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- 2021-06-23 发布
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课时作业69 二项式定理
一、选择题
1.(+x2)3的展开式的常数项为( )
A.1 B.3
C.- D.
解析:设第r+1项为常数项,则Tr+1=C()3-r(x2)r=Cx-3+3r,令-3+3r=0得r=1,∴T2=C=3,选B.
答案:B
2.若(-)n的二项展开式中的第5项是常数,则自然数n的值为( )
A.6 B.10
C.12 D.15
解析:展开式的第5项为C()n-4(-)4=16Cxx-4=16Cx-6,依题意知-6=0,故n=12.
答案:C
3.(ax+)6的展开式的第二项的系数为-,则x2dx的值为( )
A.3 B.
C.3或 D.3或-
解析:该二项展开式的第二项的系数为Ca5,由Ca5=-,解得a=-1,因此x2dx=x2dx==-+=.
答案:B
4.(x2+2)5的展开式的常数项是( )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
解析:求展开式中的常数项,即分以下两种来源:
第一个因式取x2,第二个因式取得:1×C(-1)4=5;
第一个因式取2,第二个因式取(-1)5得:2×(-1)5=-2;故展开式的常数项是5+(-2)=3.
答案:D
5.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)等于( )
A.27 B.28
C.7 D.8
解析:令x=-1得a0+a1+a2+…+a12=28 ①;令x=-3得a0-a1+a2-a3+…+a12=0 ②.①-②得2(a1+a3+…+a11)=28,∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=7.
答案:C
6.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:令x+2=1,所以x=-1,将x=-1代入(x2+1)·(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11得[(-1)2+1](-2+1)9=a0+a1+a2+…+a11,所以a0+a1+a2+…+a11=2×(-1)=-2.
答案:A
二、填空题
7.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b=________.
解析:(1+)5=C+C+C()2+C()3+C()4+C()5=41+29,故a+b=41+29=70.
答案:70
8.(+x)(1-)4的展开式中x的系数是________.
解析:(+x)(1-)4的展开式中含x的项为·(-1)4C()4+x·C(-)0=3x.
答案:3
9.对任意实数x,有(x-1)4=a0+a1(x-3)+a2(x-3)2+a3(x-3)3+a4(x-3)4,则a3的值为________.
解析:∵(x-1)4=(x-3+2)4,又(x-1)4=a0+a1(x-3)+a2(x-3)2+a3(x-3)3+a4(a-3)4,∴a3=C×2=8.
答案:8
三、解答题
10.已知n的展开式中,前三项系数成等差数列.
(1)求n;
(2)求第三项的二项式系数及项的系数;
(3)求含x项的系数.
解:(1)∵前三项系数1,C,C成等差数列.
∴2·C=1+C,即n2-9n+8=0.
∴n=8或n=1(舍).
(2)由n=8知其通项公式Tr+1=C·()8-r·r=r·C·x4-r,r=0,1,…,8.
∴第三项的二项式系数为C=28.
第三项系数为2·C=7.
(3)令4-r=1,得r=4,
∴含x项的系数为4·C=.
11.设(x2-x-1)50=a100x100+a99x99+a98x98+…+a0.
(1)求a100+a99+a98+…+a1的值;
(2)求a100+a98+a96+…+a2+a0的值.
解:(1)令x=0,得a0=1;令x=1,得a100+a99+a98+…+a1+a0=1,
所以a100+a99+a98+…+a1=0.
(2)令x=-1,得a100-a99+a98-…-a1+a0=1①
而a100+a99+a98+…+a1+a0=1②
由(①+②)÷2得a100+a98+a96+…+a2+a0=1.
1.(2014·浙江卷)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )
A.45 B.60
C.120 D.210
解析:由题意可得f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C+CC+C·C+C=20+60+36+4=120,故选C.
答案:C
2.(2014·山东卷)若(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为________.
解析:Tr+1=C(ax2)6-r()r=Ca6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3,故Ca3b3=20,所以ab=1,a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b=1或a=b=-1时,等号成立.
答案:2
3.(2014·安徽卷)设a≠0,n是大于1的自然数,n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如右图所示,则
a=________.
解析:由图得:a0=1,a1=3,a2=4,由二项式定理得:
C=3,C()2=4.
即解得a=3,n=9.
答案:3
4.从函数角度看,组合数C可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{r|r∈N,r≤n}.
(1)证明:f(r)=f(r-1);
(2)利用(1)的结论,证明:当n为偶数时,(a+b)n的展开式中最中间一项的二项式系数最大.
解:(1)证明:∵f(r)=C=,
f(r-1)=C=,
∴f(r-1)=·
=.
则f(r)=f(r-1)成立.
(2)设n=2k,∵f(r)=f(r-1),f(r-1)>0,
∴=.
令f(r)≥f(r-1),则≥1,则r≤k+(等号不成立).
∴当r=1,2,…,k时,f(r)>f(r-1)成立.
反之,当r=k+1,k+2,…,2k时,f(r)
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