高中数学必修2教案7_备课资料（2_2_4 平面与平面平行的性质） 2页

备课资料 备用习题 ‎1.如图15，P是△ABC所在平面外的一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心.‎ 图15‎ ‎（1）求证：平面ABC∥平面A′B′C′；‎ ‎（2）求△A′B′C′与△ABC的面积之比.‎ 证明：（1）连接PA′、PB′、PC′并延长交BC、AC、AB于D、E、F，连接DE、EF、DF.‎ ‎∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心,‎ ‎∴PA′=，PC′=.‎ ‎∴A′C′∥DF.∵A′C′平面ABC，DF平面ABC,‎ ‎∴A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC.‎ 又A′C′∩A′B′=A′，A′C′、A′B′平面A′B′C′,‎ ‎∴平面ABC∥平面A′B′C′.‎ ‎（2）由（1）知A′C′，又DF，∴A′C′AC.‎ 同理,A′B′，B′C′.∴△A′B′C′∽△ABC.‎ ‎∴S△A′B′C′∶S△ABC=1∶9.‎ ‎2.已知：如图16，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β.‎ 图16‎ 求证：AB=CD.‎ 证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴过AB、CD的平面γ与平面α和β分别交于AC和BD.‎ ‎∵α∥β，∴BD∥AC.‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD.‎ ‎3.如图17，已知平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，E、F分别为AB、CD的中点.‎ 求证：EF∥α，EF∥β.‎ 图17‎ 证明：当AB、CD共面时，平面ABCD∩α=AC，平面ABCD∩β=BD.‎ ‎∵α∥β，∴AC∥BD.‎ ‎∵E、F分别为AB、CD的中点，∴EF∥AC.‎ ‎∵ACα，EFα，∴EF∥α.同理,EF∥β.‎ 当AB、CD异面时，∵ECD，‎ ‎∴可在平面ECD内过点E作C′D′∥CD，与α，β分别交于C′，D′.‎ 平面AC′BD′∩α=AC′，平面AC′BD′∩β=BD′，‎ ‎∵α∥β，∴AC′∥BD′.‎ ‎∵E是AB中点，∴E也是C′D′的中点.‎ 平面CC′D′D∩α=CC′，平面CC′D′D∩β=DD′，∵α∥β，‎ ‎∴CC′∥DD′.‎ ‎∵E、F分别为C′D′、CD的中点，∴EF∥CC′，EF∥DD′.‎ ‎∵CC′α，EFα,∴EF∥α.同理,EF∥β.‎ ‎(设计者：释翠香)‎