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- 2021-06-23 发布
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2015年广东省高考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x﹣4)(x﹣1)=0},则M∩N=( )
A.{1,4} B.{﹣1,﹣4} C.{0} D.∅
2.(5分)若复数z=i(3﹣2i)(i是虚数单位),则=( )
A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i
3.(5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y= B.y=x+ C.y=2x+ D.y=x+ex
4.(5分)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( )
A. B. C. D.1
5.(5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B.2x+y+=0或2x+y﹣=0
C.2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D.2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
6.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为( )
A.4 B. C.6 D.
7.(5分)已知双曲线C:﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( )
A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
8.(5分)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( )
A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5 D.大于5
二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.)(一)必做题(11~13题)
9.(5分)在(﹣1)4的展开式中,x的系数为 .
10.(5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .
11.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b= .
12.(5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答)
13.(5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则P= .
14.(5分)已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)=,点A的极坐标为A(2,),则点A到直线l的距离为 .
15.如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于D和点P,则OD= .
三、解答题
16.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量=(,﹣),=(sinx,cosx),x∈(0,).
(1)若⊥,求tanx的值;
(2)若与的夹角为,求x的值.
17.(12分)某工厂36名工人年龄数据如图:
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
2
3
4
5
6
7
8
9
40
44
40
41
33
40
45
42
43
10
11
12
13
14
15
16
17
18
36
31
38
39
43
45
39
38
36
19
20
21
22
23
24
25
26
27
27
43
41
37
34
42
37
44
42
28
29
30
31
32
33
34
35
36
34
39
43
38
42
53
37
49
39
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;
(2)计算(1)中样本的均值和方差s2;
(3)36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人?所占百分比是多少(精确到0.01%)?
18.(14分)如图,三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD的中点,点F、G分别在线段AB、BC上,且AF=2FB,CG=2GB.
(1)证明:PE⊥FG;
(2)求二面角P﹣AD﹣C的正切值;
(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.
19.(14分)设a>1,函数f(x)=(1+x2)ex﹣a.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点;
(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行,(O是坐标原点),证明:m≤﹣1.
20.(14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数 k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线 C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
21.(14分)数列{an}满足:a1+2a2+…nan=4﹣,n∈N+.
(1)求a3的值;
(2)求数列{an}的前 n项和Tn;
(3)令b1=a1,bn=+(1+++…+)an(n≥2),证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.
2015年广东省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)(2015•广东)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x﹣4)(x﹣1)=0},则M∩N=( )
A.{1,4} B.{﹣1,﹣4} C.{0} D.∅
【分析】求出两个集合,然后求解交集即可.
【解答】解:集合M={x|(x+4)(x+1)=0}={﹣1,﹣4},
N={x|(x﹣4)(x﹣1)=0}={1,4},
则M∩N=∅.
故选:D.
2.(5分)(2015•广东)若复数z=i(3﹣2i)(i是虚数单位),则=( )
A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i
【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可.
【解答】解:复数z=i(3﹣2i)=2+3i,则=2﹣3i,
故选:A.
3.(5分)(2015•广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y= B.y=x+ C.y=2x+ D.y=x+ex
【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可.
【解答】解:对于A,y=是偶函数,所以A不正确;
对于B,y=x+函数是奇函数,所以B不正确;
对于C,y=2x+是偶函数,所以C不正确;
对于D,不满足f(﹣x)=f(x)也不满足f(﹣x)=﹣f(x),所以函数既不是奇函数,也不是偶函数,所以D正确.
故选:D.
4.(5分)(2015•广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( )
A. B. C. D.1
【分析】首先判断这是一个古典概型,从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”事件包含的基本事件个数,容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法,而在求“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”事件的基本事件个数时,可利用分步计数原理求解,最后带入古典概型的概率公式即可.
【解答】解:这是一个古典概型,从15个球中任取2个球的取法有;
∴基本事件总数为105;
设“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”为事件A;
则A包含的基本事件个数为=50;
∴P(A)=.
故选:B.
5.(5分)(2015•广东)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )
A.2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B.2x+y+=0或2x+y﹣=0
C.2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D.2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
【分析】设出所求直线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程中的变量,即可求出直线方程.
【解答】解:设所求直线方程为2x+y+b=0,则,
所以=,所以b=±5,
所以所求直线方程为:2x+y+5=0或2x+y﹣5=0
故选:A.
