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- 2021-06-20 发布
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人大附中2019~2020学年度高三4月质量检测试题
数学
2020年4月13日
第一部分
一、选择题(本大题共10个小题,在每道小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的,请将答案涂在机读卡上的相应位置上.)
1.集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算,再计算交集得到答案.
【详解】,,故.
故选:.
【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.
2.已知复数是正实数,则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将复数化成标准形式,由题意可得实部大于零,虚部等于零,即可得到答案.
【详解】因为为正实数,
所以且,解得.
故选:C
【点睛】本题考查复数的基本定义,属基础题.
- 20 -
3.下列函数中,值域为R且为奇函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】A. ,值域为,非奇非偶函数,排除;
B. ,值域为,奇函数,排除;
C. ,值域为,奇函数,满足;
D. ,值域为,非奇非偶函数,排除;
故选:.
【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性,意在考查学生对于函数知识的综合应用.
4.设等差数列的前项和为,若,则( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,解得,,得到答案.
【详解】,解得,,故.
故选:.
【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力.
5.在平面直角坐标系中,将点绕原点逆时针旋转到点,设直线与轴正半轴所成的最小正角为,则等于( )
A. B. C. D.
- 20 -
【答案】A
【解析】
【分析】
设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为,由任意角的三角函数的定义可以求得的值,依题有,则,利用诱导公式即可得到答案.
【详解】如图,设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为
因为点在角的终边上,所以
依题有,则,
所以,
故选:A
【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式,属于基础题.
6.设为非零实数,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
取,计算知错误,根据不等式性质知正确,得到答案.
【详解】,故,,故正确;
取,计算知错误;
- 20 -
故选:.
【点睛】本题考查了不等式性质,意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
7.某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示:在边长为正方体中,四棱锥满足条件,故,得到答案.
【详解】如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件.
故,,.
故,故,.
故选:.
- 20 -
【点睛】本题考查了三视图,元素和集合的关系,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
8.已知点,点在曲线上运动,点为抛物线的焦点,则的最小值为( )
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,利用均值不等式得到答案.
【详解】如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,
设,,则,
当,即时等号成立.
故选:.
- 20 -
【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.
9.已知函数的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有( )
①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】
计算得到,,故函数是周期函数,轴对称图形,故②④正确,根据图像知①③错误,得到答案.
- 20 -
【详解】,,,
当沿轴正方向平移个单位时,重合,故②正确;
,,
故,函数关于对称,故④正确;
根据图像知:①③不正确;
故选:.
【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质,意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.
10.设函数若关于的方程有四个实数解,其中,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出函数图像,根据图像知:,,,计算得到答案.
【详解】,画出函数图像,如图所示:
根据图像知:,,故,且.
故.
故选:.
- 20 -
【点睛】本题考查了函数零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,画出图像是解题的关键.
第二部分
二、填空题(本大题共6个小题)
11.在二项式的展开式中,的系数为________.
【答案】60
【解析】
【分析】
直接利用二项式定理计算得到答案
【详解】二项式的展开式通项为:,
取,则的系数为.
- 20 -
故答案为:.
【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.
12.若向量满足,则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意计算,解得答案.
【详解】,故,解得.
故答案为:.
【点睛】本题考查了向量的数量积,意在考查学生的计算能力.
13.在党中央的正确指导下,通过全国人民的齐心协力,特别是全体一线医护人员的奋力救治,二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报,甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下:
根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对,通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处.
①_________________________________________________.
②_________________________________________________.
【答案】 (1). 甲省比乙省的新增人数的平均数低 (2). 甲省比乙省的方差要大
【解析】
【分析】
直接根据折线图得到答案.
【详解】根据折线图知:
- 20 -
①甲省比乙省的新增人数的平均数低;②甲省比乙省的方差要大.
故答案为:甲省比乙省的新增人数的平均数低;甲省比乙省的方差要大.
【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力和应用能力.
14.函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增,则的最大值为________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
直接计算得到答案,根据题意得到,,解得答案.
【详解】,故,当时,,
故,解得.
故答案为:;.
【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
15.集合,,若是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则下列说法正确的为________
①的值可以为2;
②的值可以为;
③的值可以为;
【答案】②③
【解析】
- 20 -
【分析】
根据对称性,只需研究第一象限的情况,计算:,得到,,得到答案.
【详解】如图所示:根据对称性,只需研究第一象限的情况,
集合:,故,即或,
集合:,是平面上正八边形的顶点所构成的集合,
故所在的直线的倾斜角为,,故:,
解得,此时,,此时.
故答案为:②③.
【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力,利用对称性是解题的关键.
三、解答题(本大题共6个小题,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)
16.已知函数(,)满足下列3个条件中的2个条件:
①函数的周期为;
- 20 -
②是函数的对称轴;
③且在区间上单调.
