－2x≤2kπ＋‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)‎ ‎∴原函数y＝3sin(－2x)在［kπ－，kπ＋］(k∈Z)上单调递减 三、课堂练习：‎ ‎1函数y＝cos2（x－）＋sin2（x＋）－1是( )‎ A奇函数而不是偶函数 B偶函数而不是奇函数 C奇函数且是偶函数 D非奇非偶函数 ‎2函数y＝sin（2x＋）图象的一条对称轴方程是( )‎ Ax＝－ Bx＝－ Cx＝ Dx＝‎ ‎3设条件甲为“y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数”，条件乙为“φ＝”，则甲是乙的( )‎ A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 ‎4函数y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 ．‎ ‎5函数y＝sin2xtanx的值域为 ‎ ‎6函数y＝x－sinx，x∈［0，π］的最大值为( )‎ A0 B －1 Cπ D ‎ ‎7求函数y＝2sin22x＋4sin2xcos2x＋3cos22x的最小正周期 ‎8求函数f（x）＝sin6x＋cos6x的最小正周期，并求f（x）的最大值和最小值 ‎9已知f（x）＝，问x在［0，π］上取什么值时，f（x）取到最大值和最小值 参考答案：‎ ‎1A 2A 3B 4 5［0，2 6C 7 ‎ ‎8Ｔ＝ 函数最大值为1 函数最小值为 ‎9x＝时，f(x)取到最小值；‎ x＝时，f(x)取到最大值3‎ 四、小结 在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函数的条件，是同学们解题中常发生的错误 五、课后作业：‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎ ‎ ‎