2020年高中数学第六章推理与证明6 5页

‎6．1.1 归　纳 一、基础达标 ‎1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●‎ ‎ ○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 ‎(　　)‎ A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 答案　A ‎2．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为 ‎(　　)‎ A．n B．n＋1‎ C．2n D．2n－1‎ 答案　C 解析　集合{a1}的子集有∅，{a1}共2个；{a1，a2}的子集有∅，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个；集合{a1，a2，a3}的子集共8个，猜测含n个元素的集合的子集有2n个，故选C.‎ ‎3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于 ‎(　　)‎ ‎1×9＋2＝11‎ ‎12×9＋3＝111‎ ‎123×9＋4＝1111‎ ‎1 234×9＋5＝11111‎ ‎12 345×9＋6＝111111‎ A．1111110 B．1111111‎ C．1111112 D．1111113‎ 答案　B 解析　由数塔运算积的知识易得B.‎ ‎4．设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值 ‎(　　)‎ A．一定是零 B．不一定是整数 C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数 5‎ 答案　C 解析　当n＝1时，值为0，‎ 当n＝2时，值为0，‎ 当n＝3时，值为2，‎ 当n＝4时，值为0，‎ 当n＝5时，值为6.‎ ‎5．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6(a，b均为实数)，推测a＝________，b＝________.‎ 答案　6　35‎ ‎6．设函数f(x)＝(x>0)，观察f1(x)＝f(x)＝，‎ f2(x)＝f[f1(x)]＝，‎ f3(x)＝f[f2(x)]＝，‎ f4(x)＝f[f3(x)]＝，…‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________.‎ 答案　 解析　先求分母中x项系数组成数列的通项公式，由1,3,7,15…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.‎ ‎∴fn(x)＝.‎ ‎7．设Sn＝＋＋＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，归纳并猜想出结果，并给出证明．‎ 解　n＝1,2,3,4时，S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.‎ 猜想：Sn＝.‎ 证明如下：＝－，‎ ‎∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)‎ ‎＝1－＝.‎ 5‎ 二、能力提升 ‎8．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为 ‎(　　)‎ A．3 125 B．5 625‎ C．0 625 D．8 125‎ 答案　D 解析　55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58的末四位数字为0 625,59的末四位数字为3 125,510的末四位数字为5 625,511的末四位数字为8 125,512的末四位数字为0 625，…，‎ 由上可得末四位数字周期为4，呈现规律性交替出现，所以52 011＝54×501＋7末四位数字为8 125.‎ ‎9．(2013·湖北(理))古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：‎ 三角形数　N(n,3)＝n2＋n 正方形数　N(n,4)＝n2‎ 五边形数　N(n,5)＝n2－n 六边形数　N(n,6)＝2n2－n ‎......‎ 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.‎ 答案　1 000‎ 解析　由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，‎ 可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝(－1)n2－(－2)n，于是N(n,24)＝11n2－10n，故N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000.‎ ‎10．(2013·陕西(理))观察下列等式： ‎ ‎12＝1‎ ‎12－22＝－3‎ ‎12－22＋32＝6‎ ‎12－22＋32－42＝－10‎ ‎…‎ 照此规律，第n个等式可为________．‎ 答案　12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)‎ 5‎ 解析　分n为奇数、偶数两种情况．‎ 当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－.‎ 当n为奇数时，第n个等式＝－＋n2＝.‎ 综上，第n个等式：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)．‎ ‎11．根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．‎ ‎(1)a1＝a，an＋1＝；‎ ‎(2)对一切的n∈N*，an>0，且2＝an＋1.‎ 解　(1)由已知可得a1＝a，‎ a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.‎ 猜想an＝(n∈N*)．‎ ‎(2)∵2＝an＋1，‎ ‎∴2＝a1＋1，即2＝a1＋1，‎ ‎∴a1＝1.又2＝a2＋1，‎ ‎∴2＝a2＋1，∴a－‎2a2－3＝0.‎ ‎∵对一切的n∈N*，an>0，∴a2＝3.‎ 同理可求得a3＝5，a4＝7，‎ 猜想出an＝2n－1(n∈N*)．‎ ‎12．观察以下等式：‎ sin230°＋cos260°＋sin 30°·cos 60°＝，‎ sin240°＋cos270°＋sin 40°·cos 70°＝，‎ sin215°＋cos245°＋sin 15°·cos 45°＝.‎ ‎…‎ 写出反映一般规律的等式，并给予证明．‎ 解　反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：‎ sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)‎ ‎＝sin2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2‎ 5‎ ‎＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°)‎ ‎＝sin2α＋(cos α－sin α)2＋sin α·cos α－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sin α·cos α＋sin α·cos α－sin2α ‎＝(sin2α＋cos2α)＝.‎ 三、探究与创新 ‎13．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N＋，求a2，a3，a4，并猜想数列的通项公式，并给出证明．‎ 解　{an}中a1＝1，a2＝＝，‎ a3＝＝＝，‎ a4＝＝，…，‎ 所以猜想{an}的通项公式an＝(n∈N＋)．‎ 证明如下：因为a1＝1，an＋1＝，‎ 所以＝＝＋，‎ 即－＝，所以数列{}是以＝1为首项，‎ 公差为的等差数列，‎ 所以＝1＋(n－1)＝＋，‎ 即通项公式an＝(n∈N＋)．‎ 5‎