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- 2021-06-23 发布
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2.2.3-2.2.4 平面与平面平行的性质
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等,则( )
A.平面α∥平面ABC
B.△ABC中至少有一边平行于平面α
C.△ABC中至多有两边平行于α
D.△ABC中只可能有一边与平面α相交
解析:若三点在平面α的同侧,则平面α∥平面ABC,有三边平行于α.若一点在平面α的一侧,另两点在平面α的另一侧,则有两边与平面α相交,有一边平行于α,故△ABC中至少有一边平行于平面α.应选B.
答案:B
2.如图,四棱锥SABCD的所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为( )
A.2+ B.3+
C.3+2 D.2+2
解析:∵AB=BC=CD=AD=2,
∴四边形ABCD为菱形,
∴CD∥AB.又CD⊄平面SAB,AB⊂平面SAB,
∴CD∥平面SAB.又CD⊂平面CDEF,
平面CDEF∩平面SAB=EF,
∴CD∥EF.∴EF∥AB.
又∵E为SA的中点,∴EF=AB=1.
又∵△SAD和△SBC都是等边三角形,
∴DE=CF=2×sin 60°=,
∴四边形DEFC的周长为CD+DE+EF+FC=2++1+=3+2.
答案:C
3.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的( )
A.至少有一条 B.至多有一条
C.有且只有一条 D.没有
解析:直线a和该交点确定一个平面,由线面平行的性质可得,此平面与平面α的交线与a平行,故至多有一条.
答案:B
5
4.若平面α∥平面β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数多条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
解析:因为α∥β,所以两平面无公共点.因为a⊂α,B∉a,所以过a与B可以确定一个平面γ,设γ∩β=l,γ∩α=a,由面面平行的性质定理可知a∥l,且l是过点B的直线.
答案:D
5.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下列结论中正确的是( )
A.E,F,G,H一定是各边的中点
B.G,H一定是CD,DA的中点
C.BE∶EA=BF∶FC,且DH∶HA=DG∶GC
D.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC
解析:由于BD∥平面EFGH,由线面平行的性质定理,有BD∥EH,BD∥FG,则AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC.
答案:D
6.如图,四边形ABDC是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,M是AC的中点,BD与平面α交于点N,AB=4,CD=6,则MN=________.
解析:因为AB∥平面α,AB⊂平面ABDC,平面ABDC∩平面α=MN,所以AB∥MN.又M是AC的中点,所以MN是梯形ABDC的中位线,MN=5.
答案:5
7.已知正方体AC1的棱长为1,点P是面AA1D1D的中点,点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长为________.
解析:画出正方体,取A1D1中点为R(图略),则PQR为等腰直角三角形,且两腰PR=QR=,故PQ=.
答案:
8.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′,若PA′∶AA′=2∶3,则
5
=________.
解析:由平面α∥平面ABC,
得AB∥A′B′,BC∥B′C′,AC∥A′C′,
由等角定理得∠ABC=∠A′B′C′,∠BCA=∠B′C′A′,∠CAB=∠C′A′B′,
从而△ABC∽△A′B′C′,△PAB∽△PA′B′,
=2=2=.
答案:
9.已知AB、CD为异面线段,E、F分别为AC、BD中点,过E、F作平面α∥AB.
求证:CD∥α.
证明:连接AD交平面α于G,连接GE,GF,
∵AB∥α,平面ADB∩α=GF,AB⊂平面ADB.
∴AB∥GF.
又∵F为BD中点,∴G为AD中点.
又∵AC与AD是相交直线,确定的平面ACD∩α=EG,
E为AC中点,G为AD中点,
∴EG为△ACD中位线,∴EG∥CD.
⇒CD∥平面α.
10.如图所示,在两个底面对应边的比是1∶2的三棱台ABCA1B1C1中,BB1∥截面A1EDC1,求截面A1EDC1截棱台ABCA1B1C1成两部分的体积之比.
解析:设三棱台的上、下底面的面积分别为S1和S2,高为h.
∵=,∴=,∴S2=4S1.
∴V三棱台ABCA1B1C1=(S1++S2)
5
=(S1++4S1)=.
∵BB1∥截面A1EDC1,BB1⊂侧面BCC1B1,且侧面BCC1B1与截面交于C1D,∴BB1∥C1D.
同理可证BB1∥A1E,∴C1D∥A1E.
∵两底面互相平行,∴A1C1∥DE.
∴截面A1EDC1是平行四边形,∴A1C1=ED.
同样可以证明B1C1=BD,A1B1=EB,
即△A1B1C1≌△EBD.
∴多面体BDEB1C1A1是棱柱,
有S△A1B1C1=S△BDE=S1.
∵三棱柱BDEB1C1A1的高等于三棱台
ABCA1B1C1的高,等于h.∴V三棱柱BDEB1C1A1=S1h.
∴三棱台被截面A1EDC1截得的另一部分的体积等于S1h-S1h=S1h.
∴截面A1EDC1截三棱台成两部分的体积之比为4∶3.
[B组 能力提升]
1.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )
A.都平行
B.都相交
C.在两个平面内
D.至少和其中一个平行
解析:它可以在一个平面内与另一个平面平行,也可以和两个平面都平行,故选D.
答案:D
2.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动时,则M满足条件________,有MN∥平面B1BDD1.
解析:取B1C1的中点R,连接FR,NR,可证面FHNR∥面B1BDD1,∴当M∈线段FH时有MN⊂面FHNR,∴必有MN∥面B1BDD1.
答案:M∈线段FH
3.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为________.
解析:当点P在平面α,β之间时,由三角形相似可求得BD=24,当平面α,β在点P同侧时可求得BD=.
答案:24或
5
4.如图所示,过正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1作一截面分别交棱AA1,CC1于点M、Q,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,若截面BQD1M∥平面PAO,求的值.
解析:∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C,
平面BQD1M∩平面ADD1A1=D1M,
平面BQD1M∩平面BCC1B1=BQ,
∴D1M∥BQ.
∵平面BQD1M∥平面PAO,PA⊂平面PAO,
∴PA∥平面BQD1M,
又∵AP⊂平面ADD1A1,
平面ADD1A1∩平面BQD1M=D1M,
∴AP∥D1M,
又∵D1M∥BQ,∴AP∥BQ.又∵点P为DD1中点,∴点Q为CC1的中点,∴=1.
5.如图所示,已知P是▱ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(1)求证:l∥BC;
(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.
证明:(1)∵AD∥BC,BC⊄平面PAD,
∴BC∥平面PAD.
又平面PAD∩平面PBC=l,
∴BC∥l.
(2)设Q为DC的中点,连接NQ,MQ,
∵M,N分别为AB,PC的中点,
∴NQ∥PD,MQ∥AD,
可得NQ∥平面PAD,MQ∥平面PAD,
而MQ∩NQ=Q,∴平面MNQ∥平面PAD,
又MN⊂平面MNQ,
∴MN∥平面PAD.
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