2020高中数学 第一章 三角函数 1 13页

‎1.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 学习目标：1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．(难点)2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图；能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点)3.求函数解析式时φ值的确定．(易错点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响 ‎2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 ‎3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 ‎4．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义 ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)y＝sin 3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y＝sin.(　　)‎ ‎(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x.(　　)‎ ‎(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin x．(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．y＝sin 3x的图象向左平移个单位得y＝sin＝sin 13‎ ‎.‎ ‎(2)错误．y＝sin 2x应改为y＝sinx.‎ ‎(3)错误．y＝sin x应改为y＝2sin x.‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是(　　)‎ A．0，，π，，2π　　　　　B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， B　[2x应依次取0，，π，，2π，所以描出的五点的横坐标可以是0，，，，π.]‎ ‎3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝________.‎ ‎4　[由已知得A＋1＝5，故A＝4.]‎ ‎4．函数y＝3sin的频率为________，相位为________，初相为________．‎ 　x－　－　[频率为＝＝，‎ 相位为x－，初相为－.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ ‎“五点法”作函数图象 ‎　用“五点法”画函数y＝2sin在一个周期内的简图. ‎ ‎ [思路探究]　列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令3x＋取0，，π，，2π即可找到五点．‎ ‎[解]　先画函数在一个周期内的图象．令X＝3x＋，则x＝，列表 X ‎0‎ π ‎2π x ‎－ y ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ 13‎ ‎[规律方法]　1.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点．‎ ‎2．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤是：‎ 第一步：列表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π π ‎2π x ‎－ － － － － y ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ 第二步：在同一坐标系中描出各点．‎ 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在上的图象．‎ ‎[解]　列表：‎ x ‎－ ‎－ ‎－ ‎2x－ ‎－ ‎－π ‎－ ‎0‎ f(x)‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1－ ‎1‎ ‎1＋ ‎2‎ 三角函数图象之间的变换 13‎ ‎　(1)将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为______________________．‎ ‎(2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin＋1的图象？ ‎ ‎【导学号：84352114】‎ ‎[思路探究]　(1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．‎ ‎(2)法一：y＝sin x→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．‎ 法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．‎ ‎(1)y＝－cos 2x－3　[(1)y＝cos的图象向左平移个单位长度，‎ 得y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos 2x，‎ 再向下平移3个单位长度得y＝－cos 2x－3的图象．]‎ ‎(2)法一：(先伸缩法)①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin 2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位，得y＝2sin 2的图象；‎ ‎④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，‎ 得y＝2sin＋1的图象．‎ 法二：(先平移法)①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝sin的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝sin的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin＋1的图象．‎ ‎[规律方法]　由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：‎ ‎(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)‎ y＝Asin(ωx＋φ)．‎ ‎(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sinωx＋＝sin(ωx＋φ)y＝A 13‎ sin(ωx＋φ)．‎ 提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．(1)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎(2)把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，则f(x)的解析式是(　　) ‎ ‎【导学号：84352115】‎ A．f(x)＝3cos x　　　　　 B．f(x)＝3sin x C．f(x)＝3cos x＋3 D．f(x)＝sin 3x ‎(1)A　(2)A　[(1)因为y＝cos ‎＝sin＝sin ‎＝sin 2，‎ 所以将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，‎ 得到y＝cos的图象．‎ ‎(2)y＝2siny＝3sin 13‎ y＝3sin y＝3sin ‎＝3sin＝3cos x．]‎ 已知函数图象求解析式 ‎　(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分图象如图151所示，则函数f(x)的解析式为(　　)‎ 图151‎ A．y＝2cos＋4 B．y＝2cos＋4‎ C．y＝4cos＋2 D．y＝4cos＋2‎ ‎(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜，且图象如图152所示，求其解析式．‎ 图152‎ ‎[思路探究]　由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.