(Ⅰ)请指出这二个条件,并求出函数的解析式;
(Ⅱ)若,求函数的值域.
【答案】(Ⅰ)只有①②成立,;(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)依次讨论①②成立,①③成立,②③成立,计算得到只有①②成立,得到答案.
(Ⅱ)得到,得到函数值域.
【详解】(Ⅰ)由①可得,;由②得:,;
由③得,,,;
若①②成立,则,,,
若①③成立,则,,不合题意,
若②③成立,则,,
与③中的矛盾,所以②③不成立,
所以只有①②成立,.
(Ⅱ)由题意得,,
所以函数的值域为.
【点睛】
- 20 -
本题考查了三角函数的周期,对称轴,单调性,值域,表达式,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
17.在四棱锥的底面中,,,平面,是的中点,且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使得,若存在指出点的位置,若不存在请说明理由.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,点为线段的中点.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形,得到证明.
(Ⅱ)建立如图所示坐标系,平面法向量为,平面的法向量,计算夹角得到答案.
(Ⅲ)设,计算,,根据垂直关系得到答案.
【详解】(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形.
平面.
(Ⅱ)平面,四边形为正方形.
所以,,两两垂直,建立如图所示坐标系,
- 20 -
则,,,,
设平面法向量为,则,
连结,可得,又所以,平面,
平面的法向量,
设二面角的平面角为,则.
(Ⅲ)线段上存在点使得,设,
,,,
所以点为线段的中点.
【点睛】本题考查了线面平行,二面角,根据垂直关系确定位置,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
18.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
- 20 -
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)
【答案】(Ⅰ)万;(Ⅱ)分布列见解析, ;(Ⅲ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) 的可能取值为,计算概率得到分布列,再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ,故,解得答案.
【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人,故人数为:万人.
(Ⅱ) 8名男生中,测试成绩在70分以上的有人,的可能取值为:.
,,.
故分布列为:
- 20 -
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ,故,故.
故最小值为.
【点睛】本题考查了样本估计总体,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19.设函数其中
(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;
(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)求导得到,,解得答案.
(Ⅱ) ,故,在上单调递减,在上单调递增,,设,证明函数单调递减,故,得到证明.
【详解】(Ⅰ),故,
,故.
(Ⅱ) ,即,存在唯一零点,
设零点为,故,即,
在上单调递减,在上单调递增,
故
- 20 -
,
设,则,
设,则,单调递减,
,故恒成立,故单调递减.
,故当时,.
【点睛】本题考查了函数的切线问题,利用导数证明不等式,转化为函数的最值是解题的关键.
20.设椭圆,直线经过点,直线经过点,直线直线,且直线分别与椭圆相交于两点和两点.
(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点,且直线轴,求四边形的面积;
(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0,四边形为平行四边形,求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形能否为矩形,说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)不能,证明见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)计算得到故,,,,计算得到面积.
(Ⅱ) 设为,联立方程得到,计算,同理,根据得到,得到证明.
(Ⅲ) 设中点为,根据点差法得到,同理,故
- 20 -
,得到结论.
【详解】(Ⅰ),,故,,,.
故四边形的面积为.
(Ⅱ)设为,则,故,
设,,故,
,
同理可得,
,故,
即,,故.
(Ⅲ)设中点为,则,,
相减得到,即,
同理可得:的中点,满足,
故,故四边形不能为矩形.
【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积,形状,根据四边形形状求参数,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21.对于正整数,如果个整数满足,
- 20 -
且,则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数,设是的一个“正整数分拆”,且,求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数,证明:;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与,当且仅当且时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)
【答案】(Ⅰ) ,,,,;(Ⅱ) 为偶数时,,为奇数时,;(Ⅲ)证明见解析,,
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当为偶数时,最大为,当为奇数时,最大为,得到答案.
(Ⅲ) 讨论当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故,当为偶数时,
根据对应关系得到,再计算,,得到答案.
【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为:,,,,.
(Ⅱ)当为偶数时,时,最大为;
当为奇数时,时,最大为;
综上所述:为偶数,最大为,为奇数时,最大为.
(Ⅲ)当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故;
当为偶数时,设是每个数均为偶数的“正整数分拆”,
则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”,
- 20 -
故.
综上所述:.
当时,偶数“正整数分拆”为,奇数“正整数分拆”为,;
当时,偶数“正整数分拆”为,,奇数“正整数分拆”为,
故;
当时,对于偶数“正整数分拆”,除了各项不全为的奇数拆分外,至少多出一项各项均为的“正整数分拆”,故.
综上所述:使成立的为:或.
【点睛】本土考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
- 20 -
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