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- 2021-06-23 发布
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1
第三章 不等式
章末综合检测(三)
(时间：120 分钟，满分：150 分)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．函数 y＝
ln（x＋1）
－x2－3x＋4的定义域为( )
A．(－4，－1) B．(－4，1)
C．(－1，1) D．(－1，1]
解析：选 C.由题意知{x＋1＞0，
－x2－3x＋4＞0⇒－1＜x＜1.
2．若 f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则 f(x)与 g(x)的大小关系是( )
A．f(x)>g(x) B．f(x)＝g(x)
C．f(x)0，故 f(x)>g(x)．
3．不等式
x－2
x＋3≤2 的解集是( )
A．{x|x＜－8 或 x＞－3}
B．{x|x≤－8 或 x＞－3}
C．{x|－3≤x≤2}
D．{x|－3＜x≤2}
解析：选 B.原不等式可化为
x－2
x＋3－2≤0，
即
－x－8
x＋3 ≤0，
即(x＋3)(x＋8)≥0 且 x≠－3，解得：x≤－8 或 x＞－3.
4．已知实数 x，y 满足 x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有( )
A．最小值
1
2和最大值 1
B．最小值
3
4和最大值 1
C．最小值
1
2和最大值
3
4
D．最小值 1
解析：选 B.因为 x2y2≤(x2＋y2
2 ) 2
＝
1
4，当且仅当 x2＝y2＝
1
2时，等号成立，所以(1－xy)(1＋
xy)＝1－x2y2≥
3
4.因为 x2y2≥0，所以
3
4≤1－x2y2≤1.
2
5．若不等式
4x＋1
x＋2 <0 和不等式 ax2＋bx－2>0 的解集相同，则 a，b 的值分别为( )
A．－8，－10 B．－4，－9
C．－1，9 D．－1，2
解析：选 B.因为不等式
4x＋1
x＋2 <0 的解集为(－2，－
1
4)，所以不等式 ax2＋bx－2>0 的解集为
( － 2 ， －
1
4) ， 所 以 二 次 方 程 ax2 ＋ bx － 2 ＝ 0 的 两 个 根 为 － 2 ， －
1
4， 所 以
{－2＋（－
1
4）＝－
b
a
－2 × （－
1
4）＝
－2
a
，所以 a＝－4，b＝－9.故选 B.
6．不等式组{－2（x－3）＞10，
x2＋7x＋12 ≤ 0 的解集为( )
A．[－4，－3] B．[－4，－2]
C．[－3，－2] D．∅
解析：选 A.
{－2（x－3）＞10，
x2＋7x＋12 ≤ 0 ⇒{x－3＜－5，
（x＋3）（x＋4） ≤ 0
⇒{x＜－2，
－4 ≤ x ≤ －3⇒－4≤x≤－3.
7．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与
仓库到车站距离成正比．如果在距离车站 10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为 2
万元和 8 万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5 km 处 B．4 km 处
C．3 km 处 D．2 km 处
解析：选 A.设车站到仓库距离为 x(x＞0)，土地费用为 y1，运输费用为 y2，由题意得 y1＝
k1
x ，y2＝k2x，因为 x＝10 时，y1＝2，y2＝8，所以 k1＝20，k2＝
4
5，所以费用之和为 y＝y1＋
y2＝
20
x ＋
4
5x≥2
20
x ×
4
5x＝8，当且仅当
20
x ＝
4x
5 ，即 x＝5 时取等号．
8．已知 x，y 满足约束条件{x－y ≥ 0
x＋y－4 ≤ 0，
y ≥ 1
则 z＝－2x＋y 的最大值是( )
A．－1 B．－2
C．－5 D．1
解析：选 A.作出可行域，如图中阴影部分所示，易知在点 A(1，1)处，z 取得最大值，故 zmax
＝－2×1＋1＝－1.
3
9．已知 x＞0，y＞0.若
2y
x ＋
8x
y ＞m2＋2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )
A．m≥4 或 m≤－2 B．m≥2 或 m≤－4
C．－2＜m＜4 D．－4＜m＜2
解析：选 D.因为 x＞0，y＞0，所以
2y
x ＋
8x
y ≥8(当且仅当
2y
x ＝
8x
y 时取“＝”)．若
2y
x ＋
8x
y ＞m2
＋2m 恒成立，
则 m2＋2m＜8，解之得－4＜m＜2.
10．已知－1≤x＋y≤4，且 2≤x－y≤3，则 z＝2x－3y 的取值范围是( )
A．[3，8] B．[3，6]
C．[6，7] D．[4，5]
解析：选 A.设 2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，
则(λ＋μ)x＋(λ－μ)y＝2x－3y，
所以{λ＋μ＝2，
λ－μ＝－3，解得{λ＝－
1
2，
μ＝
5
2，
所以 z＝－
1
2(x＋y)＋
5
2(x－y)．
因为－1≤x＋y≤4，
所以－2≤－
1
2(x＋y)≤
1
2.①
因为 2≤x－y≤3，
所以 5≤
5
2(x－y)≤
15
2 .②
①＋②得，3≤－
1
2(x＋y)＋
5
2(x－y)≤8，
所以 z 的取值范围是[3，8]．
11．若不等式 x2＋ax＋1≥0 对一切 x∈(0，
1
2 ]恒成立，则实数 a 的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－
5
2 D．－3
4
解析：选 C.因为不等式 x2＋ax＋1≥0 对一切 x∈(0，
1
2 ]恒成立，所以对一切 x∈(0，
1
2 ]，
ax≥－x2－1，即 a≥－
x2＋1
x 恒成立．
令 g(x)＝－
x2＋1
x ＝－(x＋
1
x ).
