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  • 2021-06-23 发布

2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷

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‎2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共有12题,满分36分.其中第1~6题每题满分36分,第7~12题每题满分36分)‎ ‎1.(3分)已知全集U=R,集合,则(∁UB)∩A=   .‎ ‎2.(3分)函数的定义域是   .‎ ‎3.(3分)若复数z满足(i为虚数单位),则z=   .‎ ‎4.(3分)已知sin(α+)=,α∈(﹣,0),则tanα=   .‎ ‎5.(3分)若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和,则其公比为   .‎ ‎6.(3分)若函数y=a+sinx在区间[π,2π]上有且只有一个零点,则a=   .‎ ‎7.(3分)已知向量=(x,y)(x,y∈R),=(1,2),若x2+y2=1,则|﹣|的最小值为   .‎ ‎8.(3分)已知函数y=f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=log2(x+1).若函数y=g(x)是y=f(x)的反函数,则g(﹣3)=   .‎ ‎9.(3分)已知 m,n,α,β∈R,m<n,α<β,若α,β是函数f(x)=2(x﹣m)(x﹣n)﹣7的零点,则m,n,α,β四个数按从小到大的顺序是   (用符号“<“连接起来).‎ ‎10.(3分)已知点O,A,B,F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点,过点F作OB的平行线,它与椭圆C在第一象限部分交于点P,若,则实数λ的值为   .‎ ‎11.(3分)已知x∈R,定义:A(x)表示不小于x的最小整数.如 ‎,A(﹣1.1)=﹣1.若A(2x•A(x))=5,则正实数x的取值范围是   .‎ ‎12.(3分)已知点M(m,0),m>0和抛物线C:y2=4x.过C的焦点F的直线与C交于A,B两点,若=2,且||=||,则m=   .‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分12分.)‎ ‎13.(3分)若x∈R,则“x>1”是“”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎14.(3分)已知向量,则下列能使成立的一组向量是(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎15.(3分)一个算法的程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 (  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎16.(3分)已知a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零,若线段l1,l2,l3,l4的长分别为a1,a2,a3,a4,则(  )‎ A.对任意的d,均存在以l1,l2,l3为三边的三角形 B.对任意的d,均不存在以为l1,l2,l3三边的三角形 C.对任意的d,均存在以l2,l3,l4为三边的三角形 D.对任意的d,均不存在以l2,l3,l4为三边的三角形 ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分74分.)‎ ‎17.(12分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AA1=4,BC=3,E,F分别是所在棱AB,BC的中点,点P是棱A1B1上的动点,联结EF,AC1.如图所示.‎ ‎(1)求异面直线EF,AC1所成角的大小(用反三角函数值表示);‎ ‎(2)求以E,F,A,P为顶点的三棱锥的体积.‎ ‎18.(12分)如图,已知点A是单位圆上一点,且位于第一象限,以x轴的正半轴为始边,OA为终边的角设为α,将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB.‎ ‎(1)用α表示A,B两点的坐标;‎ ‎(2)M为x轴上异于O的点,若MA⊥MB,求点M横坐标的取值范围.‎ ‎19.(14分)已知函数g(x)=,x∈R,函数y=f(x)是函数y=g(x)的反函数.‎ ‎(1)求函数y=f(x)的解析式,并写出定义域D;‎ ‎(2)设h(x)=,若函数y=h(x)在区间(0,1)内的图象是不间断的光滑曲线,求证:函数y=h(x)在区间(﹣1,0)内必有唯一的零点(假设为t),且﹣1.‎ ‎20.(18分)(理科)定义:若各项为正实数的数列{an}满足,则称数列{an}为“算术平方根递推数列”.‎ 已知数列{xn}满足,且,点(xn+1,xn)在二次函数f(x)=2x2+2x的图象上.‎ ‎(1)试判断数列{2xn+1}(n∈N*)是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;‎ ‎(2)记yn=lg(2xn+1)(n∈N*),求证:数列{yn}是等比数列,并求出通项公式yn;‎ ‎(3)从数列{yn}中依据某种顺序自左至右取出其中的项,把这些项重新组成一个新数列{zn}:.‎ 若数列{zn}是首项为、公比为的无穷等比数列,且数列{zn}各项的和为,求正整数k、m的值.‎ ‎21.