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- 2021-06-20 发布
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2017 年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考一模数学理
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.若集合 A={0,1},B={y|y=2x,x∈A},则(ð RA)∩B=( )
A.{0}
B.{2}
C.{2,4}
D.{0,1,2}
解析:根据题意,由集合 B={y|y=2x,x∈A},结合 A 的元素可得集合 B,分析可得(ð RA)∩
B 中的元素为属于 B 不属于 A 的元素,即可得答案.
答案:B.
2.在等差数列{an}中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差 d 为( )
A.-14
B.-7
C.7
D.14
解析:利用等差数列的通项公式及其性质即可得出.
答案:C.
3.若函数 f(x)=3cos(ωx-
4
)(1<ω<14)的图象关于 x=
12
对称,则ω等于( )
A.2
B.3
C.6
D.9
解析:由题意可得 ω-
4
=kπ,k∈Z,由此求得ω的值.
答案:B.
4.函数 f(x)=-|x|- x +3 的零点所在区间为( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
解析:判断函数的单调性,利用函数的零点定理判断求解即可.
答案:B.
5.在△ABC 中,A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 bcosA+acosB=c2,a=b=2,则△ABC 的
周长为( )
A.7.5
B.7
C.6
D.5
解析:由已知利用余弦定理可求 c 的值,进而可得周长的值.
答案:D.
6.设向量 a =(2tanα,tanβ),向量b =(4,-3),且 a + = 0 ,则 tan(α+β)等于( )
A. 1
7
B.- 1
5
C.
D.- 1
7
解析:利用两个向量坐标形式的运算法则,两角和的正切公式,求得 tan(α+β)的值.
答案:A.
7.当双曲线 M:
22
2 26
xy
mm
=1(-2≤m<0)的焦距取得最小值时,双曲线 M 的渐近线方程为
( )
A.y=± 2 x
B.y=± 2
2
x
C.y=±2x
D.y=± 1
2
x
解析:由题意可得 c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,可得 m=-1 取得最小值,由双曲线的渐近线方程,
可得渐近线的斜率.
答案:C.
8.已知一几何体的三视图如图所示,俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成,则该几何体
的体积为( )
A.6π+12
B.6π+24
C.12π+12
D.24π+12
解析:由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体,利用体积公式,即可得出结论.
答案:A.
9.设正数 x,y 满足-1<x-y<2,则 z=x-2y 的取值范围为( )
A.(0,2)
B.(-∞,2)
C.(-2,2)
D.(2,+∞)
解析:由约束条件作出可行域,z=x-2y,化为直线方程的斜截式,求出 z 的范围得答案.
答案:B.
10.将函数 f(x)=2sin(2x+
6
)的图象向左平移
12
个单位,再向上平移 1 个单位,得到 g(x)
的图象.若 g(x1)g(x2)=9,且 x1,x2∈[-2π,2π],则 2x1-x2 的最大值为( )
A. 49
12
B. 35
6
C. 25
6
D.17
6
解析:由已知可得 g(x)=2sin(2x+
3
)+1,若 g(x1)g(x2)=9,且 x1,x2∈[-2π,2π],则
g(x1)=g(x2)=3,则 2x+ =
2
+2kπ,k∈Z,结合 x1,x2∈[-2π,2π],可得答案.
答案:A.
11.在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记
者 5 人,主持人需要从这 10 名记者中选出 4 名记者提问,且这 4 人中,既有甲电台记者,
又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为( )
A.1200
B.2400
C.3000
D.3600
解析:由题意,甲电台记者选 1 名,乙电视台记者选 3 人,不同的提问方式的种数为 1 3 1 3
5 5 4 3C C C A
=1200 ; 甲 电 台 记 者 选 2 名 , 乙 电 视 台 记 者 选 2 人 , 不 同 的 提 问 方 式 的 种 数 为
2 2 2 2 2 2
5 5 2 2 2 22C C A A A A =1200,即可得出结论.
答案:B.
12.已知函数 f(x)=2x-5,g(x)=4x-x2,给下列三个命题:
p1:若 x∈R,则 f(x)f(-x)的最大值为 16;
p2:不等式 f(x)<g(x)的解集为集合{x|-1<x<3}的真子集;
p3:当 a>0 时,若 x1,x2∈[a,a+2],f(x1)≥g(x2)恒成立,则 a≥3,
那么,这三个命题中所有的真命题是( )
A.p1,p2,p3
B.p2,p3
C.p1,p2
D.p1
解析:给出 f(x)f(-x)的表达式,结合基本不等式,可判断 p1,在同一坐标系中作出函数
f(x)=2x-5,g(x)=4x-x2 的图象,数形结合,可判断 p2,p3.
答案:A.
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.sin63°cos18°+cos63°cos108°=_____.
解析:利用诱导公式,两角差的正弦函数公式,特殊角的三角函数值即可化简求值得解.
答案: 2
2
.
14.设函数 f(x)=
6
2
1 log 4
4
xx
f x x
,
, < ,则 f(3)+f(4)=_____.
