高一数学数学竞赛2 4页

数学竞赛辅导2 命题、映射 2015.09‎ 班级_____________ 姓名____________ 学号____________‎ 例题 例1、 若a、b、c∈R,且a=x‎2‎-2y+‎π‎2‎, b=y‎2‎-2z+‎π‎3‎,‎ c=z‎2‎-2x+‎π‎6‎,求证：a,b,c中至少有一个大于零.‎ 例2、 已知a,b均为正有理数，且a‎, ‎b都为无理数.求证：而a‎+‎b也是无理数.‎ 例3、 设α:x≥1或x≤0‎,‎ β:x≥-2m+1或x≤2m-3‎,m∈R,‎ α是β的充分条件，求m的取值范围.‎ 例4、 关于x的一元二次方程m∈Z;‎‎ mx‎2‎-4x+4=0 ①‎ ‎ x‎2‎-4mx+m‎2‎-4m-5=0 ‎‎②.求方程‎① ‎、②的根都是整数的充要条件.‎ 定义：（等差数列）从第二项起，数列的每一项与前一项的是一个定值.‎ 例5、 若两个数列‎{an},{bn}‎满足关系式bn‎=‎a‎1‎‎+2a‎2‎+3a‎3‎+…+nan‎1+2+…+n.试证：数列‎{bn}‎成等差数列的充要条件是an成等差数列.‎ 定义：（映射）设A和B是两个给定的集合，如果按照某种对应法则f，使得对于每一个x∈A，通过f，惟一确定一个y∈B,那么就称f是A到B的一个映射，记为f:A→B.‎ 集合A叫做映射f的定义域，集合B叫做映射f的值域，称y为x在映射f作用下的象，记作y=f(x)，并用符号f:x⟼y表示，称x为y的一个原象.‎ 例1、 设A={a‎1‎,a‎2‎,a‎3‎}‎,B={-1，0，1}‎.‎(1)‎问从A到B的不同映射有多少个？（2）从A到B的映射满足fa‎1‎>f(a‎2‎)≥f(a‎3‎)‎,确定这样的f 例2、 设A={a‎1‎,a‎2‎,a‎3‎}‎，B={b‎1‎,b‎2‎,b‎3‎,b‎4‎}‎,（1）写出一个f:A→B，使得f是单射，并求A到B的单射个数；(2)写出一个f:A→B，使得f不是单射，并求所有这种映射的个数；（3）A到B的映射是否是满射？‎ 例3、 给定一个正整数n，有多少个满足条件‎0≤a≤b≤c≤d≤n的四元有序整数组‎(a,b,c,d)‎ 例4、 数学竞赛命题委员会由9名教授组成，命好的试题藏在一个保险箱里，要求至少有6名教授在场时才能打开保险箱，问保险箱至少应安上多少把锁，配多少把钥匙，怎样把钥匙发给命题委员？‎ 例5、 设集合Sn‎={1,2,…，n}‎.若X是Sn的子集，把X中的所有元素的和成为X的“容量”‎（规定空集的容量为零）.若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集.‎ ‎（1）求证：Sn的奇子集和偶子集个数相等；（2）求证：当n≥3‎时，Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等；（3）当n≥3‎时，求Sn的所有奇子集的容量之和.‎ 练习 ‎1、已知p是q的必要条件，r是q的充分条件，p是r的充分条件，则r是p的( )‎ A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D既非充分也非必要条件 ‎2、若条件p:|x+1|≤4‎,条件q:x‎2‎<5x-6‎，则p是q的（ ）‎ A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D既非充分也非必要条件 ‎3、若条件p:x∈A∩B，则p是（ ）‎ A. x∈A且x∉B ‎ B. x∉A或x∉B C.‎ x∉A且x∉B D. ‎x∈A∪B ‎4、“函数fxx∈R存在反函数”是“函数fx在R上为增函数”的（ ）‎ A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D既非充分也非必要条件 ‎5、a,b∈‎R‎+‎,“a‎2‎+b‎2‎‎>1‎”是‎“ab+1>a+b”‎的（ ）‎ A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D既非充分也非必要条件 ‎6、求证：关于x的方程ax‎2‎+bx+c=0‎有一根为1的充要条件是a+b+c=0‎ ‎7、给出如下两个命题：命题p：f(x)=‎‎1-x‎3‎,且‎|f(a)|<2‎，命题p:‎集合A={x|x‎2‎+a+2‎x+1=0,x∈R}‎,集合B={x|x>0}‎，且A∩B=∅‎,求实数a的取值范围，使命题p,q有且只有一个为真命题.‎ ‎8、命题“对任意的x∈R，x‎3‎-x‎2‎+1≤0‎”的否定是（ ）‎ A．不存在x∈R，x‎3‎‎-x‎2‎+1≤0‎ B. 存在x∈R，‎x‎3‎‎-x‎2‎+1≤0‎ C.存在x∈R，x‎3‎‎-x‎2‎+1>0 ‎ D. 对任意的x∈R，x‎3‎-x‎2‎+1>0‎ ‎9、设a‎1‎‎,b‎1‎,c‎1‎，a‎2‎,b‎2‎,‎c‎2‎均为非零实数，不等式a‎1‎x‎2‎‎+b‎1‎x+c‎1‎>0‎和a‎2‎x‎2‎‎+b‎2‎x+c‎2‎>0‎的解集分别为集合M和N，那么a‎1‎a‎2‎‎=b‎1‎b‎2‎=‎c‎1‎c‎2‎是M=N的（ ）‎ A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D既非充分也非必要条件 ‎10、对于函数f(x)=ax‎2‎+bx-m+c（其中a、b、m、c为常数，x∈R），有下列三个命题：（1）若f(x)‎为偶函数，则m=0‎;(2)不存在实数a、b、m、c，使f(x)‎是奇函数而不是偶函数；（3）f(x)‎不可以既是奇函数又是偶函数.‎ 其中真命题的个数为（ ）‎ A．0 B.1 C.2 D.3‎ ‎11、若y= f(x)‎的反函数是y=‎ f‎-1‎(x)‎，下列四个命题中，正确的个数为（ ）‎ ‎①若y= f(x)‎在[1,2]上是增函数，则y=‎ f‎-1‎(x)‎ 在[1,2]上也是增函数 ‎②若y= fx是奇函数，y=‎ f‎-1‎(x)‎也是奇函数 ‎③若点‎(a,b)‎在y= fx图像上，则y=‎ f‎-1‎(x)‎图像上一定有点‎(b‎, f‎-1‎(b))‎ ‎④因为y= f(x)‎和y=‎ f‎-1‎(x)‎关于直线y=x对称，所以y= f(x)‎与y=‎ f‎-1‎(x)‎图像的交点在直线y=x上.‎ A．1 B.2 C.3 D.4‎ ‎12、有限集合S中元素的个数记作card(S)‎，设A,B都为有限集合，给出下列命题：‎ ‎①A∩B=∅‎的充要条件是card(A∪B)=card(A)+card(B)‎ ‎②A⊆B的必要条件是card(A)≤card(B)‎ ‎③A⊈B的充分条件是card(A)≤card(B)‎ ‎④A=B的充要条件是card(A)=card(B)‎ 其中真命题的序号是（ ）‎ A．③④ B.①② C.①④ D.②③‎ ‎13、已知a,b,c∈(0,1)‎,求证：‎(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于等于‎1‎‎4‎ ‎14、用反证法证明“‎3‎是无理数”.‎