(18分)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0),过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D,得到平行四边形ACBD.‎ ‎(1)当ACBD为正方形时,求该正方形的面积S;‎ ‎(2)若直线l1和l2关于y轴对称,Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2,当d12+d22为定值时,求此时直线l1和l2的斜率及该定值.‎ ‎(3)当ACBD为菱形,且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时,求a,b满足的关系式.‎ ‎ ‎ ‎2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共有12题,满分36分.其中第1~6题每题满分36分,第7~12题每题满分36分)‎ ‎1.(3分)已知全集U=R,集合,则(∁UB)∩A= {x|﹣1<x≤} .‎ ‎【解答】解:A={x|﹣1<x<1},‎ ‎∁UB={x|x≤},‎ 则(∁UB)∩A={x|﹣1<x≤},‎ 故答案为:{x|﹣1<x≤},‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)函数的定义域是 (1,+∞) .‎ ‎【解答】解:要使函数有意义,需满足 解得x>1‎ 故答案为:(1,+∞)‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)若复数z满足(i为虚数单位),则z= 1+2i .‎ ‎【解答】解:由,‎ 得z=1+2i.‎ 故答案为:1+2i.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)已知sin(α+)=,α∈(﹣,0),则tanα= ﹣2 .‎ ‎【解答】解:∵sin(α+)=cosα,sin(α+)=,‎ ‎∴cosα=,‎ 又α∈(﹣,0),‎ ‎∴sinα=﹣,‎ ‎∴tanα==﹣2.‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和,则其公比为  .‎ ‎【解答】解:设数列中的任意一项为a,‎ 由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和,‎ 得a=,即1﹣q=q ‎∴q=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)若函数y=a+sinx在区间[π,2π]上有且只有一个零点,则a= 1 .‎ ‎【解答】解:作函数y=sinx在区间[π,2π]上的图象如下,‎ ‎,‎ 结合图象可知,‎ 若函数y=a+sinx在区间[π,2π]上有且只有一个零点,‎ 则a﹣1=0,‎ 故a=1;‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)已知向量=(x,y)(x,y∈R),=(1,2),若x2+y2=1,则|﹣|的最小值为 ﹣1 .‎ ‎【解答】解:设O(0,0),P(1,2),‎ ‎∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1,‎ ‎∴|﹣|的最小值为﹣1‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)已知函数y=f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=log2(x+1).若函数y=g(x)是y=f(x)的反函数,则g(﹣3)= ﹣7 .‎ ‎【解答】解:∵反函数与原函数具有相同的奇偶性.‎ ‎∴g(﹣3)=﹣g(3),‎ ‎∵反函数的定义域是原函数的值域,‎ ‎∴log2(x+1)=3,‎ 解得:x=7,‎ 即g(3)=7,‎ 故得g(﹣3)=﹣7.‎ 故答案为:﹣7.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)已知 m,n,α,β∈R,m<n,α<β,若α,β是函数f(x)=2(x﹣m)(x﹣n)﹣7的零点,则m,n,α,β四个数按从小到大的顺序是 α<m<n<β (用符号“<“连接起来).‎ ‎【解答】解:∵α、β是函数f(x)=2(x﹣m)(x﹣n)﹣7的零点,‎ ‎∴α、β是函数y=2(x﹣m)(x﹣n)与函数y=7的交点 的横坐标,‎ 且m、n是函数y=2(x﹣m)(x﹣n)与x轴的交点的横坐标,‎ 故由二次函数的图象可知,‎ α<m<n<β;‎ 故答案为:α<m<n<β.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)已知点O,A,B,F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点,过点F作OB的平行线,它与椭圆C在第一象限部分交于点P,若,则实数λ的值为  .‎ ‎【解答】解:如图,‎ A(﹣a,0),B(0,b),F(c,0),‎ 则P(c,),‎ ‎∴,,‎ 由,得,即b=c,‎ ‎∴a2=b2+c2=2b2,.‎ 则.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)已知x∈R,定义:A(x)表示不小于x的最小整数.如,A(﹣1.1)=﹣1.若A(2x•A(x))=5,则正实数x的取值范围是 (1,] .‎ ‎【解答】解:当A(x)=1时,0<x≤1,‎ 可得4<2x≤5,得2<x≤,矛盾,故A(x)≠1,‎ 当A(x)=2时,1<x≤2,‎ 可得4<4x≤5,得1<x≤,符合题意,故A(x)=2,‎ 当A(x)=3时,2<x≤3,‎ 可得4<6x≤5,得<x≤,矛盾,故A(x)≠3,‎ 由此可知,当A(x)≥4时也不合题意,故A(x)=2‎ ‎∴正实数x的取值范围是(1,]‎ 故答案为:(1,]‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)已知点M(m,0),m>0和抛物线C:y2=4x.