解析:先分别求出 f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,由此能求出 f(3)+f(4).
答案:4.
15.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织
几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5
尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述的已知条件,可求得该女子前 3 天所织布的总
尺数为_____.
解析:利用等比数列的求和公式即可得出.
答案: 35
31
.
16.在 Rt△AOB 中,OA OB =0,|OA|= 5 ,|OB |=2 5 ,AB 边上的高线为 OD,点 E 位
于线段 OD 上,若 3
4OE EA,则向量 EA 在向量OD 上的投影为_____.
解析:由题意可得∠AOB=
2
,建立如图所示的坐标系,利用三角形相似,求出 AD 的值,可
得 D、E 的坐标,由 ,求得λ的值,可得向量 在向量 上的投影为 ED=|
OD OE |的值.
答案: 1
2
或 3
2
.
三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设函数 f(x)=x+ 1
x
+a 为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
(1)求实数 a 的值;
(2)判断函数 f(x)在区间(a+1,+∞)上的单调性,并用定义法证明.
解析:(1)利用 f(x)=x+ 1
x
+a 为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,f(-x)=-f(x),即
可求实数 a 的值;
(2)利用函数单调性的定义进行证明.
答案:(1)∵f(x)=x+ +a 为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴-x- +a=-(x+ +a),∴a=0.
(2)函数 f(x)在区间(1,+∞)上是增函数.
证明:设 1<x1<x2,
则 f(x1)-f(x2)=x1-x2+
12
11
xx =x1-x2- 12
12
xx
xx
=(x1-x2) 12
12
1xx
xx
.
∵1<x1<x2,∴x1-x2<0, 12
12
1xx
xx
>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).
∴函数 f(x)在区间(1,+∞)上是增函数.
18.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,C 为锐角且 asinA=bsinBsinC,b= 2
a.
(1)求 C 的大小;
(2)求
2
2
c
a
的值.
解析:(1)由已知利用正弦定理可得:a2=b2sinC=2a2sinC,可求 sinC= 1
2
,结合 C 为锐角,
可求 C 的值.
(2)由余弦定理即可解得
2
2
c
a
的值.
答案:(1)由已知,asinA=bsinBsinC,
利用正弦定理可得:a2=b2sinC=2a2sinC,
由于:sinC= ,C 为锐角,
解得:C=
6
.
(2)由余弦定理可得:c2=a2+b2-2abcosC=3a2-2a× 2 a× 3
2
=3a2- 6 a2,
故解得:
2
2 =3 6c
a .
19.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的
危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社会每年投入 200 万元,搭建了甲、乙两
个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入 20 万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,
根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位:万元)
满足 P=80+4 2a ,Q= 1
4
a+120,设甲大棚的投入为 x(单位:万元),每年两个大棚的总收益
为 f(x)(单位:万元).
(1)求 f(50)的值;
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益 f(x)最大?
解析:(1)由甲大棚投入 50 万元,则乙大投棚入 150 万元,把 a 的值代入即可得出.
(2)f(x)=80+4 2x + 1
4
(200-x)+120=- x+4 +250,依题意得 20
200 20
x
x
20≤x
≤180,通过换元利用二次函数的单调性即可得出.
答案:(1)∵甲大棚投入 50 万元,则乙大投棚入 150 万元,
∴f(50)=80+4 2 50 + ×150+120=277.5 万元.
(2)f(x)=80+4 + (200-x)+120=- x+4 +250,依题意得 20≤x
≤180,
故 f(x)=- x+4 +250(20≤x≤180).
令 t= x ∈[2 5 ,6 ],则 f(x)=- t2+4 2 t+250=- (t-8 )2+282,
当 t=8 ,即 x=128 时,f(x)max=282 万元.
所以投入甲大棚 128 万元,乙大棚 72 万元时,总收益最大,且最大收益为 282 万元.
20.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+an-1,且 a1,a4 是等比数列{bn}的前两项,记 bn 与 bn+1 之
间包含的数列{an}的项数为 cn,如 b1 与 b2 之间包含{an}中的项为 a2,a3,则 c1=2.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{ancn}的前 n 项和.
解析:(1)利用 an=Sn-Sn-1,求出数列{an}的通项公式,利用且 a1,a4 是等比数列{bn}的前两项,
求出公比即可求解{bn}的通项公式.
(2)化简通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可.
答案:(1)由题意知,Sn=n2+an-1,Sn-1=(n-1)2+an-1-1(n≥2),两式作差得 an=2n-1+an-an-1,即
an-1=2n-1(n≥2)
所以 an=2n+1,则 a1=3,a4=9,
所以 b1=3,b2=9,q= 2
1
b
b
=3,所以 bn=b1×qn-1=3n.
