2012年高考真题汇编-理科数学（解析版）7：立体几何 36页

‎2012高考真题分类汇编：立体几何 一、选择题 ‎1.【2012高考真题新课标理7】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为，所以几何体的体积为,选B.‎ ‎2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=。将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。‎ A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.‎ B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.‎ C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.‎ D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 ‎ 【答案】C ‎【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的．‎ ‎3.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】的外接圆的半径，点到面的距离,为球的直径点到面的距离为 ‎ 此棱锥的体积为 ‎ 另：排除,选A.‎ ‎4.【2012高考真题四川理6】下列命题正确的是（ ）‎ A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A.两直线可能平行，相交，异面故A不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D.这两个平面平行或相交.‎ ‎5.【2012高考真题四川理10】如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（ ）‎ A、 ‎ B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎【解析】根据题意，易知平面AOB⊥平面CBD,‎ ‎,，由弧长公式易得，、两点间的球面距离为.‎ ‎6.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.【答案】A.‎ ‎【解析】设，则，，‎ ‎，，故选A.‎ ‎7.【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ‎【答案】D ‎【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.‎ ‎【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.‎ ‎8.【2012高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为.选B.‎ ‎9.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为 A．12π B.45π C.57π D.81π ‎【答案】C ‎ ‎ ‎【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得．故选C．‎ ‎ ‎ ‎10.【2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱 ‎【答案】D.‎ ‎【命题立意】本题考查了空间几何体的形状和三视图的概念，以及考生的空间想象能力，难度一般.‎ ‎【解析】球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形.可以排除ABC，故选Ｄ．‎ ‎11.【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 【答案】A ‎ ‎【解析】因为则，，选A，‎ ‎12.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）‎ A. 28+6 B. 30+‎6‎ C. 56+ 12 D. 60+12‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，，，，因此该几何体表面积，故选B。‎ ‎13.【2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A1B‎1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A 2 B C D 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,,,所以利用等积法得，选D. ‎ 二、填空题 ‎14.【2012高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm3.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于．‎ ‎15.【2012高考真题四川理14】如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________。‎ ‎【答案】‎ ‎【命题立意】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，以及异面直线所成角的求法.‎ ‎【解析】本题有两种方法，一、几何法：连接，则,又，易知，所以与所成角的大小是；二、坐标法：建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式计算得异面直线与所成角的大小是.‎ ‎ 16.【2012高考真题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。‎ ‎【答案】38‎ ‎【解析】‎ 由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为 ‎【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出表面积。‎ ‎17.【2012高考真题山东理14】如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】法一：因为点在线段上，所以，又因为点在线段上，所以点到平面的距离为1,即，所以.‎ 法二：使用特殊点的位置进行求解，不失一般性令点在点处，点在点处，则。‎ ‎18.【2012高考真题辽宁理16】已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为在正三棱锥ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥ABC在面 ABC上的 高。已知球的半径为，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥ABC在面ABC上的高为，所以球心到截面ABC的距离为 ‎【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱 ‎19.【2012高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为半圆面的面积为，所以，即，即圆锥的母线为，底面圆的周长，所以圆锥的底面半径，所以圆锥的高，所以圆锥的体积为。‎ ‎20.【2012高考真题上海理14】如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最 大值是 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】过点A做AE⊥BC，垂足为E，连接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE，‎ 所以=，‎ 当AB=BD=AC=DC=a时，四面体ABCD的体积最大。‎ 过E做EF⊥DA，垂足为点F，已知EA=ED，所以△ADE为等腰三角形，所以点E为AD的中点，又，∴EF=，‎ ‎∴==，‎ ‎∴四面体ABCD体积的最大值=。‎ ‎21.【2012高考江苏7】（5分）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ cm3．‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】正方形的性质，棱锥的体积。‎ ‎【解析】∵长方体底面是正方形，∴△中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。‎ ‎ ∴四棱锥的体积为。‎ ‎22.