2020年高中数学第四章圆与方程章末检测新人教A版必修2 7页

‎1.1.1‎‎ 集合的含义与表示 章末检测 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为(　　)‎ A．6　　　B．‎7　‎　　　C．8　　　　D．9‎ 解析：|AB|＝＝＝7.‎ 答案：B ‎2．方程x2＋y2－4x＋4y＋10－k＝0表示圆，则k的取值范围是(　　)‎ A．k＜2 B．k＞‎2 C．k≥2 D．k≤2‎ 解析：若方程表示圆，则(－4)2＋42－4(10－k)＞0，‎ 解得k＞2.‎ 答案：B ‎3．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(　　)‎ A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0‎ C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0‎ 解析：因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.‎ 答案：C ‎4．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0总有两个交点，则a应满足(　　)‎ A．－3＜a＜7 B．－6＜a＜4‎ C．－7＜a＜3 D．－21＜a＜19‎ 解析：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0，‎ 配方得(x－a)2＋(y＋2)2＝16，‎ 圆心为(a，－2)，半径r＝4.‎ 若直线与圆总有两个交点，‎ 则＜4，∴|‎4a＋4|＜20，‎ ‎∴|a＋1|＜5.∴－6＜a＜4.‎ 答案：B ‎5．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)‎ A．1或3 B．1或‎5 C．3或5 D．1或2‎ 7‎ 解析：当k＝3时，两直线平行；当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得＝k－3，解得k＝5.‎ 答案：C ‎6．直线l：y＝k与圆C：x2＋y2＝1的位置关系为(　　)‎ A．相交或相切 B．相交或相离 C．相切 D．相交 解析：解法一　因为直线y＝k经过点，‎ 而点在圆x2＋y2＝1内，所以直线和圆相交．‎ 解法二　圆C的圆心(0,0)到直线y＝k的距离为d＝，因为d2＝<<1，所以直线与圆相交．‎ 答案：D ‎7．当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，它与定点Q(3,0)连线的中点M的轨迹方程是(　　)‎ A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1‎ C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1‎ 解析：设M(x，y)，则P(2x－3,2y)．‎ 因为点P在圆x2＋y2＝1上，‎ 故有(2x－3)2＋4y2＝1.‎ 答案：C ‎8．已知直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是原点)的面积为(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析：该圆的圆心为A(2，－3)，半径长r＝3，圆心到直线的距离d＝＝，弦长为2＝2＝4.‎ 因为原点到直线的距离为＝，‎ 所以S＝×4×＝.‎ 答案：D ‎9．设A(1,1，－2)，B(3,2,8)，C(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)‎ 7‎ A. B. C. D. 解析：利用中点公式，得P，由两点间距离公式计算知|PC|＝ ＝ ＝.‎ 答案：D ‎10．若过定点M(－1,0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是(　　)‎ A．0＜k＜ B．－＜k＜0‎ C．0＜k＜ D．0＜k＜5‎ 解析：圆x2＋4x＋y2－5＝0可变形为(x＋2)2＋y2＝9，如图所示．‎ 当x＝0时，y＝±，结合图形可得A(0，)，‎ ‎∵kAM＝＝，‎ ‎∴k∈(0，)．‎ 答案：A ‎11．动圆x2＋y2－(‎4m＋2)x－2my＋‎4m2‎＋‎4m＋1＝0的圆心的轨迹方程是(　　)‎ A．2x－y－1＝0 B．2x－y－1＝0(x≠1)‎ C．x－2y－1＝0(x≠1) D．x－2y－1＝0‎ 解析：圆心为(‎2m＋1，m)，r＝|m|(m≠0)．‎ 不妨设圆心坐标为(x，y)，‎ 则x＝‎2m＋1，y＝m，∴x－2y－1＝0.‎ 又∵m≠0，∴x≠1，故选C.‎ 答案：C ‎12．过点P(2,3)向圆x2＋y2＝1作两条切线PA、PB，则弦AB所在直线的方程为(　　)‎ A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0‎ C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0‎ 解析：圆x2＋y2＝1的圆心为坐标原点O，以OP为直径的圆的方程为(x－1)2＋2＝.‎ 显然这两个圆是相交的，由 得2x＋3y－1＝0，这就是弦AB所在直线的方程．‎ 答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)‎ 7‎ ‎13．圆心为点(2，－3)，且被直线2x＋3y－8＝0截得的弦长为4的圆的标准方程为____________．‎ 解析：∵圆心(2，－3)到直线距离d＝＝＝，∴R2＝d2＋(2)2＝13＋12＝25，‎ ‎∴R＝5.‎ 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25‎ ‎14．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于点A、B，弦AB的中点为(0,1)，则直线l的方程为____________．‎ 解析：依题意得圆心坐标为(－1,2)，且直线l与由圆心与点(0,1)确定的直线相互垂直，因此直线l的斜率等于1，又该直线l经过点(0, 1)，所以直线的方程是y－1＝x，即x－y＋1＝0.‎ 答案：x－y＋1＝0‎ ‎15．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．‎ 解析：设M(0，y,0)，由1＋y2＋4＝1＋(－3－y)2＋1，可得y＝－1，故M(0，－1,0)．‎ 答案：(0，－1,0)‎ ‎16．点P为圆x2＋y2＝1上的动点，则点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为________．