6.(5分)(2015•广东)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为( )
A.4 B. C.6 D.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据z的几何意义,利用数形结合即可得到最小值.
【解答】解:不等式组对应的平面区域如图:
由z=3x+2y得y=﹣x+,平移直线y=﹣x+,
则由图象可知当直线y=﹣x+,经过点A时直线y=﹣x+的截距最小,
此时z最小,
由,解得,即A(1,),
此时z=3×1+2×=,
故选:B.
7.(5分)(2015•广东)已知双曲线C:﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( )
A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
【分析】利用已知条件,列出方程,求出双曲线的几何量,即可得到双曲线方程.
【解答】解:双曲线C:﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),
可得:,c=5,∴a=4,b==3,
所求双曲线方程为:﹣=1.
故选:C.
8.(5分)(2015•广东)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( )
A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5 D.大于5
【分析】先考虑平面上的情况:只有三个点的情况成立;再考虑空间里,只有四个点的情况成立,注意运用外接球和三角形三边的关系,即可判断.
【解答】解:考虑平面上,3个点两两距离相等,构成等边三角形,成立;
4个点两两距离相等,由三角形的两边之和大于第三边,则不成立;
n大于4,也不成立;
在空间中,4个点两两距离相等,构成一个正四面体,成立;
若n>4,由于任三点不共线,当n=5时,考虑四个点构成的正四面体,
第五个点,与它们距离相等,必为正四面体的外接球的球心,
且球的半径等于边长,即有球心与正四面体的底面的中心重合,故不成立;
同理n>5,不成立.
故选:B.
二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.)(一)必做题(11~13题)
9.(5分)(2015•广东)在(﹣1)4的展开式中,x的系数为 6 .
【分析】根据题意二项式(﹣1)4的展开式的通项公式为Tr+1=•(﹣1)r•,分析可得,r=2时,有x的项,将r=2代入可得答案.
【解答】解:二项式(﹣1)4的展开式的通项公式为Tr+1=•(﹣1)r•,
令2﹣=1,求得r=2,
∴二项式(﹣1)4的展开式中x的系数为=6,
故答案为:6.
10.(5分)(2015•广东)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= 10 .
【分析】根据等差数列的性质,化简已知的等式即可求出a5的值,然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后,将a5的值代入即可求出值.
【解答】解:由a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=25,
得到a5=5,
则a2+a8=2a5=10.
故答案为:10.
11.(5分)(2015•广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b= 1 .
【分析】由sinB=,可得B=或B=,结合a=,C=及正弦定理可求b
【解答】解:∵sinB=,
∴B=或B=
当B=时,a=,C=,A=,
由正弦定理可得,
则b=1
当B=时,C=,与三角形的内角和为π矛盾
故答案为:1
12.(5分)(2015•广东)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 1560 条毕业留言.(用数字作答)
【分析】通过题意,列出排列关系式,求解即可.
【解答】解:某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了=40×39=1560条.
故答案为:1560.
13.(5分)(2015•广东)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则P= .
【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可.
【解答】解:随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,
可得np=30,npq=20,q=,则p=,
故答案为:.
14.(5分)(2015•广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)=,点A的极坐标为A(2,),则点A到直线l的距离为 .
【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程,然后求出极坐标表示的直角坐标,利用点到直线的距离求解即可.
【解答】解:直线l的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)=,对应的直角坐标方程为:y﹣x=1,
点A的极坐标为A(2,),它的直角坐标为(2,﹣2).
点A到直线l的距离为:=.
故答案为:.
15.(2015•广东)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于D和点P,则OD= 8 .
【分析】连接OC,确定OP⊥AC,OP=BC=,Rt△OCD中,由射影定理可得OC2=OP•OD,即可得出结论.
【解答】解:连接OC,则OC⊥CD,
∵AB是圆O的直径,
∴BC⊥AC,
∵OP∥BC,
∴OP⊥AC,OP=BC=,
Rt△OCD中,由射影定理可得OC2=OP•OD,
∴4=OD,
∴OD=8.
故答案为:8.
三、解答题
16.(12分)(2015•广东)在平面直角坐标系xOy中,已知向量=(,﹣),=(sinx,cosx),x∈(0,).
(1)若⊥,求tanx的值;
(2)若与的夹角为,求x的值.