(2)bn=3n,bn+1=3n+1,因为数列{an}是由连续的奇数组成的数列,而 bn 和 bn+1 都是奇数,所以
bn 与 bn+1 之间包含的奇数个数为
1331 3 12
nn
n
,所以 cn=3n-1
ancn=(2n+1)(3n-1)=(2n+1)3n-(2n+1).设{(2n+1)3n}的前 n 项和为 Tn,
Tn=3×31+5×32+…+(2n+1)3n,①3Tn=3×32+5×33+…+(2n+1)3n+1,②
①---②,得-2Tn=9+
1932 13
n
-(2n+1)3n+1=-2n·3n+1,则 Tn=n·3n+1,
所以数列{ancn}的前 n 项和为 Tn-Sn=n·3n+1-n2-2n.
21.已知函数 f(x)=(kx+a)ex 的极值点为-a-1,其中 k,a∈R,且 a≠0.
(1)若曲线 y=f(x)在点 A(0,a)处的切线 l 与直线 y=|2a-2|x 平行,求 l 的方程;
(2)若 a∈[1,2],函数 f(x)在(b-ea,2)上为增函数,求证:e2-3≤b<ea+2.
解析:(1)求出函数的导数,求出 k 的值,从而求出 a 的值,带入 a 的值,求出切线方程即
可;
(2)问题转化为 x≥-a-1 对 x∈(b-ea,2)恒成立,根据-a-1≤b-ea,即 b≥ea-a-1 对 a∈[1,
2]恒成立,设 g(a)=ea-a-1,a∈[1,2],根据函数的单调性证明即可.
答案:(1)当 k=0 时,f(x)无极值,故 k≠0.
由 fˊ(x)=(kx+a+k)ex=0,
得 x=- ak
k
=-a-1,
∴a+k=ak+k.
∵a≠0,∴k=1.
∵fˊ(0)=a+1=|2a-2|,∴a=3 或 a= 1
3
.
当 a=3 时,f(x)=(x+3)ex,f(0)=3,
∴l 的方程为 y=4x+3.
当 a= 1
3
时,f(x)=(x+ 1
3
)ex,f(0)= 1
3
,
∴l 的方程为 y= 4
3
x+ 1
3
.
(2)证明:由题可知 fˊ(x)=(x+a+1)ex≥0 对 x∈(b-ea,2)恒成立,
∵ex>0,∴x+a+1≥0,即 x≥-a-1 对 x∈(b-ea,2)恒成立,
∴-a-1≤b-ea,即 b≥ea-a-1 对 a∈[1,2]恒成立.
设 g(a)=ea-a-1,a∈[1,2],则 gˊ(a)=ea-1>0,
∴g(a)在[1,2]上递增,∴g(a)max=g(2)=e2-3,∴b≥e2-3.
又(b-ea<2,∴e2-3≤b<ea+2.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-4:坐
标系与参数方程]
22.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线 l 的参数方程
为 xt
y at
,(t 为参数),曲线 C1 的方程为ρ(ρ-4sinθ)=12,定点 A(6,0),点 P 是曲线
C1 上的动点,Q 为 AP 的中点.
(1)求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程;
(2)直线 l 与直线 C2 交于 M,N 两点,若|MN|≥2 3 ,求实数 a 的取值范围.
解析:(1)首先,将曲线 C1 化为直角坐标方程,然后,根据中点坐标公式,建立关系,从而
确定点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程;
(2)首先,将直线方程化为普通方程,然后,运用点到直线的距离公式和弦长公式,解不等
式即可得到取值范围.
答案:(1)根据题意,由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,
曲线 C1 的极坐标方程ρ(ρ-4sinθ)=12,
可得曲线 C1 的直角坐标方程为:x2+y2-4y=12,
设点 P(x′,y′),Q(x,y),
根据中点坐标公式,得 26
2
xx
yy
,代入 x2+y2-4y=12,
得点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程为:(x-3)2+(y-1)2=4;
(2)直线 l 的普通方程为:y=ax,
设圆心到直线的距离为 d,
由弦长公式可得,|MN|= 2222 d ≥2 3 ,
可得圆心(3,1)到直线的距离为 d= 22
2
31 23
1
a
a
,
即为 4a2-3a≤0,
解得实数 a 的取值范围为:[0, 3
4
].
[选修 4-5:不等式选讲]
23.已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R.
(1)解不等式 f(x)≤5;
(2)若不等式 m2-m<f(x), x∈R 都成立,求实数 m 的取值范围.
解析:(1)原不等式等价于
1
2
4 4 5
x
x
< ①,或
13
22
25
x
②,或
3
2
4 4 5
x
x
> ③.分别求得
①、②、③的解集,再取并集,即得所求.
(2)利用绝对值三角不等式求得 f(x)的最小值为 2,可得 m2-m<2,由此解得实数 m 的取值
范围.
答案:(1)原不等式等价于 ①,或 ②,或
3
2
4 4 5
x
x
> ③.
解①求得- 1
4
≤x< 1
2
,解②求得 ≤x≤ 3
2
,解③求得 <x≤ 9
4
,
因此不等式的解集为[- , ].
(2)∵f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-(2x-3)|=2,
∴m2-m<2,解得-1<m<2,
即实数 m 的取值范围为(-1,2).
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