2012年广东省高考数学试卷（理科） 22页

‎2012年广东省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设i是虚数单位，则复数=（　　）‎ A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i ‎2．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁UM=（　　）‎ A．U B．{1，3，5} C．{3，5，6} D．{2，4，6}‎ ‎3．（5分）若向量，向量，则=（　　）‎ A．（﹣2，﹣4） B．（3，4） C．（6，10） D．（﹣6，﹣10）‎ ‎4．（5分）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（　　）‎ A．y=ln（x+2） B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．12 B．11 C．3 D．﹣1‎ ‎6．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）‎ A．12π B．45π C．57π D．81π ‎7．（5分）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义○=，若平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，则○=（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎9．（5分）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为　　．‎ ‎10．（5分）中x3的系数为　　．（用数字作答）‎ ‎11．（5分）已知递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=a22﹣4，则an=　　．‎ ‎12．（5分）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为　　．‎ ‎13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为　　．‎ ‎14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1‎ 与C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为　　．‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则图PA=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（12分）已知函数f（x）=2cos（ωx+）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）设α，β∈[0，]，f（5α+）=﹣，f（5β﹣）=，求cos（α+β）的值．‎ ‎17．（13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．‎ ‎18．（13分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．‎ ‎（1）证明：BD⊥平面PAC；‎ ‎（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．‎ ‎19．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．‎ ‎（1）求a1的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数n，有．‎ ‎20．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（14分）设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．‎ ‎（1）求集合D（用区间表示）；‎ ‎（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．‎ ‎　‎ ‎2012年广东省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2012•广东）设i是虚数单位，则复数=（　　）‎ A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i ‎【分析】把的分子分母同时乘以i，得到，利用虚数单位的性质，得，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：=‎ ‎=‎ ‎=﹣6﹣5i．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁UM=（　　）‎ A．U B．{1，3，5} C．{3，5，6} D．{2，4，6}‎ ‎【分析】直接利用补集的定义求出CUM．‎ ‎【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁UM={3，5，6}，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•广东）若向量，向量，则=（　　）‎ A．（﹣2，﹣4） B．（3，4） C．（6，10） D．（﹣6，﹣10）‎ ‎【分析】由向量，向量，知，再由，能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵向量，向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3）‎ ‎=（﹣2，﹣4）．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•广东）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（　　）‎ A．y=ln（x+2） B． C． D．‎ ‎【分析】利用对数函数的图象和性质可判断A正确；利用幂函数的图象和性质可判断B错误；利用指数函数的图象和性质可判断C正确；利用“对勾”函数的图象和性质可判断D的单调性 ‎【解答】解：A，y=ln（x+2）在（﹣2，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）上为增函数，A正确；‎ B，在[﹣1，+∞）上为减函数；排除B C，在R上为减函数；排除C D，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除D 故选 A ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+‎ y的最大值为（　　）‎ A．12 B．11 C．3 D．﹣1‎ ‎【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值 ‎【解答】解：画出可行域如图阴影部分，‎ 由得C（3，2）‎ 目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大，z越大，‎ 由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11‎ 故选 B ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）‎ A．12π B．45π C．57π D．