易知 g(x)＝－(x＋
1
x )在(0，
1
2 ]内为增函数．所以当 x＝
1
2时，g(x)max＝－
5
2，所以 a 的取值
范围是[－
5
2，＋∞)，即 a 的最小值是－
5
2.故选 C.
12．已知 x，y 满足约束条件{x－y－1 ≤ 0，
2x－y－3 ≥ 0，若目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约
束条件下取到的最小值为 2 5，则 a2＋b2 的最小值为( )
A．5 B．4
C. 5 D．2
解析：选 B.画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当直线 z＝ax＋by 过点 A(2，1)
时，z 取得最小值，
即 2 5＝2a＋b，
所以 2 5－2a＝b，
所以 a2＋b2＝a2＋(2 5－2a)2＝5a2－8 5a＋20.构造函数 m(a)＝5a2－8 5a＋20( 5＞a
＞ 0) ， 利 用 二 次 函 数 求 最 值 ， 显 然 函 数 m(a) ＝ 5a2 － 8 5a ＋ 20 的 最 小 值 是
4 × 5 × 20－（8 5）2
4 × 5 ＝4，
即 a2＋b2 的最小值为 4.故选 B.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分．
13．函数 y＝2－x－
4
x(x＞0)的值域为________．
解析：当 x＞0 时，y＝2－(x＋
4
x )≤2－2 x ×
4
x＝－2.当且仅当 x＝
4
x，x＝2 时取等号．
答案：(－∞，－2]
14．若不等式 x2 －4x＋m<0 的解集为空集，则不等式 x2 －(m＋3)x＋3m<0 的解集是
________．
5
解析：由题意，知方程 x2－4x＋m＝0 的判别式 Δ＝(－4)2－4m≤0，解得 m≥4，又 x2－(m＋
3)x＋3m<0 等价于(x－3)(x－m)<0，
所以 32，均有 f(x)≥(m＋2)x－m－15 恒成立，求实数 m 的取值范围．
解：(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，
所以(2x＋4)(x－4)<0，所以－22 时，f(x)≥(m＋2)x－m－15 恒成立，
所以 x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，
则 x2－4x＋7≥m(x－1)．
7
所以对一切 x>2，均有不等式
x2－4x＋7
x－1 ≥m 成立．
又
x2－4x＋7
x－1 ＝(x－1)＋
4
x－1－2
≥2 （x－1） ×
4
x－1－2＝2(当 x＝3 时等号成立)．
所以实数 m 的取值范围是(－∞，2]．
21．(本小题满分 12 分)一个农民有田 2 亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为 400
千克；若种花生，则每亩每期产量为 100 千克，但水稻成本较高，每亩每期需 240 元，而花
生只要 80 元，且花生每千克可卖 5 元，稻米每千克只卖 3 元，现在他只能凑足 400 元，问
这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
解：设水稻种 x 亩，花生种 y 亩，则由题意得
{x＋y ≤ 2，
240x＋80y ≤ 400，
x ≥ 0，
y ≥ 0.
即{x＋y ≤ 2，
3x＋y ≤ 5，
x ≥ 0，y ≥ 0，
画出可行域如图阴影部分所示．
而利润 P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y
＝960x＋420y(目标函数)，
可联立{x＋y＝2，
3x＋y＝5，得交点 B(1.5，0.5)．
故当 x＝1.5，y＝0.5 时，
P 最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1 650，
即水稻种 1.5 亩，花生种 0.5 亩时所得到的利润最大．
22．(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数 x，
都有 f(x)≥x，且当 x∈(1，3)时，有 f(x)≤
1
8(x＋2)2 成立．
(1)证明：f(2)＝2；
(2)若 f(－2)＝0，求 f(x)的表达式；
8
(3)设 g(x)＝f(x)－
m
2x，x∈[0，＋∞)，若 g(x)图像上的点都位于直线 y＝
1
4的上方，求实
数 m 的取值范围．
解：(1)证明：由条件知：f(2)＝4a＋2b＋c≥2 恒成立．
又因取 x＝2 时，f(2)＝4a＋2b＋c≤
1
8(2＋2)2＝2 恒成立，所以 f(2)＝2.
(2)因为{4a＋2b＋c＝2，
4a－2b＋c＝0，所以 4a＋c＝2b＝1.
所以 b＝
1
2，c＝1－4a.
又 f(x)≥x 恒成立，即 ax2＋(b－1)x＋c≥0 恒成立．
所以 a＞0，Δ＝(1
2－1 ) 2
－4a(1－4a)≤0，
解得：a＝
1
8，c＝
1
2.所以 f(x)＝
1
8x2＋
1
2x＋
1
2.
(3)g(x)＝
1
8x2＋(1
2－
m
2 )x＋
1
2＞
1
4，在 x∈[0，＋∞)上恒成立．
即 x2＋4(1－m)x＋2＞0 在 x∈[0，＋∞)上恒成立，
①Δ＜0，即[4(1－m)]2－8＜0.
解得：1－
2
2 ＜m＜1＋
2
2 .
②{Δ ≥ 0，
－2（1－m） ≤ 0，
f（0）＞0.
解得：m≤1－
2
2 ，
综上 m∈(－∞，1＋
2
2 ).
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