2020年高中数学第三章简单的线性规划问题 7页

‎3.3.2‎‎ 简单的线性规划问题 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．在△ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m＝y－x的取值范围为(　　)‎ A．[1,3]　　　　　　　 B．[－3,1]‎ C．[－1,3] D．[－3，－1]‎ 解析：直线m＝y－x的斜率k1＝1≥kAB＝，且k1＝1＜kAC＝4，∴直线经过点C(1,0)时m最小，为－1，‎ 经过点B(－1,2)时m最大，为3.‎ 答案：C ‎2．若变量x、y满足约束条件，则z＝2x－y的最小值为(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ 解析：由约束条件作出可行域如图所示，由图可知，目标函数在点A处取得最小值．联立，解得，∴A(0,1)，所以z＝2x－y在点A处取得最小值为2×0－1＝－1.‎ 答案：A ‎3．已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝(　　)‎ A．2 B．9‎ C．3 D．0‎ 解析：由题意知，当直线z＝2x＋4y经过直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0.‎ 答案：D ‎4．已知变量x，y满足则x2＋y2的取值范围是(　　)‎ A． [13,40] B．[13,40)‎ C．(13,40) D．(13,40]‎ 解析：作出可行域如图阴影部分所示．‎ 7‎ x2＋y2可以看成点(0,0)与点(x，y)距离的平方，结合图形可知，点(0,0)与可行域内的点A(2,3)连线的距离最小，即x2＋y2最小，最小值为13；点(0,0)与可行域内的点B(2,6)连线的距离最大，即x2＋y2最大，最大值为40.‎ 所以x2＋y2的取值范围为[13,40]．‎ 答案：A ‎5．已知▱ABCD的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)，点(x，y)在▱ABCD的内部，则z＝2x－5y的取值范围是(　　)‎ A．(－14,16) B．(－14,20)‎ C．(－12,18) D．(－12,20)‎ 解析：‎ 如图，由▱ABCD的三个顶点A(－1,2)，B(3,4)，‎ C(4，－2)可知D点坐标为(0，－4)，‎ 由z＝2x－5y知 y＝x－，‎ ‎∴当直线y＝x－过点B(3,4)时，‎ zmin＝－14.‎ 当直线y＝x－过点D(0，－4)时，zmax＝20.‎ ‎∵点(x，y)在▱ABCD的内部不包括边界，‎ 7‎ ‎∴z的取值范围为(－14,20)．‎ 答案：B ‎6．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．‎ 解析：设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z＝5x＋3y.‎ 由题意得 可行域如图阴影所示．‎ 由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，‎ 此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)．‎ 答案：27‎ ‎7．若x，y满足约束条件，则z＝3x＋y的最大值为________．‎ 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：3x＋y＝0，平移直线l0，当直线l：z＝3x＋y过点A时，z取最大值，由解得A(1,1)，∴z＝3x＋y的最大值为4.‎ 答案：4‎ ‎8．已知x，y满足约束条件则x2＋y2的最小值是________．‎ 解析：画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由得A(1,2)，所以|AO|2＝5.‎ 答案：5‎ ‎9．已知实数x，y满足 ‎(1)求不等式组表示的平面区域的面积；‎ ‎(2)若目标函数为z＝x－2y，求z的最小值．‎ 解析：画出满足不等式组的可行域如图所示：‎ 7‎ ‎(1)易求点A、B的坐标为：‎ A(3,6)，B(3，－6)，‎ 所以三角形OAB的面积为：‎ S△OAB＝×12×3＝18.‎ ‎(2)目标函数化为：y＝x－z，作图知直线过A时z最小，可得A(3,6)，‎ ‎∴zmin＝－9.‎ ‎10．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积‎2 m2‎，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积‎3 m2‎，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)‎ 解析：设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，‎ 依题意 钢板总面积z＝2x＋3y.‎ 作出可行域如图所示．‎ 由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，最小．‎ 由方程组得.‎ 所以，甲、乙两种钢板各用5张．‎ ‎[B组　能力提升]‎ 7‎ ‎1．设O为坐标原点，A(1,1)，若点B(x，y)满足则·取得最小值时，点B的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．无数个 解析：如图，阴影部分为点B(x，y)所在的区域．‎ ‎∵·＝x＋y，‎ 令z＝x＋y，则y＝－x＋z.‎ 由图可知，当点B在C点或D点时，z取最小值，故点B的个数为2.‎ 答案：B ‎2．已知a，b是正数，且满足2