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- 2021-06-23 发布
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课时分层作业(一) 回归分析的基本思想及其初步应用
(建议用时:40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.在画两个变量的散点图时,下面叙述正确的是( )
A.预报变量在x轴上,解释变量在y轴上
B.解释变量在x轴上,预报变量在y轴上
C.可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上
D.可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上
B [结合线性回归模型y=bx+a+e可知,解释变量在x轴上,预报变量在y轴上,故选B.]
2.在回归分析中,相关指数R2的值越大,说明残差平方和( )
A.越大 B.越小
C.可能大也可能小 D.以上均错
B [∵R2=1-,∴当R2越大时,
(yi-i)2越小,即残差平方和越小,故选B.]
3.某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所示:
x(月份)
1
2
3
4
5
y(万盒)
5
5
6
6
8
若x,y线性相关,线性回归方程为=0.7x+,估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为( )
【导学号:48662007】
A.8.0万盒 B.8.1万盒
C.8.9万盒 D.8.6万盒
B [回归直线一定过样本点的中心.由已知数据可得=3,=6,代入线性回归方程,可得=-0.7=3.9,即线性回归方程为=0.7x+3.9.把x=6代入,可近似得=8.1,故选B.]
4.某化工厂为预测某产品的回收率y
7
,而要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系,现取了8对观测值,计算得i=52,i=228,=478,iyi=1 849,则y与x的线性回归方程是( )
A.=11.47+2.62x
B.=-11.47+2.62x
C.=2.62+11.47x
D.=11.47-2.62x
A [由题中数据得=6.5,=28.5,
∴===≈2.62,
=-≈28.5-2.62×6.5=11.47,
∴y与x的线性回归方程是=2.62x+11.47,故选A.]
5.若某地财政收入x与支出y满足回归方程=x++ei(单位:亿元)(i=1,2,…),其中=0.8,=2,|ei|<0.5,如果今年该地区财政收入10亿元,年支出预计不会超过( )
【导学号:48662008】
A.10亿元 B.9亿元
C.10.5亿元 D.9.5亿元
C [=0.8×10+2+ei=10+ei,
∵|ei|<0.5,∴9.5<<10.5.]
二、填空题
6.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为________.
1 [根据样本相关系数的定义可知,当所有样本点都在直线上时,相关系数为1.]
7.对具有线性相关关系的变量x和y,由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5,且恒过(2,3)点,则这条回归直线的方程为________.
7
【导学号:48662009】
=-10+6.5x [由题意知=2,=3,=6.5,所以=-=3-6.5×2=-10,即回归直线的方程为=-10+6.5x.]
8.已知方程=0.85x-82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程,其中x的单位是cm,的单位是kg,那么针对某个体(160,53)的残差是________.
-0.29 [把x=160代入=0.85x-82.71,
得=0.85×160-82.71=53.29,
所以残差=y-=53-53.29=-0.29.]
三、解答题
9.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如下:
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的图111坐标系中画出表中数据的散点图;
图111
(2)求出y关于x的线性回归方程=x+,并在坐标系中画出回归直线;
(3)试预测加工10个零件需要多少时间?
(注:=,=-)
[解] (1)散点图如图.
7
(2)由表中数据得iyi=52.5,
=3.5,=3.5,=54,
所以==0.7,
所以=-=1.05.
所以=0.7x+1.05.
回归直线如图中所示.
(3)将x=10代入线性回归方程,得=0.7×10+1.05=8.05,所以预测加工10个零件需要8.05小时.
10.已知某商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据:
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
(1)画出y关于x的散点图;
(2)求出回归直线方程;
【导学号:48662010】
(3)计算R2的值,并说明回归模型拟合程度的好坏(参考数据:=18,=7.4,=1 660,=327,iyi=620,(yi-i)2=0.3,(yi-)2=53.2).
[解] (1)散点图如图所示:
7
(2)因为=18,=7.4,=1 660,=327,iyi=620,所以==-1.15,
=-=28.1.
即所求回归直线方程为:=-1.15x+28.1.
(3)(yi-i)2=0.3,(yi-)2=53.2,
R2=1-≈0.994.
故回归模型的拟合效果较好.
[能力提升练]
1.已知x与y之间的一组数据如下表:
x
0
1
2
3
y
m
3
5.5
7
已求得y关于x的线性回归方程为=2.1x+0.85,则m的值为( )
【导学号:48662011】
A.1 B.0.85
C.0.7 D.0.5
D [∵==,
==,
∴这组数据的样本中心点是.
7
∵y关于x的线性回归方程为=2.1x+0.85,
∴=2.1×+0.85,解得m=0.5.
∴m的值为0.5.]
2.已知x与y之间的几组数据如下表:
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b′x+a′,则以下结论正确的是( )
A.>b′,>a′ B.>b′,a′ D.,a′=-2<.]
3.在对两个变量进行回归分析时,甲、乙分别给出两个不同的回归方程,并对回归方程进行检验.对这两个回归方程进行检验时,与实际数据(个数)的对比结果如下:
与实际相符数据个数
与实际不符数据个数
总计
甲回归方程
32
8
40
乙回归方程
40
20
60
总计
72
28
100
则从表中数据分析,________回归方程更好(即与实际数据更贴近).
甲 [可以根据表中数据分析,两个回归方程对数据预测的正确率进行判断,甲回归方程的数据准确率为=,而乙回归方程的数据准确率为=.显然甲的准确率高些,因此甲回归方程好些.]
7
4.面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位:千箱)与单位成本y(单位:元)的资料进行线性回归分析,结果如下:=,=71,=79,iyi=1 481.则销量每增加1 000箱,单位成本下降________元.
【导学号:48662012】
1.818 2 [由题意知=≈-1.818 2,
=71-(-1.818 2)×≈77.36,=-1.818 2x+77.36,销量每增加1千箱,则单位成本下降1.818 2元.]
5.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程=x+,其中=-20,=-;
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)
[解] (1)由于=(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,
=(90+84+83+80+75+68)=80.
所以=-=80+20×8.5=250,从而回归直线方程为=-20x+250.
(2)设工厂获得的利润为L元,依题意得
L=x(-20x+250)-4(-20x+250)
=-20x2+330x-1 000
=-20+361.25.
当且仅当x=8.25时,L取得最大值.
故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.
7
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