【2012高考真题安徽理12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是．‎ ‎【答案】92‎ ‎【命题立意】本题考查空间几何体的三视图以及表面积的求法。‎ ‎【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱，‎ 几何体的表面积是．‎ ‎23.【2012高考真题天津理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三视图可知，这是一个上面为长方体，下面有两个直径为3的球构成的组合体，两个球的体积为，长方体的体积为，所以该几何体的体积为。‎ ‎24.【2012高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A1B‎1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图设设棱长为1，则，因为底面边长和侧棱长都相等，且所以，所以， ，，设异面直线的夹角为，所以.‎ 三、解答题 ‎25.【2012高考真题广东理18】（本小题满分13分）‎ 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE．‎ （1） 证明：BD⊥平面PAC；‎ （2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；‎ ‎【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解等问题，考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力.‎ ‎26.【2012高考真题辽宁理18】(本小题满分12分)‎ ‎ 如图，直三棱柱，，‎ 点M，N分别为和的中点。‎ ‎ (Ⅰ)证明：∥平面;‎ ‎ (Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。‎ ‎27.【2012高考真题湖北理19】（本小题满分12分）‎ 如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）． ‎ ‎（Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；‎ ‎（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在 棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．‎ D A B C A C D B 图2‎ 图1‎ M E ‎.‎ ‎·‎ 第19题图 ‎【答案】（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△中，设，则．‎ 由，知，△为等腰直角三角形，所以.‎ 由折起前知，折起后（如图2），，，且，‎ 所以平面．又，所以．于是 ‎ ‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 故当，即时, 三棱锥的体积最大． ‎ 解法2：‎ 同解法1，得． ‎ 令，由，且，解得．‎ 当时，；当时，． ‎ 所以当时，取得最大值．‎ 故当时, 三棱锥的体积最大． ‎ ‎（Ⅱ）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．‎ 由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．‎ 于是可得，，，，，，‎ 且．‎ 设，则. 因为等价于，即 ‎，故，.‎ 所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，． ‎ 设平面的一个法向量为，由 及，‎ 得 可取． ‎ 设与平面所成角的大小为，则由，，可得 ‎，即．‎ C A D B 图a E M x y z 图b C A D B E F M N ‎ 图c B D P C F N E B G M N E H 图d 第19题解答图 N ‎ 故与平面所成角的大小为 ‎ 解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．‎ 如图b，取的中点，连结，，，则∥.‎ 由（Ⅰ）知平面，所以平面.‎ 如图c，延长至P点使得，连，，则四边形为正方形，‎ 所以. 取的中点，连结，又为的中点，则∥，‎ 所以. 因为平面，又面，所以. ‎ 又，所以面. 又面，所以.‎ 因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的.‎ 即当（即是的靠近点的一个四等分点），． ‎ 连接，，由计算得，‎ 所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形，‎ 如图d所示，取的中点，连接，，‎ 则平面．在平面中，过点作于，‎ 则平面．故是与平面所成的角． ‎ 在△中，易得，所以△是正三角形，‎ 故，即与平面所成角的大小为 ‎ ‎28.【2012高考真题新课标理19】（本小题满分12分）‎ 如图，直三棱柱中，，‎ 是棱的中点，‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）在中，‎ ‎ 得：‎ ‎ 同理：‎ ‎ 得：面 ‎ （2）面 ‎ 取的中点，过点作于点，连接 ‎ ，面面面 ‎ 得：点与点重合 ‎ 且是二面角的平面角 ‎ 设，则，‎ ‎ 既二面角的大小为 ‎29.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面．‎ ‎【答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，∴平面。‎ ‎ 又∵平面，∴平面平面。‎ ‎ （2）∵，为的中点，∴。‎ ‎ 又∵平面，且平面，∴。‎ ‎ 又∵平面，，∴平面。‎ ‎ 由（1）知，平面，∴∥。‎ ‎ 又∵平面平面，∴直线平面 ‎【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。‎ ‎【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。‎ ‎ （2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。‎ ‎30.【2012高考真题四川理19】(本小题满分12分) ‎ ‎ 如图，在三棱锥中，，，，平面平面。‎ ‎（Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小。‎ ‎【答案】本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.‎ ‎ ‎ ‎31.【2012高考真题福建理18】如图，在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；‎ ‎（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由. ‎ ‎（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长.‎ ‎【答案】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角的概念与求法等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、基本运算能力，以及函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想.‎ ‎32.【2012高考真题北京理16】（本小题共14分）‎ ‎ 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A‎1C⊥CD,如图2.‎ ‎(I)求证：A‎1C⊥平面BCDE；‎ ‎(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；‎ ‎(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由 ‎【答案】解：（1），‎ 平面，‎ 又平面，‎ 又，‎ 平面。‎ ‎（2）如图建系，则，，，‎ ‎∴,‎ 设平面法向量为 则 ∴ ∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴与平面所成角的大小。‎ ‎（3）设线段上存在点，设点坐标为，则 则，‎ 设平面法向量为，‎ 则 ∴‎ ‎∴。‎ 假设平面与平面垂直，‎ 则，∴，，，‎ ‎∵，∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。‎ ‎33.