- 135.00 KB
- 2021-06-21 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第二章单元质量检测
时间:90分钟 分值:100分
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.函数y=的定义域为( )
A. B.∪(-1,+∞)
C. D.∪(-1,+∞)
解析:由得x∈.
答案:A
2.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
解析:由y′=3x2-2得y′|x=1=1,即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1,所以切线的倾斜角为45°.
答案:B
3.若已知函数f(x)=则f(f(1))+f
的值是( )
A.7 B.2
C.5 D.3
解析:f(1)=log21=0,所以f(f(1))=f(0)=2.因为log3<0,所以f
eq lc(
c)(avs4alco1(log3f(1,2)))=9+1=9log32+1=32log32+1=3log34+1=4+1=5,所以f(f(1))+f=2+5=7,故选A.
答案:A
4.已知a=0.7,b=0.6,c=log2.11.5,则a,b,c的大小关系是( )
A.c0,即f(x)在R上单调递增,因此函数f(x)只有一个零点,故选A.
答案:A
6.已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=|x+b|的图象为( )
解析:由基本不等式得f(x)=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,
即x=2时取得最小值1,故a=2,b=1,
因此g(x)=|x+b|=|x+1|,
只需将y=|x|的图象向左平移1个单位即可,
其中y=|x|的图象可利用其为偶函数通过y=x作出,故选B.
答案:B
7.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.f(2)0时,f(x)的单调递减区间是(-3m,m),若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,则,解得m≥3.当m<0时,f(x)的单调递减区间是(m,-3m),若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,则,解得m≤-2.综上所述,实数m的取值范围是m≥3或m≤-2.故选D.
答案:D
9.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )
A.2 B.3
C.6 D.9
解析:∵f′(x)=12x2-2ax-2b,
Δ=4a2+96b>0,又x=1是极值点,
∴f′(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,且a>0,b>0,
∴ab≤=9,当且仅当a=b时“=”成立,所以ab的最大值为9.
答案:D
10.(2014·湖南卷)若0lnx2-lnx1 B.ex2-ex1x1ex2 D.x2ex1g(x2),x2ex1>x1ex2,故选C.
答案:C
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.设f(x)=则f[f(-1)]=________.
解析:f(-1)=(-1)2=1,所以f[f(-1)]=f(1)=21=2.
答案:2
12.不等式x2-2x<0表示的平面区域与抛物线y2=4x围成的封闭区域的面积为________.
解析:由x2-2x<0,得00)有实根,
所以a=-<0.
答案:(-∞,0)
14.对于函数f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题:
①q=0时,f(x)为奇函数;
②y=f(x)的图象关于(0,q)对称;
③p=0,q>0时,方程f(x)=0有且只有一个实数根;
④方程f(x)=0至多有两个实数根.
其中正确命题的序号为________.
解析:若q=0,则f(x)=x|x|+px=x(|x|+p)为奇函数,所以①正确;由①知,当q=0时,f(x)为奇函数,图象关于原点对称,f(x)=x|x|+px+q的图象由函数f(x)=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位,所以图象关于(0,q)对称,所以②正确;当p=0,q>0时,f(x)=x|x|+q=当f(x)=0,得x=-,只有一解,所以③正确;取q=0,p=-1,f(x)=x|x|-x=由f(x)=0,可得x=0,x=±1有三个实根,所以④不正确.综上正确命题的序号为①②③.
答案:①②③
三、解答题(共4小题,共44分,解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤.)
15.(10分)已知函数f(x)=a-.
(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)=a-,
设00,x2-x1>0,
f(x2)-f(x1)=-
=-=>0,
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)由题意a-<2x在(1,+∞)上恒成立,
设h(x)=2x+,则a1,
所以2->0,所以h(x1)0,f(x)单调递增;
当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
故f(x)在x=-2取极小值f(-2)=0,在x=0取极大值f(0)=4.
(2)f′(x)=,
因为当x∈时,<0,
依题意当x∈时,有5x+(3b-2)≤0,从而+(3b-2)≤0.
所以b的取值范围为.
17.(12分)设函数f(x)=x2+ax-lnx(a∈R).
(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;
(2)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,证明:切点的横坐标为1.
解:(1)a=1时,f(x)=x2+x-lnx(x>0),
∴f′(x)=2x+1-=,
当x∈时,f′(x)<0;
当x∈时,f′(x)>0.
∴f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)证明:设切点为M(t,f(t)),f′(x)=2x+a-,
切线的斜率k=2t+a-,又切线过原点,则k=,
∴=2t+a-,即t2+at-lnt=2t2+at-1.
∴t2-1+lnt=0,
存在性:t=1满足方程t2-1+lnt=0,
∴t=1是方程t2-1+lnt=0的根.
再证唯一性:设φ(t)=t2-1+lnt,φ′(t)=2t+>0,
φ(t)在(0,+∞)单调递增,且φ(1)=0,
∴方程t2-1+lnt=0有唯一解.
综上,切点的横坐标为1.
18.(12分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.
(1)求a;
(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
解:(1)f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a,
曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2.
由题意得-=-2,所以a=1.
(2)由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2.
设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.
由题设知1-k>0.
当x≤0时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根.
当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).
h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0.
所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根.
综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
相关文档
- 高三数学总复习练习第二章 函数、2021-06-21156页
- 高三数学总复习练习第四章 平面向2021-06-2142页
- 高三数学总复习练习第三章 章末检2021-06-209页
- 高三数学总复习练习第三章 三角函2021-06-20104页
- 高三数学总复习练习第九章 计数原2021-06-19105页
- 高三数学总复习练习第十章 算法初2021-06-1956页
- 高三数学总复习练习第一章 集合与2021-06-1936页
- 高三数学总复习练习第六章 不等式2021-06-1774页
- 高三数学总复习练习第十章 章末检2021-06-1610页
- 高三数学总复习练习第七章 立体几2021-06-15121页