高考数学模拟试卷 (15) 11页

- 1 - 2018 届高三第三次模拟考试 数学（理科）试题(15) 第Ⅰ卷 选择题（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合   | 3 0A x Z x x    ，  | 2 ,xB y y x A   ，则 A B 的元素个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知i 是虚数单位，复数   2018 2 4 1 2 iz i i     在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知 1 32a   ， 1 4 1log 5b  ， 3 1log 4c  ，则（ ） A．b c a  B． a b c  C． c b a  D．b a c  4.数的概念起源于大约 300 万年前的原始社会，如图 1 所示，当时的人类用在绳子上打结的 方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.图 2 所示的是某个部落一 段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满 7 个即在左边的绳子上打一个结，请根据图 2 计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为 （ ） A．3603 B．1326 C．510 D．336 5.已知实数 x ， y 满足 3 6 0 2 4 0 2 3 12 0 x y x y x y            ，则 z x y  的最小值是（ ） A．-6 B．-4 C． 2 5  D．0 - 2 - 6.双曲线 C ： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的离心率为 2，其渐近线与圆 2 2 3 4x a y   相切， 则该双曲线的方程为（ ） A． 2 2 13 yx   B． 2 2 13 9 x y  C． 2 2 12 5 x y  D． 2 2 14 12 x y  7.执行如图所示的程序框图，则输出的 a  （ ） A． 1 4  B． 4 5 C．4 D．5 8.若  8 9 0 1 91 1 2x x a a x a x     ，x R ，则 2 9 1 2 92 2 2a a a     的值为（ ） A． 92 B． 92 1 C． 93 D． 93 1 9.已知等比数列 na 的前 n 项积为 nT ，若 1 24a   ， 4 8 9a   ，则当 nT 取得最大值时，n 的 值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 10.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为 4 的正三角形，俯视图是由边长为 4 的 正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ） - 3 - A． 4 38 3  B． 2 38 3  C． 4 34 3  D． 8 34 3  11.已知函数    21 cos 02f x x    的最小正周期为 2  ，将函数  f x 的图象向右平移  0m m  个单位后关于原点对称，则当 m 取得最小值时，函数    2sin 2 1g x x m   的 一个单调递增区间为（ ） A． ,6 2       B． 5, 4      C． 3,2 4       D． 5 3,4 2       12.已知函数   ln 2f x x x x a   ，若函数  y f x 与   y f f x 有相同的值域，则 a 的取值范围是（ ） A． 1 ,12      B． ,1 C． 31, 2     D． 1, 第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上） 13.设非零向量 a  ，b  满足  a a b    ，且 2b a  ，则向量 a  与b  的夹角为 ． 14.已知在 0,1 内任取一个实数 x ，在 0,2 内任取一个实数 y ，则点 ,x y 位于 1xy e  上 方的概率为 ． 15.已知抛物线C ： 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F ，准线为l ，抛物线 C 有一点 P ，过点 P 作 PM l ，垂足为 M ，若等边 PMF 的面积为 4 3 ，则 p  ． 16.已知三棱锥 P ABC 满足 PA  底面 ABC ， ABC 是边长为 4 3 的等边三角形， D 是 线段 AB 上一点，且 3AD BD .球O 为三棱锥 P ABC 的外接球，过点 D 作球O 的截面， 若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为 34 ，则球O 的表面积为 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） - 4 - 17.已知在 ABC 中， 3B  . （Ⅰ）若 8 3AB  ， 12AC  ，求 ABC 的面积； （Ⅱ）若 4AB  ， BM MN NC    ， 2 3AN BM ，求 AM 的长. 18.生蚝即牡蛎（oyster），是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养 殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动 物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水 产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了 40 只统计质量，得到的结果如下表所示. 质量（ g ）  5,15  15,25  25,35  35,45  45,55 数量 6 10 12 8 4 （Ⅰ）若购进这批生蚝500kg ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的 数量（所得结果保留整数）； （Ⅱ）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选 4 个，记质量在 5,25 间的生蚝的 个数为 X ，求 X 的分布列及数学期望. 