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专题76 不等式选讲-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析 32页

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  • 2021-06-23 发布

专题76 不等式选讲-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

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‎2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)‎ 专题76不等式选讲 最新考纲 ‎1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b∈R)．‎ ‎2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：‎ ‎|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ ‎3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎2．含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎3．不等式证明的方法 ‎(1)比较法 ‎①作差比较法 知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b>0‎ 即可，这种方法称为作差比较法．‎ ‎②作商比较法 由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为作商比较法．‎ ‎(2)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法．‎ ‎(3)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】绝对值不等式的解法 ‎【典型例题】‎ 已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+a|，g（x）＝x+2．‎ ‎（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；‎ ‎（2）设，且当，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a＝﹣1时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|x﹣1|﹣x﹣2＜0，‎ ‎（i）当x时，不等式化为﹣（2x﹣1）﹣（x﹣1）﹣x﹣2＜0，解得0＜x．‎ ‎（ii）当x≤1时，不等式化为2x﹣1﹣（x﹣1）﹣x﹣2＜0，解得x≤1，‎ ‎（iii）当x＞1时，不等式化为2x﹣1+x﹣1﹣x﹣2＜0，解得1＜x＜2‎ 综上，原不等式的解集为（0，2）．‎ ‎（2）由﹣a≤x，得﹣‎2a≤2x＜1，﹣‎2a﹣1≤2x﹣1＜0，‎ 又0≤x+aa，‎ 则f（x）＝﹣（2x﹣1）+x+a＝﹣x+a+1，‎ ‎∴不等式f（x）≤g（x）化为﹣x+a+1≤x+2，‎ 得a≤2x+1对x∈[﹣a，）都成立，‎ 故a≤﹣‎2a+1，即a，‎ 又a，故a的取值范围是（，]． ‎ ‎【再练一题】‎ 求不等式4﹣2|x+2|≤|x﹣1|的解集．‎ ‎【解答】解：①当x≤﹣2时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x，此时x；‎ ‎②当﹣2＜x＜1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x＜1；‎ ‎③当x≥1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤x﹣1，解得x，此时x≥1．‎ 综上，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[﹣1，+∞）． ‎ 思维升华 解绝对值不等式的基本方法 ‎(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．‎ ‎(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．‎ ‎(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．‎ ‎【题型二】利用绝对值不等式求最值 ‎【典型例题】‎ 已知函数f（x）＝|x+1|，g（x）＝2|x|+a．‎ ‎（1）当a＝﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；‎ ‎（2）若存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）a＝﹣1时，由f（x）≤g（x）得，|x+1|≤2|x|﹣1；‎ x≤﹣1时，﹣x﹣1≤﹣2x﹣1，解得：x≤﹣1；‎ ‎﹣1＜x≤0时，x+1≤﹣2x﹣1，解得：﹣1＜x；‎ x＞0时，x+1≤2x﹣1，解得：x≥2；‎ ‎∴不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x，或x≥2}；‎ ‎（2）存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），即存在x0∈R，使得|x0+1|≤|x0|；‎ 即存在x0∈R，使得|x0+1|﹣|x0|；‎ 设h（x）＝|x+1|﹣|x|，则h（x）的最小值为﹣1；‎ ‎∴1；‎ 即a≥﹣2；‎ ‎∴实数a的取值范围为：[﹣2，﹣∞）． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，‎ ‎（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；‎ ‎（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，‎ 故，或，或；…‎ 解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1； …‎ 不等式的解集为[﹣2，4]；…‎ ‎（Ⅱ）易知B＝（0，3）；…‎ 所以B⊆A，又|2x﹣4|+|x+1|＜2x+a在x∈（0，3）恒成立；…‎ ‎⇒|2x﹣4|＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…‎ ‎⇒﹣x﹣a+1＜2x﹣4＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…‎ 故 ‎ 思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 ‎(1)利用绝对值的几何意义．