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- 2021-06-23 发布
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2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷
一、填空题(本大题共有12题,满分36分.其中第1~6题每题满分36分,第7~12题每题满分36分)
1.(3分)已知全集U=R,集合,则(∁UB)∩A= .
2.(3分)函数的定义域是 .
3.(3分)若复数z满足(i为虚数单位),则z= .
4.(3分)已知sin(α+)=,α∈(﹣,0),则tanα= .
5.(3分)若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和,则其公比为 .
6.(3分)若函数y=a+sinx在区间[π,2π]上有且只有一个零点,则a= .
7.(3分)已知向量=(x,y)(x,y∈R),=(1,2),若x2+y2=1,则|﹣|的最小值为 .
8.(3分)已知函数y=f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=log2(x+1).若函数y=g(x)是y=f(x)的反函数,则g(﹣3)= .
9.(3分)已知 m,n,α,β∈R,m<n,α<β,若α,β是函数f(x)=2(x﹣m)(x﹣n)﹣7的零点,则m,n,α,β四个数按从小到大的顺序是 (用符号“<“连接起来).
10.(3分)已知点O,A,B,F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点,过点F作OB的平行线,它与椭圆C在第一象限部分交于点P,若,则实数λ的值为 .
11.(3分)已知x∈R,定义:A(x)表示不小于x的最小整数.如
,A(﹣1.1)=﹣1.若A(2x•A(x))=5,则正实数x的取值范围是 .
12.(3分)已知点M(m,0),m>0和抛物线C:y2=4x.过C的焦点F的直线与C交于A,B两点,若=2,且||=||,则m= .
二、选择题(本大题共有4题,满分12分.)
13.(3分)若x∈R,则“x>1”是“”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
14.(3分)已知向量,则下列能使成立的一组向量是( )
A. B.
C. D.
15.(3分)一个算法的程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
16.(3分)已知a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零,若线段l1,l2,l3,l4的长分别为a1,a2,a3,a4,则( )
A.对任意的d,均存在以l1,l2,l3为三边的三角形
B.对任意的d,均不存在以为l1,l2,l3三边的三角形
C.对任意的d,均存在以l2,l3,l4为三边的三角形
D.对任意的d,均不存在以l2,l3,l4为三边的三角形
三、解答题(本大题共有5题,满分74分.)
17.(12分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AA1=4,BC=3,E,F分别是所在棱AB,BC的中点,点P是棱A1B1上的动点,联结EF,AC1.如图所示.
(1)求异面直线EF,AC1所成角的大小(用反三角函数值表示);
(2)求以E,F,A,P为顶点的三棱锥的体积.
18.(12分)如图,已知点A是单位圆上一点,且位于第一象限,以x轴的正半轴为始边,OA为终边的角设为α,将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB.
(1)用α表示A,B两点的坐标;
(2)M为x轴上异于O的点,若MA⊥MB,求点M横坐标的取值范围.
19.(14分)已知函数g(x)=,x∈R,函数y=f(x)是函数y=g(x)的反函数.
(1)求函数y=f(x)的解析式,并写出定义域D;
(2)设h(x)=,若函数y=h(x)在区间(0,1)内的图象是不间断的光滑曲线,求证:函数y=h(x)在区间(﹣1,0)内必有唯一的零点(假设为t),且﹣1.
20.(18分)(理科)定义:若各项为正实数的数列{an}满足,则称数列{an}为“算术平方根递推数列”.
已知数列{xn}满足,且,点(xn+1,xn)在二次函数f(x)=2x2+2x的图象上.
(1)试判断数列{2xn+1}(n∈N*)是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;
(2)记yn=lg(2xn+1)(n∈N*),求证:数列{yn}是等比数列,并求出通项公式yn;
(3)从数列{yn}中依据某种顺序自左至右取出其中的项,把这些项重新组成一个新数列{zn}:.
若数列{zn}是首项为、公比为的无穷等比数列,且数列{zn}各项的和为,求正整数k、m的值.
21.(18分)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0),过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D,得到平行四边形ACBD.
(1)当ACBD为正方形时,求该正方形的面积S;
(2)若直线l1和l2关于y轴对称,Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2,当d12+d22为定值时,求此时直线l1和l2的斜率及该定值.