19.已知在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 4CAB CBA     ， 1CC AB ， 1 4AA AE  ， 1 1 1 3 8A F A B  ， AG GB  ，点 H 在线段 EG 上. （Ⅰ）证明： EF CH ； （Ⅱ）求平面 1 1BCC B 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值. 20.已知椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 2 2 ，且椭圆C 过点 23, 2      .过点  1,0 做两条相互垂直的直线 1l 、 2l 分别与椭圆C 交于 P 、Q 、 M 、 N 四点. （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； - 5 - （Ⅱ）若 MS SN  ， PT TQ  ，探究：直线 ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不 是，请说明理由. 21.已知关于 x 的方程  21 xx e ax a   有两个不同的实数根 1x 、 2x . （Ⅰ）求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）求证： 1 2 0x x  . 请考生在 22、23 题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一 题记分，解答时请写清题号. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线 1C ： 2 2 1x y  经过伸缩变换 ' 2 ' x x y y    后得到曲线 2C .以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 3C 的极坐标方程为 2sin   . （Ⅰ）求出曲线 2C 、 3C 的参数方程； （Ⅱ）若 P 、Q 分别是曲线 2C 、 3C 上的动点，求 PQ 的最大值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数   2 2 5f x x   . （Ⅰ）解不等式：   1f x x  ； （Ⅱ）当 1m   时，函数    g x f x x m   的图象与 x 轴围成一个三角形，求实数 m 的 取值范围. - 6 - 2018 届高三第三次模拟考试 数学（理科）参考答案(15) 一、选择题 1-5: BBDCB 6-10: ADDCA 11、12：BA 二、填空题 13. 3 4  14. 4 2 e 15. 2 16. 100 三、解答题 17.（Ⅰ）由题意知，  2 2 28 3 12 cos 2 8 3 BC B BC      1 2  ，解得 4 3BC  ， ∴ 2 2 2AC BC AB  ，∴ 1 4 3 12 24 32ABCS     . （Ⅱ）设 BM x ，则 2BN x ， 2 3AN x . 在 ABN 中，   2 222 3 4 2x x  2 4 2 cos 3x     ， 解得 1x  或 2x   （舍去），∴ 1BM  . 在 ABM 中， 2 24 1 2 4 1 cos 3AM       13 . 18.（Ⅰ）由表中数据可以估计每只生蚝的质量为 1 (6 10 10 20 12 3040      8 40 4 50) 28.5g     ， ∴购进500kg ，生蚝的数量约有500000 28.5 17544  （只）. （Ⅱ）由表中数据知，任意挑选一个，质量在 5,25 间的概率 2 5P  ， X 的可能取值为 0，1，2，3，4，则   43 810 5 625P X       ，   3 1 4 2 3 2161 5 5 625P X C          ，   2 2 2 4 2 3 2162 5 5 625P X C             ，   3 3 4 2 3 963 5 5 625P X C             ，   42 164 5 625P X       ， ∴ X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 - 7 - P 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 ∴   216 96 16 83 3 4625 625 625 5E X        或   2 84 5 5E X    . 19.（Ⅰ）不妨设 2AB  ，则 1AG  ， 1 2AE  ， 1 3 2A E  ， 1 3 4A F  . 在 Rt EAG 和 1Rt FA E 中， 1 1 1 2 A FAE AG A E   ， 1 2EAG FA E     ， ∴ 1Rt EAG Rt FA E  ，∴ 1AEG A FE   ， ∴ 1AEG A FE   1 1 2A FE A EF      ，∴ 2FEG   ，即 EF EG ； ∵ 4CAB CBA     ， AG GB  ，∴CG AB ， ∵ 1 1 1ABC A B C 为直三棱柱，∴CG  平面 1 1ABB A ，∴CG EF ； ∴ EF  平面CEG ，∵点 H 在线段 EG 上，∴ EF CH . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，CG  平面 1 1ABB A ，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz ， 不妨设 2AB  ，则  0,1,0A ，  0, 1,0B  ，  1,0,0C ，  1 1,0,2C ， 10,1, 2E      ， 10, ,24F      ， ∴ 11,1, 2CE       ， 3 30, ,4 2EF       ， (1,1,0)BC  ，  1 0,0,2CC  . 