‎ ‎(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.‎ ‎(3)利用零点分区间法．‎ ‎【题型三】绝对值不等式的综合应用 ‎【典型例题】‎ 已知不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R．‎ ‎（1）求a的取值范围；‎ ‎（2）当a取得最小值时，请画出f（x）＝x+|x﹣a|的图象．‎ ‎【解答】解：（1）∵x+|x﹣a|≥x﹣x+a＝a，‎ ‎∴不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R等价于a≥1，‎ a的取值范围是[1，+∞）‎ ‎（2）由（1）知a＝1，f（x）＝x+|x﹣1|，‎ 图象如下：‎ ‎ ‎ ‎【再练一题】‎ 设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．‎ ‎（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；‎ ‎（Ⅱ）关于x的不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥x+3，即|2x﹣4|+1≥x+3，则2|x﹣2|≥x+2，‎ 当x≥2时，解得x≥6，‎ 当x＜2，解得x，‎ 所以原不等式的解集为（﹣∞，）∪（6，+∞）‎ ‎（Ⅱ）由不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解可得：‎ a≤2|x﹣2|﹣2|x+2|+1在实数范围内有解，‎ 令g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1，则a≤g（x）nax，‎ 因为g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1≤2|（x﹣2）﹣（x+2）|+1＝9，‎ 所以a≤g（x）max＝9，即a∈（﹣∞，9]． ‎ 思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．‎ ‎(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．‎ ‎【题型四】用综合法与分析法证明不等式 ‎【典型例题】‎ 用综合法或分析法证明：‎ ‎（1）求证2．‎ ‎（2）已知a+b+c＝1，a，b，c为正实数，证明 8．‎ ‎【解答】证明（1）要证2，‎ 只需证明（）2＞（）2，‎ 即证明22，也就是证明42＞40，‎ 上式显然成立，故原结论成立．‎ ‎（2）（分析法）要证明8，‎ ‎∵a+b+c＝1，只要证明••8，‎ ‎∵，，，∴相乘可得；‎ ‎（综合法）∵a，b，c为正实数，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴••8，‎ ‎∵a+b+c＝1，‎ ‎∴8． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知函数f（x）＝x3，x∈[0，1]．‎ ‎（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【解答】证明：（1）∵x∈[0，1]，∴x+1∈[1，2]．‎ 要证明：f（x）≥1﹣x+x2，‎ 只要证明：x3（x+1）+1≥（x+1）（1﹣x+x2），‎ 只要证明：x4≥0，‎ 显然成立，‎ ‎∴f（x）≥1﹣x+x2；‎ ‎（2）∵1﹣x+x2＝（x）2，当且仅当x时取等号，‎ ‎∵f（），f（x）≥1﹣x+x2，‎ ‎∴f（x），‎ ‎（2）∵0≤x≤1，∴x3≤x，‎ ‎∴f（x）≤x，‎ 设g（x）＝x，x∈[0，1]，‎ ‎∴g′（x）＝10，‎ ‎∴g（x）在[0，1]上单调递增，‎ ‎∴f（x）≤g（1），‎ 综上所述明．‎ 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．‎ 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.‎ 基础知识训练 ‎1．已知．‎ ‎（1）若函数的最小值为3，求实数a的值；‎ ‎（2）若时，函数的最大值为k，且．求的最小值．‎ ‎【答案】（1）6（2）2‎ ‎【解析】‎ 解：（1），，函数 当时，函数的最小值为，．‎ ‎（2）当时，，‎ ‎，，所以 因为，‎ 所以当，即，时，最小值为2‎ ‎2．选修4-5：不等式选讲 已知正实数满足.‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ) 若对任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)对正实数有，‎ 所以，解得，当且仅当时等号成立．‎ 因为对任意正实数，恒成立，‎ 所以恒成立．‎ 当时，不等式化为，整理得，所以不等式无解；‎ 当时，不等式化为，解得；‎ 当时，不等式化为，整理得，不等式恒成立．‎ 综上可得的取值范围是．‎ ‎3．已知函数．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若，对，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由得，‎ 若，则，显然不成立；‎ 若，则，，即；‎ 若，则，即，显然成立，‎ 综上所述，的取值范围是．‎ ‎（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，‎ 当时，，所以；‎ 因为，‎ 所以，解得，结合，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎4．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）当，时，存在，使得，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由，且，得：‎ 得：或或 解得：或或 综上所述：‎ ‎（2）由，得： ‎ ‎，，则：‎ 由得： ‎ 实数的取值范围是 ‎5．选修4-5：不等式选讲 ‎（1）已知，且，证明；‎ ‎（2）已知，且，证明.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ 证明：（1）因为 ‎ ‎，‎ 当时等号成立.‎ ‎（2）因为 ，‎ 又因为，所以，，，∴.‎ 当时等号成立，即原不等式成立.‎ ‎6．已知函数,.