2020_2021学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3 41页

3.2.2 　双曲线的简单几何性质 激趣诱思 知识点拨 火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物 . 建在水源不十分充足的地区的电厂 , 为了节约用水 , 需建造一个循环冷却水系统 , 以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用 . 大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔 . 这样从结构稳定 , 强度高 , 能够获得更大的容积 . 气流顺畅 , 对流冷却效果好 , 造型美观 . 建造这种冷却塔时要考虑到最小半径和上、下口的半径 , 如何确定这些数据 ? 激趣诱思 知识点拨 双曲线的几何 性质 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 双曲线有 “ 四点 ”( 两个焦点、两个顶点 ),“ 四线 ”( 两条对称轴、两条渐近线 ), 椭圆是封闭性曲线 , 而双曲线是开放性曲线 ; 双曲线有两支 , 故在应用时要注意点在哪一支上 ; 根据方程判断焦点的位置时 , 注意双曲线与椭圆的差异性 . 2 . 如果双曲线的方程确定 , 那么其渐近线的方程是唯一的 , 但如果双曲线的渐近线确定 , 那么其对应的双曲线有无数条 , 具有共同渐近线的双曲线方程可设为 = λ ( λ ≠0), 当 λ > 0 时 , 对应的双曲线焦点在 x 轴上 , 当 λ < 0 时 , 对应的双曲线焦点在 y 轴上 . 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知双曲线的方程为 9 x 2 -y 2 = 81, 求双曲线的范围、实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 共轭双曲线 (1) 定义 : 以已知双曲线的虚轴为实轴 , 实轴为虚轴的双曲线 , 与原双曲线是一对共轭双曲线 . (2) 共轭双曲线的性质 : ① 有相同的渐近线 ; ② 有不同的离心率 , 离心率倒数的平方和为 1 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 由双曲线的方程求几何性质 例 1 求双曲线 9 y 2 - 4 x 2 =- 36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程 . 思路分析 : 将双曲线方程化为标准方程 , 先求出参数 a , b , c 的值 , 再写出各个结果 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若将方程 9 y 2 - 4 x 2 =- 36 改为 9 y 2 - 4 x 2 = 36, 其结果又将如何 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求双曲线的几何性质的基本思路 1 . 已知双曲线的方程研究其几何性质时 , 若不是标准方程 , 则应先化为标准方程 , 确定方程中 a , b 的对应值 , 利用 c 2 =a 2 +b 2 得到 c 值 , 然后确定双曲线的焦点位置 , 从而写出它的几何性质 . 2 . 求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在 x 轴上还是在 y 轴上 , 以免写错 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 (1) 双曲线 2 x 2 -y 2 =- 8 的实轴长是 ( 　　 ) 答案 : (1)D 　 ( 2)C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 根据双曲线几何性质求其标准方程 例 2 求满足下列条件的双曲线的方程 : (1) 已知双曲线的焦点在 y 轴上 , 实轴长与虚轴长之比为 2 ∶ 3, 且经 (3) 若双曲线的渐近线方程为 2 x ± 3 y= 0, 且两顶点间的距离是 6 . 思路分析 : 对于 (1) 和 (2), 可直接设出双曲线方程 , 根据条件求出参数 a , b 的值 , 即得方程 ; 对于 (3), 焦点位置不确定 , 应分类讨论 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 巧设双曲线方程的六种方法与 技巧 ⑤ 渐近线为 y=kx 的双曲线方程可设为 k 2 x 2 -y 2 = λ ( λ ≠0) . ⑥ 渐近线为 ax ± by= 0 的双曲线方程可设为 a 2 x 2 -b 2 y 2 = λ ( λ ≠0) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 双曲线的渐近线与离心率问题 1 . 求双曲线的离心率或取值范围 思路分析 : 利用双曲线和圆的性质 , 结合已知条件得到关于 a , c 的方程 , 进而求得双曲线的离心率 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : 如 图 , 设 PQ 与 x 轴交于点 A , 由对称性可知 PQ ⊥ x 轴 . ∵ |PQ|=|OF|=c , 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求双曲线离心率及范围的常见方法 1 . 求双曲线离心率的常见方法 : (3) 若得到的是关于 a , c 的齐次方程 , 则方程两边同除以 a 的最高次幂 , 转化为关于 e 的方程求解 . 2 . 求离心率范围的技巧 :(1) 根据条件建立 a , b , c 的不等式 , 类似于求离心率的方法转化求解 ; 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系 , 可以 借助 进行 互求 . 一般地 , 如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程 , 或者已知渐近线方程 , 求离心率的值 , 都会有两解 ( 焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况 ), 不能忘记分类讨论 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 直线与双曲线的位置关系 典例 已知双曲线 C : x 2 -y 2 = 1 及直线 l : y=kx- 1, (1) 若直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点 , 求实数 k 的取值范围 ; (2) 若直线 l 与双曲线 C 交于 A , B 两点 , O 是坐标原点 , 且 △ AOB 的面积 为 , 求实数 k 的值 . 思路分析 : 直线方程与双曲线方程联立方程组 ⇒ 判断 “ Δ ” 与 “0” 的关系 ⇒ 直线与双曲线的位置关系 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 直线与双曲线位置关系的判断方法 1 . 方程思想的应用 把直线与双曲线的方程联立成方程组 , 通过消元后化为 ax 2 +bx+c= 0 的形式 , 在 a ≠0 的情况下考查方程的判别式 . (1) Δ> 0 时 , 直线与双曲线有两个不同的公共点 . (2) Δ= 0 时 , 直线与双曲线只有一个公共点 . (3) Δ< 0 时 , 直线与双曲线没有公共点 . 当 a= 0 时 , 此时直线与双曲线的渐近线平行 , 直线与双曲线有一个公共点 . 2 . 数形结合思想的应用 (1) 直线过定点时 , 根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系 . (2) 直线斜率一定时 , 通过平行移动直线 , 比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例条件不变 , 若直线 l 与双曲线 C 有一个交点 , 实数 k 的取值如何 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 A.6 B.8 C.9 D.10 解析 : 由已知得左焦点 ( - 5,0), 右顶点 (3,0), 所以左焦点与右顶点之间的距离等于 8 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : 16 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测