(3)当ACBD为菱形,且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时,求a,b满足的关系式.
2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共有12题,满分36分.其中第1~6题每题满分36分,第7~12题每题满分36分)
1.(3分)已知全集U=R,集合,则(∁UB)∩A= {x|﹣1<x≤} .
【解答】解:A={x|﹣1<x<1},
∁UB={x|x≤},
则(∁UB)∩A={x|﹣1<x≤},
故答案为:{x|﹣1<x≤},
2.(3分)函数的定义域是 (1,+∞) .
【解答】解:要使函数有意义,需满足
解得x>1
故答案为:(1,+∞)
3.(3分)若复数z满足(i为虚数单位),则z= 1+2i .
【解答】解:由,
得z=1+2i.
故答案为:1+2i.
4.(3分)已知sin(α+)=,α∈(﹣,0),则tanα= ﹣2 .
【解答】解:∵sin(α+)=cosα,sin(α+)=,
∴cosα=,
又α∈(﹣,0),
∴sinα=﹣,
∴tanα==﹣2.
故答案为:﹣2.
5.(3分)若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和,则其公比为 .
【解答】解:设数列中的任意一项为a,
由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和,
得a=,即1﹣q=q
∴q=.
故答案为:.
6.(3分)若函数y=a+sinx在区间[π,2π]上有且只有一个零点,则a= 1 .
【解答】解:作函数y=sinx在区间[π,2π]上的图象如下,
,
结合图象可知,
若函数y=a+sinx在区间[π,2π]上有且只有一个零点,
则a﹣1=0,
故a=1;
故答案为:1.
7.(3分)已知向量=(x,y)(x,y∈R),=(1,2),若x2+y2=1,则|﹣|的最小值为 ﹣1 .
【解答】解:设O(0,0),P(1,2),
∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1,
∴|﹣|的最小值为﹣1
8.(3分)已知函数y=f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=log2(x+1).若函数y=g(x)是y=f(x)的反函数,则g(﹣3)= ﹣7 .
【解答】解:∵反函数与原函数具有相同的奇偶性.
∴g(﹣3)=﹣g(3),
∵反函数的定义域是原函数的值域,
∴log2(x+1)=3,
解得:x=7,
即g(3)=7,
故得g(﹣3)=﹣7.
故答案为:﹣7.
9.(3分)已知 m,n,α,β∈R,m<n,α<β,若α,β是函数f(x)=2(x﹣m)(x﹣n)﹣7的零点,则m,n,α,β四个数按从小到大的顺序是 α<m<n<β (用符号“<“连接起来).
【解答】解:∵α、β是函数f(x)=2(x﹣m)(x﹣n)﹣7的零点,
∴α、β是函数y=2(x﹣m)(x﹣n)与函数y=7的交点
的横坐标,
且m、n是函数y=2(x﹣m)(x﹣n)与x轴的交点的横坐标,
故由二次函数的图象可知,
α<m<n<β;
故答案为:α<m<n<β.
10.(3分)已知点O,A,B,F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点,过点F作OB的平行线,它与椭圆C在第一象限部分交于点P,若,则实数λ的值为 .
【解答】解:如图,
A(﹣a,0),B(0,b),F(c,0),
则P(c,),
∴,,
由,得,即b=c,
∴a2=b2+c2=2b2,.
则.
故答案为:.
11.(3分)已知x∈R,定义:A(x)表示不小于x的最小整数.如,A(﹣1.1)=﹣1.若A(2x•A(x))=5,则正实数x的取值范围是 (1,] .
【解答】解:当A(x)=1时,0<x≤1,
可得4<2x≤5,得2<x≤,矛盾,故A(x)≠1,
当A(x)=2时,1<x≤2,
可得4<4x≤5,得1<x≤,符合题意,故A(x)=2,
当A(x)=3时,2<x≤3,
可得4<6x≤5,得<x≤,矛盾,故A(x)≠3,
由此可知,当A(x)≥4时也不合题意,故A(x)=2
∴正实数x的取值范围是(1,]
故答案为:(1,]
12.(3分)已知点M(m,0),m>0和抛物线C:y2=4x.过C的焦点F的直线与C交于A,B两点,若=2,且||=||,则m= .
