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- 2021-06-20 发布
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二 用数学归纳法证明不等式举例
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步即证下述哪个不等式成立( )
A．1<2 B．1＋<2
C．1＋＋<2 D．1＋<2
解析：∵n∈N＋，且n>1，
∴第一步n＝2，左边＝1＋＋，右边＝2，
即1＋＋<2，应选C.
答案：C
2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n0至少应取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：1＋＋＋＋＋…＋＝，
n－1＝6，n＝7，故n0＝8.
答案：B
3．用数学归纳法证明 “Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N＋)”时，S1等于( )
A. B．
C. ＋ D．＋＋
解析：因为S1的首项为＝，末项为＝，所以S1＝＋＋，故选D.
答案：D
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k<5时，均有f(k)≥k2成立
6
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)42，因此对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立．
答案：D
5．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，命题也成立．现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
解析：与“如果当n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立”等价的命题为“如果当n＝k＋1时命题不成立，则当n＝k(k∈N＋)时，命题也不成立”．故知当n＝5时，该命题不成立，可推得当n＝4时该命题不成立，故选C.
答案：C
6．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，可归纳出一般性结论：________.
解析：由题意得1＋＋＋…＋<(n∈N＋)．
答案：1＋＋＋…＋<(n∈N＋)
7．用数学归纳法证明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈N＋，a≠kπ，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是________．
答案：＋cos α
8．用数学归纳法证明：2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)时，第一步应验证________．
答案：n＝1时，22≥12＋1＋2，即4＝4
9．证明不等式：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋ )．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即
1＋＋＋…＋<2(k∈N＋)．
6
当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2＋＝，
现在只需证明<2，
即证：2<2k＋1，
两边平方，整理得0<1，显然成立．
∴<2成立．
即1＋＋＋…＋＋<2成立．
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)知，对于任何正整数n原不等式都成立．
10．设Sn＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，设计算S1，S2，S3，并猜想Sn的表达式，然后用数学归纳法给出证明．
解析：∵S1＝＝＝，
S2＝＋＝＝，
S3＝＋＋＝＝，
……
猜想Sn＝(n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，左边S1＝＝，右边＝＝，等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即
＋＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＝＋
＝＝＝，
这就是说，
当n＝k＋1时，等式成立．
6
由(1)(2)可知，
等式Sn＝对n∈N＋都成立．
[B组 能力提升]
1．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,
1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n(n∈N＋)个不等式为( )
A．1＋＋＋…＋>
B．1＋＋＋…＋>
C．1＋＋＋…＋>
D．1＋＋＋…＋>
解析：∵1,3,7,15,31，…的通项公式为an＝2n－1，
∴不等式左边应是1＋＋＋…＋.
∵，1，，2，，…的通项公式为bn＝，
∴不等式右边应是.
答案：C
2．用数学归纳法证明不等式“＋＋…＋>(n>2，n∈N＋)”时的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边( )
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了两项，，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
解析：当n＝k时，左边＝＋＋…＋.
当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋.
6
故由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项．
答案：C
3．用数学归纳法证明某不等式，其中证n＝k＋1时不等式成立的关键一步是：＋>＋( )>，括号中应填的式子是________．
解析：由>k＋2，联系不等式的形式可知，应填k＋2.
答案：k＋2
4．设a，b均为正实数，n∈N＋，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M，N的大小关系为________(提示：利用贝努利不等式，令x＝)．
解析：令x＝，∵M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，
∴＝(1＋x)n，＝1＋nx.
∵a>0，b>0，∴x>0.
由贝努利不等式得(1＋x)n>1＋nx.
∴>，∴M>N
答案：M>N
5．对于一切正整数n，先猜出使tn>n2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)．
证明：猜想当t＝3时，对一切正整数n使3n>n2成立．下面用数学归纳法进行证明．
当n＝1时，31＝3>1＝12，命题成立．
假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，3k>k2成立，
则有3k≥k2＋1.
对n＝k＋1,3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k
>k2＋2(k2＋1)>3k2＋1.
∵(3k2＋1)－(k＋1)2
＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，
∴3k＋1>(k＋1)2，
∴对n＝k＋1，命题成立．
由上知，当t＝3时，对一切n∈N＋，命题都成立．
再用数学归纳法证明：
n(n＋1)·>lg(1·2·3·…·n)．
6
当n＝1时，1×(1＋1)×＝>0＝lg 1，命题成立．
假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，
k·(k＋1)·>lg(1·2·3·…·k)成立．
当n＝k＋1时，(k＋1)·(k＋2)·
＝k(k＋1)·＋2(k＋1)·
>lg(1·2·3·…·k)＋lg 3k＋1
>lg(1·2·3·…·k)＋lg(k＋1)2
＝lg[1·2·3·…·k·(k＋1)]，命题成立．
由上可知，对一切正整数n，命题成立．
6．已知等比数列{an}的首项a1＝2，公比q＝3，Sn是它的前n项和．
求证：≤.
证明：由已知，得Sn＝3n－1，
≤等价于≤，即3n≥2n＋1.(*)
法一：用数学归纳法证明上面不等式成立．
①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．
②假设当n＝k时，(*)成立，即3k≥2k＋1，那么当n＝k＋1时，
3k＋1＝3×3k≥3(2k＋1)＝6k＋3≥2k＋3＝2(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时，(*)成立．
综合①②，得3n≥2n＋1成立．
所以≤.
法二：当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以(*)成立．
当n≥2时，3n＝(1＋2)n＝C＋C×2＋C×22＋…＋C×2n＝1＋2n＋…>1＋2n，所以(*)成立．
所以≤.
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