【2012高考真题浙江理20】(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD 的中点．‎ ‎(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；‎ ‎(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．‎ ‎【命题立意】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，二面角所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。‎ ‎【答案】(Ⅰ)如图连接BD．‎ ‎∵M，N分别为PB，PD的中点，‎ ‎∴在PBD中，MN∥BD．‎ 又MN平面ABCD，‎ ‎∴MN∥平面ABCD；‎ ‎(Ⅱ)如图建系：‎ A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，‎ N(，0，0)，C(，3，0)．‎ 设Q(x，y，z)，则．‎ ‎∵，∴．‎ 由，得：． ‎ 即：．‎ 对于平面AMN：设其法向量为．‎ ‎∵．‎ 则． ‎ ‎∴．‎ 同理对于平面AMN得其法向量为．‎ 记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为，‎ 则．‎ ‎∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为．‎ ‎34.【2012高考真题重庆理19】（本小题满分12分 如图，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点 ‎（Ⅰ）求点C到平面的距离;‎ ‎（Ⅱ）若求二面角 的平面角的余弦值.‎ ‎【答案】‎ ‎【命题立意】本题考查立体几何的相关知识，考查线面垂直关系、二面角的求法以及空间向量在立体几何中的应用.‎ ‎35.【2012高考真题江西理20】（本题满分12分）‎ 在三棱柱ABC-A1B‎1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。‎ ‎（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB‎1C1C，并求出AE的长；‎ ‎（2）求平面A1B‎1C与平面BB‎1C1C夹角的余弦值。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题考查线面垂直，二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力. 高考中，立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直，平行有关的线面关系的证明；二、考查空间几何体的体积与表面积；三、考查异面角，线面角，二面角等角度问题.前两种考查多出现在第1问，第3种考查多出现在第2问；对于角度问题，一般有直接法与空间向量法两种求解方法.‎ ‎36.【2012高考真题安徽理18】（本小题满分12分）‎ 平面图形如图4所示，其中是矩形，，，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。‎ ‎（Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求的长；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值。‎ ‎【答案】本题考查平面图形与空间图形的转化，空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定。空间线段长度和空间角的余弦值的计算等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和求解能力。‎ ‎【解析】(综合法)‎ ‎（I）取的中点为点，连接，‎ ‎ 则，面面面，‎ 同理：面 得：共面，‎ 又面。‎ ‎（Ⅱ）延长到，使 ，得：，‎ ‎，面面面面，‎ ‎。‎ ‎（Ⅲ）是二面角的平面角。‎ 在中，，‎ 在中，，‎ 得：二面角的余弦值为。‎ ‎37.【2012高考真题上海理19】（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，‎ 底面，是的中点，已知，，，求：‎ ‎（1）三角形的面积；‎ ‎（2）异面直线与所成的角的大小。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，‎ 又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，‎ ‎∴CD⊥PD，‎ 又∵，CD=2，‎ ‎∴△PCD的面积为。‎ ‎（2）解法一：取PB的中点F，连接EF,AF, ‎ 则EF∥BC，∴∠AEF(或其补角)是异面直线 BC与AE所成的角。‎ 在△ADF中，EF=、AF=,AE=2，‎ ‎∴△AEF是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AEF=，‎ ‎∴异面直线BC与AE所成的角大小为。‎ 解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 则B(2,0,0),C(2，,0),E(1，,1)， ∴=(1，,1)，=(0,,0),‎ 设与的夹角为，则 ‎=,,‎ 又∵0＜≤，∴=。‎ ‎【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．‎ ‎38.【2012高考真题全国卷理18】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.‎ ‎（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；‎ ‎（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.‎ ‎【答案】‎ ‎39.【2012高考真题山东理18】（18）（本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】‎ 解析：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,‎ 由余弦定理可知,‎ 即,在中，∠DAB=60°，，则为直角三角形，且。又AE⊥BD，平面AED，平面AED，且，故BD⊥平面AED；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，则,建立如图所示的空间直角坐标系，，向量为平面的一个法向量.‎ 设向量为平面的法向量，则,即，‎ 取，则，则为平面的一个法向量.‎ ‎，而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则 二面角F-BD-C的余弦值为。‎ ‎40.【2012高考真题湖南理18】（本小题满分12分）‎ ‎ 如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；‎ ‎（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎【答案】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，，‎ Ｅ是ＣＤ的中点，所以 所以 而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.‎ ‎（Ⅱ）过点Ｂ作 由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且.‎ 由知，为直线与平面所成的角.‎ 由题意，知 因为所以 由所以四边形是平行四边形，故于是 在中，所以 ‎　　　　　　　‎ 于是 又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 ‎　　　　　　　　　‎ 解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：‎ ‎（Ⅰ）易知因为 所以而是平面内的两条相交直线，所以 ‎(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与 所成的角和PB与所成的角相等，所以 由（Ⅰ）知，由故 解得.‎ 又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为 ‎ .‎ ‎41.【2012高考真题天津理17】（本小题满分13分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.‎ ‎（Ⅰ）证明PC⊥AD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长. ‎ ‎【答案】‎