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- 2021-06-21 发布
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2013年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合,,则( )
(A){0} (B){-1,,0} (C){0,1} (D){-1,,0,1}
2.( )
(A) (B) (C) (D)
3.从中任取个不同的数,则取出的个数之差的绝对值为的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
4.已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为( )
(A) (B) (C) (D)
5.已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是:( )
(A) (B) (C) (D)
6.设首项为,公比为的等比数列的前项和为,则( )
(A) (B) (C) (D)
7.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的属于
(A) (B) (C) (D)
8.为坐标原点,为抛物线的焦点,为上一点,若,则的面积为( )
(A) (B) (C) (D)
9.函数在的图像大致为( )
10.已知锐角的内角的对边分别为,,,,则( )
(A) (B) (C) (D)
11.某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为( )
(A) (B) (C) (D)
12.已知函数,若,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。
二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。
13.已知两个单位向量,的夹角为,,若,则_____。
14.设满足约束条件 ,则的最大值为______。
15.已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为_______。
16.设当时,函数取得最大值,则______.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知等差数列的前项和满足,。
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和。
18(本小题满分共12分)
为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为药,药)的疗效,随机地选取位患者服用药,位患者服用药,这位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:),试验的观测结果如下:
服用药的位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用药的位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(3)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
19.(本小题满分12分)如图,三棱柱中,,,。
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,,求三棱柱的体积。
20.(本小题满分共12分)
已知函数,曲线在点处切线方程为。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)讨论的单调性,并求的极大值。
21.(本小题满分12分)
已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线。
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于,两点,当圆的半径最长是,求。
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,直线为圆的切线,切点为,点在圆上,的角平分线交圆于点,垂直交圆于点。
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)设圆的半径为,,延长交于点,求外接圆的半径。
23.(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为。
(Ⅰ)把的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求与交点的极坐标()。
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数,。
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)设,且当时,,求的取值范围。
参考答案
一、选择题
1.A;2.B;3.B;4.C;5.B;6.D;7.A;8.C;9.C;10.D;11.A;12.D;
二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。
13.2; 14.3;15.; 16.;
三.解答题
17.(1)设{a}的公差为d,则S=。
由已知可得
(2)由(I)知
从而数列.
18.(本小题满分共12分)
(1) 设A药观测数据的平均数为 ,B药观测数据的平均数为 ,又观测结果可得
(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,
由以上计算结果可得>,因此可看出A药的疗效更好
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:
A药
B药
6
0.
5 5 6 8 9
8 5 5 2 2
1.
1 2 2 3 4 6 7 8 9
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2
2.
1 4 5 6 7
5 2 1 0
3.
2
从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2.3上,而B药疗效的试验结果有
的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好。
19.【答案】(I)取AB的中点O,连接、、,因为CA=CB,所以,由于AB=A A1,∠BA A1=600,故为等边三角形,所以OA⊥AB.
因为OC⨅OA=O,所以AB平面OAC.又ACC平面OAC,故ABAC。
(II)由题设知
20.
(II) 由(I)知,
令
从而当<0.
故.
当.
21.解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径;圆N的圆心为N(1,0),半径.
设知P的圆心为P(x,y),半径为R.
(I) 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以
.
有椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左定点除外),其方程为。
(I) 对于曲线C上任意一点,由于,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为;
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得.
若l的倾斜角不为90°,则知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,
则,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l于圆M相切得,
解得k=±。
当k=时,将y=x+代入,并整理得,
解得.
当k=.
综上,.
22.解:(1)连接DE,交BC为G,由弦切角定理得,,而.又因为,所以DE为直径,DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.
(II)由(1),,,故是的中垂线,所以,圆心为O,连接BO,则,,所以,故外接圆半径为.
23.解:(1)将,消去参数t,化学普通方程,
即 ,
将
;
所以极坐标方程为
。
(2)的普通方程为,
所以交点的极坐标为.
24.解:(I)当
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