‎ 解析：点P到直线3x－4y－10＝0距离的最小值为圆心到直线的距离减半径．‎ dmin＝－1＝－1＝1.‎ 答案：1‎ 三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．‎ 解析：由圆M和圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．‎ 两圆方程相减得直线AB的方程为 ‎2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.‎ ‎∵A、B两点平分圆N的圆周，‎ ‎∴AB为圆N的直径，直线AB过点N(－1，－1)．‎ ‎∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0.‎ 解得m＝－1.故圆M的圆心为M(－1，－2)．‎ ‎18．(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点．‎ 7‎ ‎(1)当直线l经过圆心C时，求直线l的方程；‎ ‎(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程．‎ 解析：(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1,0)，因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.‎ ‎(2)当弦AB被点P平分时，直线l垂直于PC，直线l的方程为y－2＝－(x－2)，即x＋2y－6＝0.‎ ‎19．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．‎ ‎(1)判断直线l与圆C的位置关系；‎ ‎(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．‎ 解析：(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1,1)，又＝1<，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．‎ ‎(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，‎ 又k＝tan 120°＝－，即 m＝－.‎ 此时，圆心C(0,1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离d＝＝，又圆C的半径r＝，‎ 所以|AB|＝2＝2 ＝.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知圆C的方程为：x2＋y2－4mx－2y＋‎8m－7＝0，(m∈R)．‎ ‎(1)试求m的值，使圆C的面积最小；‎ ‎(2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(4，－3)的直线方程．‎ 解析：配方得圆的方程为(x－‎2m)2＋(y－1)2＝4(m－1)2＋4.‎ ‎(1)当m＝1时，圆的半径最小，此时圆的面积最小．‎ ‎(2)当m＝1时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ 当斜率存在时设所求直线方程为y＋3＝k(x－4)，‎ 即kx－y－4k－3＝0.‎ 由直线与圆相切，所以＝2，‎ 解得k＝－.所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即3x＋4y＝0.‎ 又过(4，－3)点，且与x轴垂直的直线x＝4，也与圆相切．‎ 所以所求直线方程为3x＋4y＝0及x＝4.‎ ‎21.(本小题满分13分)如图所示，圆O1和圆O2的半径长都等于1，|O1O2|＝4.过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N为切点)，使得|PM|＝|PN 7‎ ‎|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．‎ 解析：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，O1O2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则O1(－2,0)，O2(2,0)．‎ 由已知|PM|＝|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.‎ 因为两圆的半径长均为1，‎ 所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．‎ 设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，‎ 即(x－6)2＋y2＝33，‎ 所以所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.‎ ‎22．(本小题满分13分)已知：以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．‎ ‎(1)求证：△OAB的面积为定值；‎ ‎(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程．‎ 解析：(1)证明：∵圆C过原点O，∴r2＝OC2＝t2＋.设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋.‎ 令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.‎ ‎∴S△OAB＝OA×OB＝××|2t|＝4，‎ 即△OAB的面积为定值．‎ ‎(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.‎ ‎∵kMN＝－2，∴kOC＝.∴直线OC的方程是y＝x.‎ ‎∴＝t.解得t＝2或t＝－2.‎ 当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，‎ 此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，‎ 圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．‎ 当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，‎ 此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝ >，‎ 圆C与直线y＝－2x＋4不相交，‎ 7‎ ‎∴t＝－2不符合题意，舍去．‎ ‎∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ 7‎