‎ ‎(1)A　　[(1)由函数f(x)的最大值和最小值得 A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，‎ 13‎ 函数f(x)的周期为×4＝4π，又ω＞0，‎ 所以ω＝，又因为点在函数f(x)的图象上 所以6＝2cos＋4，所以cos＝1，‎ 所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜ 所以φ＝－，所以f(x)＝2cos＋4.]‎ ‎(2)法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又由点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－×2＋φ＝0得φ＝，‎ 所以f(x)＝3sin.‎ 法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，‎ 又图象过点，‎ 所以f＝3sin＝0，‎ 所以sin＝0，－＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f(x)＝3sin.‎ 法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin＝3sin.‎ ‎[规律方法]　确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：‎ ‎(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．‎ ‎(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 13‎ 作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：‎ ‎“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；‎ ‎“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；‎ ‎“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；‎ ‎“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；‎ ‎“第五点”为ωx＋φ＝2π.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式．‎ ‎[解]　由最低点M，得A＝2.‎ 在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，即T＝π，ω＝＝＝2.‎ 由点M在图象上得 ‎2sin＝－2，即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，‎ ‎∴φ＝.故f(x)＝2sin.‎ 三角函数图象与性质的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程？‎ 提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ω＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)；‎ 函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k 13‎ ‎∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)．‎ ‎2．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心？‎ 提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称；‎ 函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称．‎ ‎　(1)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝(　　)‎ A.　　　　 B. ‎ C.　　　　 D. ‎(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值. ‎ ‎【导学号：84352116】‎ ‎[思路探究]　(1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．‎ ‎(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.‎ ‎(1)B　　[(1)因为f＝f，所以直线x＝＝是函数f(x)图象的一条对称轴，‎ 又因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，‎ 13‎ 所以当x＝时，f(x)取得最小值．‎ 所以ω＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－，(k∈Z)‎ 又因为T＝≥－＝，所以ω≤12，又因为ω＞0，‎ 所以k＝1，即ω＝8－＝.]‎ ‎(2)由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，‎ ‎∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.‎ 依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝.‎ 由f(x)的图象关于点M对称，可知 sin＝0，即ω＋＝kπ，解得ω＝－，k∈Z.‎ 又f(x)在上是单调函数，‎ 所以T≥π，即≥π.‎ ‎∴ω≤2，又ω＞0，‎ ‎∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.‎ 故φ＝，ω＝2或.‎ 母题探究：1.将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求ω的最大值．‎ ‎[解]　因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0‎ 因为f(x)＝sin ωx在上是增函数．‎ 所以≤，于是，解得0＜ω≤，‎ 所以ω的最大值为.‎ ‎2．本例(2)中增加条件“ω＞‎1”‎，求函数y＝f2(x)＋sin 2x，x∈的最大值．‎ ‎[解]　由条件知f(x)＝sin＝cos 2x 13‎ 由x∈得2x∈，sin 2x∈ y＝f2(x)＋sin 2x＝cos22x＋sin 2x＝1－sin22x＋sin 2x＝－(sin 2x－)2＋ 所以当sin 2x＝时ymax＝.‎ ‎[规律方法]　1.正弦余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．‎ ‎2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 ‎(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．‎ ‎(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)‎ A．3π，， B．6π，， C．3π，3，－ D．6π，3， B　[y＝sin的周期T＝＝6π，振幅为，初相为.]‎ ‎2．函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　　) ‎ ‎【导学号：84352117】‎ A．x＝－ B．x＝ C．x＝－ D．x＝ C　[f＝sin＝sin＝－，‎ 13‎ 所以直线x＝－是函数f(x)的图象的一条对称轴．]‎ ‎3．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为________．‎ 　[函数y＝cos xy＝cosx.所以ω＝.]‎ ‎4．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位. ‎ ‎【导学号：84352118】‎ 　　[y＝3sin xy＝3sin y＝3sin，‎ y＝3sin xy＝3sin y＝3sin＝3sin.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．‎ 图153‎ ‎[解]　(1)列表：‎ x ‎－ ＋ ‎0‎ π ‎2π f(x)‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎(2)描点画图：‎ 13‎ 13‎