【分析】(1)若⊥,则•=0,结合三角函数的关系式即可求tanx的值;
(2)若与的夹角为,利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值.
【解答】解:(1)若⊥,
则•=(,﹣)•(sinx,cosx)=sinx﹣cosx=0,
即sinx=cosx
sinx=cosx,即tanx=1;
(2)∵||=,||==1,•=(,﹣)•(sinx,cosx)=sinx﹣cosx,
∴若与的夹角为,
则•=||•||cos=,
即sinx﹣cosx=,
则sin(x﹣)=,
∵x∈(0,).
∴x﹣∈(﹣,).
则x﹣=
即x=+=.
17.(12分)(2015•广东)某工厂36名工人年龄数据如图:
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
2
3
4
5
6
7
8
9
40
44
40
41
33
40
45
42
43
10
11
12
13
14
15
16
17
18
36
31
38
39
43
45
39
38
36
19
20
21
22
23
24
25
26
27
27
43
41
37
34
42
37
44
42
28
29
30
31
32
33
34
35
36
34
39
43
38
42
53
37
49
39
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;
(2)计算(1)中样本的均值和方差s2;
(3)36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人?所占百分比是多少(精确到0.01%)?
【分析】(1)利用系统抽样的定义进行求解即可;
(2)根据均值和方差公式即可计算(1)中样本的均值和方差s2;
(3)求出样本和方差即可得到结论.
【解答】解:(1)由系统抽样知,36人分成9组,每组4人,其中第一组的工人年龄为44,所以其编号为2,
∴所有样本数据的编号为:4n﹣2,(n=1,2,…,9),
其数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)由平均值公式得=(44+40+36+43+36+37+44+43+37)=40.
由方差公式得s2=[(44﹣40)2+(40﹣40)2+…+(37﹣40)2]=.
(3)∵s2=.∴s=∈(3,4),
∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37,43]的人数,
即40,40,41,…,39,共23人.
∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%.
18.(14分)(2015•广东)如图,三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD的中点,点F、G分别在线段AB、BC上,且AF=2FB,CG=2GB.
(1)证明:PE⊥FG;
(2)求二面角P﹣AD﹣C的正切值;
(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.
【分析】(1)通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD,利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论;
(2)通过(1)及面面垂直定理可得PG⊥AD,则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角,利用勾股定理即得结论;
(3)连结AC,利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC,在△PAC中,利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠
PAC的余弦值.
【解答】(1)证明:在△PDC中PO=PC且E为CD中点,
∴PE⊥CD,
又∵平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PCD,
∴PE⊥平面ABCD,
又∵FG⊂平面ABCD,
∴PE⊥FG;
(2)解:由(1)知PE⊥平面ABCD,∴PE⊥AD,
又∵CD⊥AD且PE∩CD=E,
∴AD⊥平面PDC,
又∵PD⊂平面PDC,∴AD⊥PD,
又∵AD⊥CD,∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角,
在Rt△PDE中,由勾股定理可得:
PE===,
∴tan∠PDC==;
(3)解:连结AC,则AC==3,
在Rt△ADP中,AP===5,
∵AF=2FB,CG=2GB,
∴FG∥AC,
∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC,
在△PAC中,由余弦定理得
cos∠PAC=
=
=.
19.(14分)(2015•广东)设a>1,函数f(x)=(1+x2)ex﹣a.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点;
(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行,(O是坐标原点),证明:m≤﹣1.
【分析】(1)利用f′(x)>0,求出函数单调增区间.
(2)证明只有1个零点,需要说明两个方面:①函数单调;②函数有零点.
(3)利用导数的最值求解方法证明,思路较为复杂.
【解答】解:(1)f′(x)=ex(x2+2x+1)=ex(x+1)2,
∴f′(x)>0,
∴f(x)=(1+x2)ex﹣a在(﹣∞,+∞)上为增函数.
(2)证明:∵f(0)=1﹣a,a>1,
∴1﹣a<0,即f(0)<0,
∵f()=(1+a)﹣a=+a(﹣1),a>1,
∴>1,﹣1>0,即f()>0,
且由(1)问知函数在(﹣∞,+∞)上为增函数,
∴f(x)在(﹣∞,+∞)上有且只有一个零点.