【解答】解:由题意可知:F(1,0),由抛物线定义可知A(x1,y1),
可知B(x2,y2),
∵=2,可得:2(x2﹣1,y2)=(1﹣x1,﹣y1),
可得y2=﹣,x2=,
,
解得x1=2,y1=±2.
||=||,
可得|m﹣1|=,
解得m=.
故答案为:.
二、选择题(本大题共有4题,满分12分.)
13.(3分)若x∈R,则“x>1”是“”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
【解答】解:由x>1,一定能得到 得到<1,
但当<1时,不能推出x>1 (如 x=﹣1时),
故x>1是 <1 的充分不必要条件,
故选:A.
14.(3分)已知向量,则下列能使
成立的一组向量是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:作为基底不共线即可,
共线,
共线,
不共线,
共线,
故选C.
15.(3分)一个算法的程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
k=0,S=0
满足条件S<1000,S=1,k=1
满足条件S<1000,S=1+2=3,k=2
满足条件S<1000,S=1+2+23=11,k=3
满足条件S<1000,S=1+2+23+211,k=4
不满足条件S<1000,退出循环,输出k的值为4.
故选:A.
16.(3分)已知a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零,若线段l1,l2,l3,l4的长分别为a1,a2,a3,a4,则( )
A.对任意的d,均存在以l1,l2,l3为三边的三角形
B.对任意的d,均不存在以为l1,l2,l3三边的三角形
C.对任意的d,均存在以l2,l3,l4为三边的三角形
D.对任意的d,均不存在以l2,l3,l4为三边的三角形
【解答】解:A:对任意的d,假设均存在以l1,l2,l3为三边的三角形,∵a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零,∴a2+a3>a1,a3+a1=2a2>a2,
而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0,因此不一定存在以为l1,l2,l3三边的三角形,故不正确;
B:由A可知:当a1﹣d>0时,存在以为l1,l2,l3三边的三角形,因此不正确;
C:对任意的d,由于a3+a4,>a2,a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3>0,a2+a3﹣a4=a1>0,因此均存在以l2,l3,l4为三边的三角形,正确;
D.由C可知不正确.
故选:C.
三、解答题(本大题共有5题,满分74分.)
17.(12分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AA1=4,BC=3,E,F分别是所在棱AB,BC的中点,点P是棱A1B1上的动点,联结EF,AC1.如图所示.
(1)求异面直线EF,AC1所成角的大小(用反三角函数值表示);
(2)求以E,F,A,P为顶点的三棱锥的体积.
【解答】(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分(6分),第2小题满分(6分).
解:(1)联结AC,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,有AC∥EF.
又∠CAC1是直角三角形ACC1的一个锐角,
∴∠CAC1就是异面直线EF,AC1所成的角.
由AB=AA1=4,BC=3,得AC==5.
∴tan∠CAC1==,
即异面直线EF,AC1所成角为arctan.
(2)由题意可知,点P到底面ABCD的距离与棱AA1的长相等.
∵,
∴=.
18.(12分)如图,已知点A是单位圆上一点,且位于第一象限,以x轴的正半轴为始边,OA为终边的角设为α,将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB.
(1)用α表示A,B两点的坐标;
(2)M为x轴上异于O的点,若MA⊥MB,求点M横坐标的取值范围.
【解答】解:(1)点A是单位圆上一点,且位于第一象限,以x轴的正半轴为始边,OA为终边的角设为α,α∈(0,)
可得A(cosα,sinα),将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB.可得B(cos(),sin()),
即B(﹣sinα,cosα).
(2)设M(x,0),x≠0,
=(cosα﹣x,sinα),=(﹣sinα﹣x,cosα).
MA⊥MB,
可得(cosα﹣x)(﹣sinα﹣x)+sinαcosα=0.
xsinα﹣xcosα+x2=0,
可得﹣x=sinα﹣cosα=sin()∈(﹣1,1).
综上x∈(﹣1,0)∪(0,1).
点M横坐标的取值范围:(﹣1,0)∪(0,1).
19.(14分)已知函数g(x)=,x∈R,函数y=f(x)是函数y=g(x)的反函数.
(1)求函数y=f(x)的解析式,并写出定义域D;
(2)设h(x)=,若函数y=h(x)在区间(0,1)内的图象是不间断的光滑曲线,求证:函数y=h(x)在区间(﹣1,0)内必有唯一的零点(假设为t),且﹣1.
