2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2 6页

‎2.1.2‎‎ 第1课时 椭圆的简单几何性质 ‎[课时作业] ‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)‎ A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0)‎ C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)‎ 解析：方程化为x2＋＝1，‎ ‎∴a2＝6，a＝，长轴的端点坐标为(0，±)．‎ 答案：D ‎2．正数m是2和8的等比中项，则椭圆x2＋＝1的离心率为(　　)‎ A. B. C.或 D.或 解析：由题意得m2＝2×8＝16，‎ ‎∴m＝4，‎ ‎∴c2＝4－1＝3，∴c＝，‎ ‎∴e＝.故选A.‎ 答案：A ‎3．若P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，且·＝0，tan∠PF‎1F2＝，则此椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：在Rt△PF‎1F2中，设PF2＝1，则PF1＝2，F‎1F2＝，故此椭圆的离心率e＝＝.‎ 答案：A ‎4．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1(0＜k＜9)有(　　)‎ A．等长的长轴 B．相等的焦距 C．相等的离心率 D．等长的短轴 解析：对椭圆C1，c1＝＝4，对椭圆C2，∵0＜k＜9，∴25－k＞9－k＞0.‎ 其焦点在y轴上，∴c2＝＝4，故选B 答案：B 6‎ ‎5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为2，离心率为，则该椭圆的方程为(　　)‎ A.＋＝1‎ B.＋＝1或＋＝1‎ C.＋＝1‎ D.＋＝1或＋＝1‎ 解析：由题意知a＝，‎ 又∵e＝，∴c＝1，‎ ‎∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，‎ 所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.故选D.‎ 答案：D ‎6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是________．‎ 解析：由题意知，‎2c＝8，c＝4，‎ ‎∴e＝＝＝，‎ ‎∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，‎ ‎∴方程是＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎7．已知椭圆＋＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．‎ 解析：直线与x轴，y轴的交点分别为A(2,0)，B(0,1)，由题意a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，c2＝＝3，故椭圆的焦点坐标为(±，0)．‎ 答案：(±，0)‎ ‎8．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则该椭圆的离心率为________．‎ 解析：如图所示，在Rt△PF‎1F2中，‎ 6‎ ‎|F‎1F2|＝‎2c，‎ ‎∴|PF1|＝，|PF2|＝.‎ 由椭圆定义知＋＝‎2a，‎ ‎∴e＝＝.‎ 答案： ‎9．设椭圆方程为mx2＋4y2＝‎4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．‎ 解析：椭圆方程可化为＋＝1.‎ ‎(1)当04时，a＝，b＝2，‎ ‎∴c＝，‎ ‎∴e＝＝＝，解得m＝，‎ ‎∴a＝，c＝，‎ ‎∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．‎ ‎10．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，求k的值．‎ 解析：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，‎ a2＝k＋8，b2＝9，得c2＝k－1.‎ 由e＝，可得＝，即k＝28.‎ ‎(2)当椭圆的焦点在y轴上时，‎ a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k.‎ 6‎ 由e＝，得＝，即k＝－.‎ 故满足条件的k值为k＝28或－.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，设其近地点A距地面为n千米，远地点B距地面为m千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为(　　)‎ A．‎2千米 B.千米 C．mn千米 D．2mn千米 解析：设运行轨道的长半轴长为a，焦距为‎2c，‎ 由题意，可得 解得a＝＋R，c＝，‎ 故b＝＝ ‎＝＝.‎ 即2b＝2.‎ 答案：A ‎2.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，过F2的直线与圆x2＋y2＝b2相切于点A，并与椭圆C交于不同的两点P，Q，如图，若A，F2为线段PQ的三等分点，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：连接PF1，由题意知OA＝b，‎ 所以|PF1|＝2b，‎ ‎∴|PF2|＝‎2a－2b，‎ ‎∴|AF2|＝a－b.‎ 在Rt△OAF2中有 b2＋(a－b)2＝c2，‎ 将b2＝a2－c2代入整理得 ‎3a‎2－‎3c2－‎2a＝0，‎ 即3－3e2＝2，‎ 即9e4－14e2＋5＝0，‎ 6‎ 解得e2＝或e2＝1(舍去)，‎ ‎∴e＝.故选C.‎ 答案：C ‎3．已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．‎ 解析：由条件知，‎2a＝20，＝，‎ ‎∴a＝10，c＝6，b＝8，‎ 故标准方程为＋＝1或＋＝1.‎ 答案：＋＝1或＋＝1‎ ‎4．(2015·高考浙江卷)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．‎ 解析：设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.‎ 由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.‎ 又O为线段F‎1F的中点，‎ ‎∴F1Q∥OM，‎ ‎∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.‎ 在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，‎ 可解得|OM|＝，|MF|＝，‎ 故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.‎ 由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝‎2a，‎ 整理得b＝c，∴a＝＝c，‎ 故e＝＝.‎ 答案： ‎5．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝.记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶‎ 6‎ ‎2，求该椭圆的离心率．‎ 解析：依题知，F1P⊥F2P，所以△F1QO∽△F‎1F2P，因为△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，所以＝，所以＝，设椭圆的焦距为‎2c，‎ 则F1P＝c，F2P＝＝c，由椭圆的定义可得：c＋c＝‎2a，所以，e＝＝＝－1.‎ ‎6.如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点为A，左顶点为B，F为右焦点，过F作平行于AB的直线交椭圆于C、D两点．作平行四边形OCED，E恰在椭圆上．‎ ‎(1)求椭圆的离心率；‎ ‎(2)若平行四边形OCED的面积为，求椭圆的方程．‎ 解析：(1)∵焦点为F(c,0)，AB斜率为，‎ 故CD方程为y＝(x－c)．‎ 与椭圆联立后消去y得2x2－2cx－b2＝0.‎ ‎∵CD的中点为G，点E的坐标为 将E代入椭圆方程并整理得‎2c2＝a2，‎ ‎∴e＝＝.‎ ‎(2)由(1)知CD的方程为y＝(x－c)，b＝c，a＝c.‎ 与椭圆联立消去y得2x2－2cx－c2＝0.‎ ‎∵平行四边形OCED的面积为 S＝c|yC－yD|＝c ‎＝c ‎＝c2＝，‎ ‎∴c＝，a＝2，b＝.‎ 故椭圆方程为＋＝1.‎ 6‎