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集；‎ ‎(2)若存在使得成立,求的取值范围 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 解:（1）当时,故不等式可化为：‎ 或或 解得：，所以解集为. ‎ ‎（2）当时，,，‎ 于是原问题等价于存在使，即成立. ‎ 设，,则.‎ 因为为开口向上的抛物线，对称轴为，‎ 所以在单调递减，‎ 当时，.‎ 令，解得或. ‎ 又，因此的取值范围是.‎ ‎7．选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）当，时，存在，使得，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由，且，得：‎ 得：或或 解得：或或 综上所述：‎ ‎（2）由，得： ‎ ‎，，则：‎ 由得： ‎ 实数的取值范围是 ‎8．已知函数，．‎ ‎（1）若将函数图象向左平移个单位后，得到函数，要使 恒成立，求实数的最大值；‎ ‎（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由函数向左平移个单位可知，‎ 函数，‎ 要使恒成立，则，即恒成立，‎ 因为，‎ 所以只需，即实数的最大值为1.‎ ‎（2）当时，‎ 函数 若函数存在零点，‎ 则满足函数，‎ 即，‎ 因为函数与函数的图像有且只有一个交点，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎9．已知函数.‎ ‎（1）当，时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，，的最小值为2，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当，时，，‎ 得或或，解得：，‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，时取等号.‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎10．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，，无解；‎ 当时，，得，所以；‎ 当时，，符合.‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）因为恒成立等价于，‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以，所以，解得.‎ 所以所求实数的取值范围为.‎ ‎11．已知函数.‎ ‎(1)若，求x的取值范围；‎ 在（1）的条件下，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由已知得，，即，即，‎ 即x的取值范围为． ‎ ‎(2)由可得 ‎ ‎ 由柯西不等式，得 ‎. ‎ 当且仅当，即时，‎ 的最大值为 ‎12．设函数，其中，.‎ ‎（1）当，时，求关于的不等式的解集；‎ ‎（2）若，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ 解：（1）由，，‎ 得， ‎ 所以的解集为. ‎ ‎（2）由，可得，‎ ‎， ‎ 因为，，‎ 所以，‎ 当且仅当时等号成立.所以.‎ ‎13．已知，且的解集为.‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）若的图像与直线及围成的四边形的面积不小于14，求实数取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由得：，，‎ 即，解得，.‎ ‎（2）的图像与直线及围成的四边形，，，，.‎ 过点向引垂线，垂足为，则.‎ 化简得：，（舍）或.‎ 故的取值范围为.‎ ‎14．已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的最小值，正实数，满足，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）等价于 ‎ 或或，‎ 故或或，‎ 综上解集为.‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ 当且仅当取等号，‎ ‎，，‎ ‎，当且仅当时等号成立，‎ ‎．‎ ‎15．已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）空集.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）不等式，即.‎ 可得，或或，‎ 解得或，所以不等式的解集为.‎ ‎（2）当时，，所以，‎ 由得，即，‎ 则，该不等式无解，‎ 所以实数的取值范围是空集（或者）.‎ ‎16．已知．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设、、为正实数，且，求证：．‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎（1）①时，，‎ 由，∴，∴，即，‎ ‎②时，，由，∴，∴，即，‎ ‎③时，，由，∴，∴，可知无解，‎ 综上，不等式的解集为；‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，且为正实数 ‎∴，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 又为正实数，∴可以解得．‎ ‎17．[选修4—5：不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎（1）当，求不等式的解集；‎ ‎（2）对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，为：‎ 当时，不等式为：，解得：，无解 当时，不等式为：，解得：，此时 当时，不等式为：，解得：，此时 综上所述，不等式的解集为 ‎（2）对于任意实数，，不等式恒成立等价于 因为，当且仅当时等号成立 所以 因为时，，‎ 函数单调递增区间为，单调递减区间为 当时，‎ ‎，又，解得：‎ 实数的取值范围 ‎18．设函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ），证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）因为 根据题意，或或 解之得，‎ 故解集为.‎ ‎（Ⅱ）当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.‎ 所以当时，函数.‎ 由题知，即，‎ ‎∵，‎ 则，所以.‎ ‎∴，∴，‎ 所以.‎ ‎19．选修4-5不等式选讲 ‎ 已知关于的不等式的解集为，其中.