设平面 1 1BCC B 的法向量  , ,m x y z ，则 1 0 0 m BC m BC          ， 即 0 0 x y z     ，取 1x  ，则 1y   ， 0z  ， 则平面 1 1BCC B 的一个法向量  1, 1,0m   ； 设平面CEF 的法向量  , ,n x y z ，则 0 0 n CE n EF          ，即 1 02 3 3 04 2 x y z y z        ， 取 2z  ，则 5x  ， 4y  ，则平面 CEF 的一个法向量  5,4,2n  ； ∴ cos , m nm n m n         1 10 302 45    ， - 8 - 故平面 1 1BCC B 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值为 10 30 . 20.（Ⅰ）由题意知， 2 2 2 2 2 3 1 12 2 2 a b a b c c a          ，解得 2 2 2 a b c      ， 故椭圆C 的方程为 2 2 14 2 x y  . （Ⅱ）∵ MS SN  ， PT TQ  ，∴ S 、T 分别为 MN 、 PQ 的中点. 当两直线的斜率都存在且不为 0 时，设直线 1l 的方程为  1y k x  ， 则直线 2l 的方程为  1 1y xk    ，  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ，  3 3,M x y ，  4 4,N x y ， 联立   2 2 14 2 1 x y y k x       ，得 2 2 2 2(2 1) 4 2 4 0k x k x k     ，∴ 224 16 0k    ， ∴ 2 1 2 2 4 2 1 kx x k    ， 2 1 2 2 2 4 2 1 kx x k   ，∴ PQ 中点T 的坐标为 2 2 2 2 ,2 1 2 1 k k k k       ； 同理， MN 中点 S 的坐标为 2 2 2 ,2 2 k k k       ，∴ 2 3 2( 1)ST kk k   ， ∴直线 ST 的方程为 2 2 3 2 1 2( 1) k ky k k    2 2 2 2 1 kx k     ， 即 2 3 2 2( 1) 3 ky xk        ，∴直线 ST 过定点 2 ,03      ； - 9 - 当两直线的斜率分别为 0 和不存在时，则直线 ST 的方程为 0y  ，也过点 2 ,03      ； 综上所述，直线 ST 过定点 2 ,03      . 21.（Ⅰ）∵  21 xx e ax a   ，∴   2 1 1 xx ea x   .令   2 1( ) 1 xx ef x x   ， 则     2 22 2 3 '( ) 1 xx x x f x e x          2 22 1 2 1 x x x e x       ， 令 '( ) 0f x  ，解得 0x  ，令 '( ) 0f x  ，解得 0x  ， 则函数 ( )f x 在  ,0 上单调递增，在 0, 上单调递减， ∴ max( ) (0) 1f x f  ； 又当 1x  时， ( ) 0f x  ，当 1x  时， ( ) 0f x  ， 画出函数 ( )f x 的图象. 要使函数 ( )f x 的图象与 y a 有两个不同的交点， 则 0 1a  ，即实数 a 的取值范围为  0,1 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 1 2x x ，不妨设 1 2x x ，则  1 ,0x   ，  2 0,x   . 要证 1 2 0x x  ，只需证 2 1x x  . ∵  2 1 0,x x   ，且函数 ( )f x 在 0, 上单调递减， ∴只需证    2 1f x f x  ，又    2 1f x f x ，∴只需证    1 1f x f x  ， - 10 - 即证 1 11 1 2 2 1 1 1 1 1 1 x xx xe ex x    ，即证   1 1 0x xx e x e    对  ,0x  恒成立. 令    ( ) 1 1x xg x x e x e     ，  ,0x  ，则    ' x xg x x e e  ， ∵  ,0x  ，∴ 0x xe e   ，∴  ' 0g x  恒成立， 则函数 ( )g x 在 ,0 上单调递减，∴ ( ) (0) 0g x g  . 综上所述， 1 2 0x x  . 22.（Ⅰ）曲线 1C ： 2 2 1x y  经过伸缩变换 ' 2 ' x x y y    ，可得曲线 2C 的方程为 2 2 14 x y  ， ∴其参数方程为 2cos sin x y      （ 为参数）； 曲线 3C 的极坐标方程为 2sin   ，即 2 2 sin    ， ∴曲线 3C 的直角坐标方程为 2 2 2x y y   ，即  22 1 1x y   ， ∴其参数方程为 cos 1 sin x y        （  为参数）. （Ⅱ）设  2cos ,sinP   ，则 P 到曲线 3C 的圆心  0, 1 的距离  224cos sin 1d     23sin 2sin 5     21 163 sin 3 3        ， ∵  sin 1,1   ，∴当 1sin 3   时， max 4 3 3d  . ∴ maxmaxPQ d r  4 3 4 3 313 3    . 23.（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于 1 2 2 5 1 x x x        或 1 1 2 2 5 1 x x x         或 1 2 2 5 1 x x x       ， 解得 8x   或 或 2x  ， 综上所述，不等式   1f x x  的解集为   , 8 2,   . （Ⅱ）当 1m   时，则   2 2 5 1g x x x     3 1 5x   ， - 11 - 此时  g x 的图象与 x 轴围成一个三角形，满足题意： 当 1m   时，   2 2 5g x x x m     3 7, 1 3, 1 3 3, x m x x m x m x m x m                ， 则函数  g x 在 , 1  上单调递减，在 1,  上单调递增. 要使函数  g x 的图象与 x 轴围成一个三角形， 则     1 4 0 2 3 0 g m g m m        ，解得 3 42 m  ； 综上所述，实数 m 的取值范围为  3 ,4 12      .