(3)证明:f′(x)=ex(x+1)2,
设点P(x0,y0)则)f'(x)=ex0(x0+1)2,
∵y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,
∴f′(x0)=0,即:ex0(x0+1)2=0,
∴x0=﹣1,
将x0=﹣1代入y=f(x)得y0=.
∴,
∴,
要证m≤﹣1,即证(m+1)3≤a﹣,
需要证(m+1)3≤em(m+1)2,
即证m+1≤em,
因此构造函数g(m)=em﹣(m+1),
则g′(m)=em﹣1,由g′(m)=0得m=0.
当m∈(0,+∞)时,g′(m)>0,
当m∈(﹣∞,0)时,g′(m)<0,
∴g(m)的最小值为g(0)=0,
∴g(m)=em﹣(m+1)≥0,
∴em≥m+1,
∴em(m+1)2≥(m+1)3,
即:,
∴m≤.
20.(14分)(2015•广东)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数 k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线 C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
【分析】(1)通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论;
(2)设当直线l的方程为y=kx,通过联立直线l与圆C1的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论;
(3)通过联立直线L与圆C1的方程,利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点(4,0)决定的直线斜率,即得结论.
【解答】解:(1)∵圆C1:x2+y2﹣6x+5=0,
整理,得其标准方程为:(x﹣3)2+y2=4,
∴圆C1的圆心坐标为(3,0);
(2)设当直线l的方程为y=kx、A(x1,y1)、B(x2,y2),
联立方程组,
消去y可得:(1+k2)x2﹣6x+5=0,
由△=36﹣4(1+k2)×5>0,可得k2<
由韦达定理,可得x1+x2=,
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为,其中﹣<k<,
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为:(x﹣)2+y2=,其中<x≤3;
(3)结论:当k∈(﹣,)∪{﹣,}时,直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点.
理由如下:
联立方程组,
消去y,可得:(1+k2)x2﹣(3+8k2)x+16k2=0,
令△=(3+8k2)2﹣4(1+k2)•16k2=0,解得k=±,
又∵轨迹C的端点(,±)与点(4,0)决定的直线斜率为±,
∴当直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点时,
k的取值范围为(﹣,)∪{﹣,}.
21.(14分)(2015•广东)数列{an}满足:a1+2a2+…nan=4﹣,n∈N+.
(1)求a3的值;
(2)求数列{an}的前 n项和Tn;
(3)令b1=a1,bn=+(1+++…+)an(n≥2),证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.
【分析】(1)利用数列的递推关系即可求a3的值;
(2)利用作差法求出数列{an}的通项公式,利用等比数列的前n项和公式即可求数列{an}的前 n项和Tn;
(3)利用构造法,结合裂项法进行求解即可证明不等式.
【解答】解:(1)∵a1+2a2+…nan=4﹣,n∈N+.
∴a1=4﹣3=1,1+2a2=4﹣=2,
解得a2=,
∵a1+2a2+…+nan=4﹣,n∈N+.
∴a1+2a2+…+(n﹣1)an﹣1=4﹣,n∈N+.
两式相减得nan=4﹣﹣(4﹣)=,n≥2,
则an=,n≥2,
当n=1时,a1=1也满足,
∴an=,n≥1,
则a3=;
(2)∵an=,n≥1,
∴数列{an}是公比q=,
则数列{an}的前 n项和Tn==2﹣21﹣n.
(3)bn=+(1+++…+)an,
∴b1=a1,b2=+(1+)a2,b3=(1++)a3,
∴bn=+(1+++…+)an,
∴Sn=b1+b2+…+bn=(1+++…+)a1+(1+++…+)a2+…+(1+++…+)an
=(1+++…+)(a1+a2+…+an)=(1+++…+)Tn
=(1+++…+)(2﹣21﹣n)<2×(1+++…+),
设f(x)=lnx+﹣1,x>1,
则f′(x)=﹣.
即f(x)在(1,+∞)上为增函数,
∵f(1)=0,即f(x)>0,
∵k≥2,且k∈N•时,,
∴f()=ln+﹣1>0,即ln>,
∴ln,,…,
即=lnn,
∴2×(1+++…+)=2+2×(++…+)<2+2lnn,
即Sn<2(1+lnn)=2+2lnn.
参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;wkl197822;刘长柏;双曲线;吕静;maths;cst;雪狼王(排名不分先后)
2017年2月3日
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