【解答】(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分(7分),第2小题满分(7分).
解:(1)∵函数g(x)==1﹣,
∴g(x)∈(﹣1,1).
令y=g(x)=1﹣,
则=1﹣y,即,即x=,
∴f(x)=,x∈(﹣1,1).
证明:(2)由(1)可知,h(x)==﹣,x∈(﹣1,0)∪(0,1).
∵h(﹣x)+h(x)=﹣﹣+﹣=0,
所以,函数h(x)是奇函数.
当x∈(0,1)时,单调递减,=﹣1+单调递减,
于是单调递减.
因此,函数h(x)单调递减.
依据奇函数的性质,可知,
函数h(x)在(﹣1,0)上单调递减.
又∵h(﹣)=﹣2+lg3<0,h(﹣)=﹣+lg199>0,
所以,函数h(x)在区间(﹣1,0)上有且仅有唯一零点t,且﹣1.
20.(18分)(理科)定义:若各项为正实数的数列{an}满足
,则称数列{an}为“算术平方根递推数列”.
已知数列{xn}满足,且,点(xn+1,xn)在二次函数f(x)=2x2+2x的图象上.
(1)试判断数列{2xn+1}(n∈N*)是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;
(2)记yn=lg(2xn+1)(n∈N*),求证:数列{yn}是等比数列,并求出通项公式yn;
(3)从数列{yn}中依据某种顺序自左至右取出其中的项,把这些项重新组成一个新数列{zn}:.
若数列{zn}是首项为、公比为的无穷等比数列,且数列{zn}各项的和为,求正整数k、m的值.
【解答】解:(1)数列{2xn+1}(n∈N*)是否为算术平方根递推数列,证明如下:
∵点(xn+1,xn)在二次函数f(x)=2x2+2x的图象上,
∴xn=2xn+12+2xn+1,
∴2xn+1=(2xn+1+1)2,
∵xn>0,n∈N*,
∴2xn+1+1=,
∴数列{2xn+1}(n∈N*)是否为算术平方根递推数列;
(2)∵yn=lg(2xn+1),2xn+1+1=,
∴yn+1=yn,
∵y1=lg(2x1+1)=1,
∴数列{yn}是首项为1,公比为等比数列,
∴通项公式yn=()n﹣1
(3)由题意可得数列{zn}的首项为,公比为,
∴=,
∴+=16,
若m﹣1≥3,则+≤+<+<16,矛盾,
∴m﹣1≤2,
∵m﹣1=0或1时,+>16,
∴m﹣1=2,
∴m=3,
∴k=6.
21.(18分)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0),过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D,得到平行四边形ACBD.
(1)当ACBD为正方形时,求该正方形的面积S;
(2)若直线l1和l2关于y轴对称,Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2,当d12+d22为定值时,求此时直线l1和l2的斜率及该定值.
(3)当ACBD为菱形,且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时,求a,b满足的关系式.
【解答】解:(1)∵ACBD为正方形,
∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x,
设点A、B的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),
解方程组,得==,
由对称性可知,S=4=;
(2)由题意,不妨设直线l1的方程为y=kx,则直线l2的方程为y=﹣kx,
设P(x0,y0),则+=1,
又∵d1=,d2=,
∴+=+=,
将=b2(1﹣)代入上式,
得+=,
∵d12+d22为定值,
∴k2﹣=0,即k=±,
于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣,此时+=;
(3)设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为(x0,y0),
则切线AC的方程为:x0x+y0y=1,
点A、C的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)为方程组的实数解.
①当x0=0或y0=0时,ACBD均为正方形,
椭圆均过点(1,1),于是有+=1;
②当x0≠0或y0≠0时,将y=(1﹣x0x)代入+=1,
整理得:(a2+b2)x2﹣2a2x0x﹣a2(1+b2)=0,
由韦达定理可知x1x2=,
同理可知y1y2=,
∵ACBD为菱形,
∴AO⊥CO,即x1x2+y1y2=0,
∴+=0,
整理得:a2+b2=a2b2(+),
又∵+=1,
∴a2+b2=a2b2,即+=1;
综上所述,a,b满足的关系式为+=1.