81π ‎【分析】‎ 由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项 ‎【解答】解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱 故它的体积是5×π×32+π×32×=57π 故选C ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数n，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求 ‎【解答】解：个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有=45‎ 记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件A，则A包含的结果：10，30，50，70，90共5个 由古典概率的求解公式可得，P（A）=‎ 故选D ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义○=，若平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，则○=（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【分析】由题意可得○==，同理可得 ○==，故有n≥m 且 m、n∈z．再由cos2θ=，与的夹角θ∈（0，），可得cos2θ ‎∈（，1），即∈（，1），由此求得n、m的值，从而得到○== 的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得 ○====，n∈Z．‎ 同理可得 ○====，m∈Z．‎ 由于||≥||＞0，∴n≥m 且 m、n∈z．‎ ‎∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈（0，），可得cos2θ∈（，1），即∈（，1）．‎ 故有 n=3，m=1，∴○==，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎9．（5分）（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为　　．‎ ‎【分析】由题意，可先将不等式左边变形为分段函数的形式，然后再分三段解不等式，将每一段的不等式的解集并起来即可得到所求不等式的解集 ‎【解答】解：∵|x+2|﹣|x|=‎ ‎∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；‎ 当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；‎ 当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，‎ 综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为 故答案为 ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•广东）中x3的系数为　20　．（用数字作答）‎ ‎【分析】由题意，可先给出二项式的通项，再由通项确定出x3是展开式中的第几项，从而得出其系数 ‎【解答】解：由题意，的展开式的通项公式是Tr+1==x12﹣3r 令12﹣3r=3得r=3‎ 所以中x3的系数为=20‎ 故答案为20‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2012•广东）已知递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=a22﹣4，则an=　2n﹣1　．‎ ‎【分析】由题意，设公差为d，代入，直接解出公式d，再由等差数列的通项公式求出通项即可得到答案 ‎【解答】解：由于等差数列{an}满足a1=1，，令公差为d 所以1+2d=（1+d）2﹣4，解得d=±2‎ 又递增的等差数列{an}，可得d=2‎ 所以an=1+2（n﹣1）=2n﹣1‎ 故答案为：2n﹣1．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•广东）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为　2x﹣y+1=0　．‎ ‎【分析】‎ 先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．‎ ‎【解答】解：y′=3x2﹣1，‎ 令x=1，得切线斜率2，‎ 所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），‎ 即2x﹣y+1=0．‎ 故答案为：2x﹣y+1=0．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为　8　．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值．‎ ‎【解答】解：当i=2，k=1时，s=2，；‎ 当i=4，k=2时，s=（2×4）=4；‎ 当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；‎ 当i=8，k=4时，不满足条件“i＜8”，退出循环，‎ 则输出的s=8‎ 故答案为：8‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•广东）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为　（1，1）　．‎ ‎【分析】把曲线C1与C2的参数方程分别化为普通方程，解出对应的方程组的解，即得曲线C1与C2的交点坐标．‎ ‎【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的普通方程分别为 y2=x，x2+y2=2．‎ 解方程组 可得 ，故曲线C1与C2的交点坐标为（1，1），‎ 故答案为 （1，1）．‎ ‎　‎ ‎15．（2012•广东）（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则图PA=　　．‎ ‎【分析】连接OA，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠AOC=60°．因为直线PA与圆O相切于点A，且OA是半径，得到△PAO是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题中数据可得PA=OAtan60°=．‎ ‎【解答】解：连接OA，‎ ‎∵圆O的圆周角∠ABC对弧AC，且∠ABC=30°，‎ ‎∴圆心角∠AOC=60°．‎ 又∵直线PA与圆O相切于点A，且OA是半径，‎ ‎∴OA⊥PA，‎ ‎∴Rt△PAO中，OA=1，∠AOC=60°，‎ ‎∴PA=OAtan60°=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（12分）（2012•广东）已知函数f（x）=2cos（ωx+）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）设α，β∈[0，]，f（5α+）=﹣，f（5β﹣）=，求cos（α+β）的值．