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若正数，，满足，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎（1）由题意知：‎ 即或 化简得：或 ‎ 不等式组的解集为 ‎，解得：‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 由基本不等式有：，，‎ 三式相加可得：‎ ‎，即：‎ ‎20．选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，不等式等价于，解得，；‎ 当时，不等式等价于，解得，；‎ 当时，不等式等价于，解得，.‎ 综上所述，原不等式的解集为.‎ ‎（2）由，得，‎ 而，‎ ‎（当且仅当时等号成立）‎ 由题可知，即，‎ 解得实数的取值范围是.‎ 能力提升训练 ‎1．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意， ，‎ 所以等价于或或.‎ 解得：或，所以不等式的解集为；‎ ‎（Ⅱ）由(1)可知,当时, 取得最小值, ‎ 所以，即，‎ 由柯西不等式得，‎ 整理得，‎ 当且仅当时, 即时等号成立.‎ 所以的最小值为.‎ ‎2．设函数，其中．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设的值域分别为，若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ 由 得，，‎ 解得 ‎ ‎∴的解集为 ‎（2），根据函数的单调性得 当x=-m时取等号 ‎∴B=时A⊆B ‎∴‎ 化简得 ‎∴m的取值范围[-2，-1]∪[1，2].‎ ‎3．已知函数f（x）=|2x-1|+|x+m|．‎ ‎（l）当m=l时，解不等式f（x）≥3；‎ ‎（2）证明：对任意x∈R，‎2f（x）≥|m+1|-|m|．‎ ‎【答案】（1）{x|x≤-1或x≥1}；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）当m=1时，f（x）=|2x-1|+|x+1|，‎ ‎①当x≤-1时，f（x）=-3x≥3，解得x≤-1，‎ ‎②当-1＜x＜时，f（x）=-x+2≥3，解得x≤-1，与-1＜x＜矛盾，舍去，‎ ‎③当x≥时，f（x）=3x≥3，解得x≥1，‎ 综上，不等式f（x）＜3的解集为{x|x≤-1或x≥1}；‎ ‎（2）‎2f（x）=|4x-2|+|2x+‎2m|=|2x-1|+|2x-1|+|2x+‎2m|≥|2x-1|+|2x+‎2m|≥|2x+‎2m-2x+1|‎ ‎=|‎2m+1|=|（m+1）+m|≥|m+1|-|m|，‎ ‎∴对任意x∈R，‎2f（x）≥|m+1|-|m|．‎ ‎4．已知函数，.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，.‎ ‎①当时，原不等式可化为，‎ 化简得，解得，∴；‎ ‎②当时，原不等式可化为，‎ 化简得，解得，∴；‎ ‎③当时，原不等式可化为，‎ 化简得，解得，∴；‎ 综上所述，不等式的解集是；‎ ‎（2）由题意知，对任意的，恒成立，‎ 即对任意的，恒成立，‎ ‎∵当时，，‎ ‎∴对任意的，恒成立，‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，即实数的取值范围为.‎ ‎5．已知．‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）若，记的最小值为，解关于的不等式．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）．当且仅当,等号成立 ‎（2）∵，当且仅当a=b=c等号成立 由不等式即． ‎ 由得：不等式的解集为．‎ ‎6．[选修4—5：不等式选讲]‎ ‎ 已知函数 ‎（1）若，求不等式的解集.‎ ‎（2）对任意的，有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1），‎ 所以 解之得不等式的解集为.‎ ‎(2)‎ 当时，由题得2必须在‎3m+1的右边或者与‎3m+1重合，‎ 所以，所以，‎ 当时，不等式恒成立，‎ 当时，由题得2必须在‎3m+1的左边或者与‎3m+1重合，‎ 由题得，所以m没有解.‎ 综上，.‎ ‎7．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设集合满足：当且仅当时，，若，求证：.‎ ‎【答案】(1) ；(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1） ‎ 当 时， ，得 ，故； ‎ 当 时， ，得 ，故；‎ 当 时， ，得 ，故；‎ 综上，不等式的解集为 ‎ ‎（2）由绝对值不等式的性质可知 等价于，当且仅当，‎ 即 时等号成立，故 所以，‎ 所以，‎ 即.‎ ‎8．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求时，的解集；‎ ‎（Ⅱ）若有最小值，求的取值范围，并写出相应的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ ‎∵‎ 当时解得 当时恒成立 当时解得 综上可得解集.‎ ‎（Ⅱ）‎ 当，即时，无最小值；‎ 当，即时，有最小值；‎ 当且，即时， ‎ 当且，即时， ‎ 综上：当时，无最小值；‎ 当时，有最小值；‎ 当时， ；‎ 当时， ；‎ ‎9．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 解：（I）当时，不等式为：，解得，故．‎ 当时，不等式为：，解得，故1＜x＜3，‎ 当时，不等式为：，解得，故．‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（II）由恒成立可得恒成立．‎ 又，故在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎∴，解得．‎ 即的最值范围是．‎ ‎10．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若函数的定义域为，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】‎ 解：（I）由已知不等式，得，‎ 当时，不等式为，解得，所以；‎ 当时，不等式为，解得，所以；‎ 当时，不等式为，解得，此时无解．‎ 综上：不等式的解集为．‎ ‎（II）若的定义域为，则 恒成立．‎ ‎∵，当且仅当时取等号．‎ ‎∴，即．‎ 所以实数的取值范围是．‎

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