2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第十一章 选修模块 第2节 4页

第十一章 第2节 ‎1．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．‎ 解析：(1)f(x)＝ 当x<－1时，f(x)≥1无解；‎ 当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1，‎ 解得1≤x≤2；‎ 当x>2时，由f(x)≥1解得x>2.‎ 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．‎ ‎(2)由f(x)≥x2－x＋m，‎ 得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.‎ 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，‎ 且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.‎ 故m的取值范围为.‎ ‎2．(2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)画出y＝f(x)的图像；‎ ‎(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．‎ 解：(1)当x≤－时，f(x)＝－2x－1－x＋1＝－3x，‎ 当－1的解集；‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，‎ 即f(x)＝ 故不等式f(x)＞1的解集为{x|x＞}．‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|＜1成立．‎ 若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；‎ 若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为，‎ 所以≥1，故0＜a≤2.‎ 综上，a的取值范围为(0,2]．‎ ‎4．(2020·新疆适应性检测)设函数f(x)＝|2x＋1|－|2x－4|，g(x)＝9＋2x－x2.‎ ‎(1)解不等式f(x)>1；‎ ‎(2)证明：|8x－16|≥g(x)－‎2f(x)．‎ 解：(1)当x≥2时，f(x)＝2x＋1－(2x－4)＝5>1，∴x≥2.‎ 当－≤x<2时，f(x)＝2x＋1－(4－2x)＝4x－3>1，得x>1，∴11不成立，无解．‎ 综上，f(x)>1的解集为(1，＋∞)．‎ ‎(2)要证|8x－16|≥g(x)－‎2f(x)，只需证‎2f(x)＋|8x－16|≥g(x)．‎ ‎∵‎2f(x)＋|8x－16|＝|4x＋2|＋|4x－8|≥|4x＋2－(4x－8)|＝10，‎ 当且仅当－≤x≤2时等号成立，∴‎2f(x)＋|8x－16|的最小值是10.‎ 又g(x)＝－(x－1)2＋10≤10，∴g(x)的最大值是10，此时x＝1.‎ ‎∵1∈，∴‎2f(x)＋|8x－16|≥g(x)，‎ ‎∴|8x－16|≥g(x)－‎2f(x)．‎ ‎5．(2020·石家庄模拟)已知函数f(x)＝|ax－1|－(a－2)x.‎ ‎(1)当a＝3时，求不等式f(x)>0的解集；‎ ‎(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝3时，不等式可化为|3x－1|－x>0，‎ 即|3x－1|>x，‎ ‎∴3x－1<－x或3x－1>x，即x<或x>，‎ ‎∴不等式f(x)>0的解集为{x|x<或x>}．‎ ‎(2)当a>0时，f(x)＝ 要使函数f(x)的图象与x轴无交点，‎ 只需解得1≤a<2.‎ 当a＝0时，f(x)＝2x＋1，函数f(x)的图象与x轴有交点，不合题意；‎ 当a<0时，f(x)＝ 要使函数f(x)的图象与x轴无交点，‎ 只需此时无解．‎ 综上可知，若函数f(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为[1,2)．‎ ‎6．(2019·长沙、南昌联考)已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)≥5；‎ ‎(2)若不等式f(x)<3x＋a在(0,3)上恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)∴f(x)≥5可化为|x－2|＋|x＋1|≥5，‎ 则，或，或.‎ 解得x≥3或x≤－2.‎ 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．‎ ‎(2)不等式f(x)≤3x＋a在(0,3)上恒成立，‎ 即|x－2|＋|x＋1|<3x＋a在(0,3)上恒成立，‎ 即|x－2|<2x＋a－1在(0,3)恒成立．‎ 亦即－2x－a＋1