‎ ‎【分析】（1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式ω==解出参数ω的值；‎ ‎（2）由题设条件，可先对，与进行化简，求出α与β两角的函数值，再由作弦的和角公式求出cos（α+β）的值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，函数（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π 所以ω==，即 所以 ‎（2）因为，，‎ 分别代入得及 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2012•广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．‎ ‎【分析】（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；‎ ‎（2）不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人，则随机变量ξ的可能取值有0，1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018‎ ‎（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0，1，2‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．‎ ‎（1）证明：BD⊥平面PAC；‎ ‎（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．‎ ‎【分析】（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；‎ ‎（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．‎ ‎【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD ‎∴PA⊥BD ‎∵PC⊥平面BDE ‎∴PC⊥BD，又PA∩PC=P ‎∴BD⊥平面PAC ‎（2）设AC与BD交点为O，连OE ‎∵PC⊥平面BDE ‎∴PC⊥平面BOE ‎∴PC⊥BE ‎∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角 ‎∵BD⊥平面PAC ‎∴BD⊥AC ‎∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3‎ ‎∴OC=‎ 在△PAC∽△OEC中，‎ 又BD⊥OE，‎ ‎∴‎ ‎∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2012•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．‎ ‎（1）求a1的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）证明：对一切正整数n，有．‎ ‎【分析】（1）在2Sn=an+1﹣2n+1+1中，令分别令n=1，2，可求得a2=2a1+3，a3=6a1+13，又a1，a2+5，a3成等差数列，从而可求得a1；‎ ‎（2）由2Sn=an+1﹣2n+1+1，得an+2=3an+1+2n+1①，an+1=3an+2n②，由①②可知{an+2n}为首项是3，3为公比的等比数列，从而可求an；‎ ‎（3）由an=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1可得≤，累加后利用等比数列的求和公式可证得结论；‎ ‎【解答】解：（1）在2Sn=an+1﹣2n+1+1中，‎ 令n=1得：2S1=a2﹣22+1，‎ 令n=2得：2S2=a3﹣23+1，‎ 解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13‎ 又2（a2+5）=a1+a3‎ 解得a1=1‎ ‎（2）由2Sn=an+1﹣2n+1+1，①‎ ‎2Sn﹣1=an﹣2n+1（n≥2），②‎ ‎①﹣②得：an+1=3an+2n，‎ 又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，‎ 所以an+1=3an+2n对n∈N*成立 ‎∴an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，‎ ‎∴an+2n=3n，‎ ‎∴an=3n﹣2n；‎ ‎（3）∵an=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1‎ ‎∴≤，‎ ‎∴+++…+≤1+++…+=＜．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△‎ OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2，求出椭圆上的点到点Q的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1，求出|AB|，点O到直线l距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2‎ 椭圆上的点到点Q的距离=‎ ‎①当﹣b≤﹣1时，即b≥1，得b=1‎ ‎②当﹣b＞﹣1时，即b＜1，得b=1（舍）‎ ‎∴b=1‎ ‎∴椭圆方程为 ‎（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1‎ ‎∵|AB|=，点O到直线l距离 ‎∴=‎ ‎∵m2+n2＞1‎ ‎∴0＜＜1，∴‎ 当且仅当，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值，‎ 又∵‎ 解得：‎ 所以点M的坐标为或或或，△AOB的面积为．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2012•广东）设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．‎ ‎（1）求集合D（用区间表示）；‎ ‎（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．‎ ‎【分析】（1）根据方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0的判别式讨论a的范围，求出相应D即可；‎ ‎（2）由f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=0得x=1，a，然后根据（1）中讨论的a的取值范围分别求出函数极值即可．‎ ‎【解答】解：（1）记h（x）=2x2﹣3（1+a）x+6a（a＜1）‎ ‎△=9（1+a）2﹣48a=（3a﹣1）（3a﹣9），‎ 当△＜0，即，D=（0，+∞），‎ 当，‎ 当a≤0，．‎ ‎（2）由f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=0得x=1，a，‎ ‎①当，f（x）在D内有一个极大值点a，有一个极小值点；‎ ‎②当，∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0，‎ h（a）=2a2﹣3（1+a）a+6a=3a﹣a2＞0，‎ ‎∴1∉D，a∈D，‎ ‎∴f（x）在D内有一个极大值点a．‎ ‎③当a≤0，则a∉D，‎ 又∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1＜0．‎ ‎∴f（x）在D内有无极值点．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；caoqz；xize；xintrl；邢新丽；minqi5；ywg2058；wfy814；刘长柏（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日