过C的焦点F的直线与C交于A,B两点,若=2,且||=||,则m=  .‎ ‎【解答】解:由题意可知:F(1,0),由抛物线定义可知A(x1,y1),‎ 可知B(x2,y2),‎ ‎∵=2,可得:2(x2﹣1,y2)=(1﹣x1,﹣y1),‎ 可得y2=﹣,x2=,‎ ‎,‎ 解得x1=2,y1=±2.‎ ‎||=||,‎ 可得|m﹣1|=,‎ 解得m=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分12分.)‎ ‎13.(3分)若x∈R,则“x>1”是“”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎【解答】解:由x>1,一定能得到 得到<1,‎ 但当<1时,不能推出x>1 (如 x=﹣1时),‎ 故x>1是 <1 的充分不必要条件,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)已知向量,则下列能使 成立的一组向量是(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解答】解:作为基底不共线即可,‎ 共线,‎ 共线,‎ 不共线,‎ 共线,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)一个算法的程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 (  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【解答】解:模拟执行程序框图,可得 k=0,S=0‎ 满足条件S<1000,S=1,k=1‎ 满足条件S<1000,S=1+2=3,k=2‎ 满足条件S<1000,S=1+2+23=11,k=3‎ 满足条件S<1000,S=1+2+23+211,k=4‎ 不满足条件S<1000,退出循环,输出k的值为4.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)已知a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零,若线段l1,l2,l3,l4的长分别为a1,a2,a3,a4,则(  )‎ A.对任意的d,均存在以l1,l2,l3为三边的三角形 B.对任意的d,均不存在以为l1,l2,l3三边的三角形 C.对任意的d,均存在以l2,l3,l4为三边的三角形 D.对任意的d,均不存在以l2,l3,l4为三边的三角形 ‎【解答】解:A:对任意的d,假设均存在以l1,l2,l3为三边的三角形,∵a1,a2,a3,a4是各项均为正数的等差数列,其公差d大于零,∴a2+a3>a1,a3+a1=2a2>a2,‎ 而a1+a2﹣a3=a1﹣d不一定大于0,因此不一定存在以为l1,l2,l3三边的三角形,故不正确;‎ B:由A可知:当a1﹣d>0时,存在以为l1,l2,l3三边的三角形,因此不正确;‎ C:对任意的d,由于a3+a4,>a2,a2+a4=2a1+4d=a1+2d+a3>0,a2+a3﹣a4=a1>0,因此均存在以l2,l3,l4为三边的三角形,正确;‎ D.由C可知不正确.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分74分.)‎ ‎17.(12分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AA1=4,BC=3,E,F分别是所在棱AB,BC的中点,点P是棱A1B1上的动点,联结EF,AC1.如图所示.‎ ‎(1)求异面直线EF,AC1所成角的大小(用反三角函数值表示);‎ ‎(2)求以E,F,A,P为顶点的三棱锥的体积.‎ ‎【解答】(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分(6分),第2小题满分(6分).‎ 解:(1)联结AC,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,有AC∥EF.‎ 又∠CAC1是直角三角形ACC1的一个锐角,‎ ‎∴∠CAC1就是异面直线EF,AC1所成的角.‎ 由AB=AA1=4,BC=3,得AC==5.‎ ‎∴tan∠CAC1==,‎ 即异面直线EF,AC1所成角为arctan.‎ ‎(2)由题意可知,点P到底面ABCD的距离与棱AA1的长相等.‎ ‎∵,‎ ‎∴=.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)如图,已知点A是单位圆上一点,且位于第一象限,以x轴的正半轴为始边,OA为终边的角设为α,将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB.‎ ‎(1)用α表示A,B两点的坐标;‎ ‎(2)M为x轴上异于O的点,若MA⊥MB,求点M横坐标的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)点A是单位圆上一点,且位于第一象限,以x轴的正半轴为始边,OA为终边的角设为α,α∈(0,)‎ 可得A(cosα,sinα),将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB.可得B(cos(),sin()),‎ 即B(﹣sinα,cosα).‎ ‎(2)设M(x,0),x≠0,‎ ‎=(cosα﹣x,sinα),=(﹣sinα﹣x,cosα).‎ MA⊥MB,‎ 可得(cosα﹣x)(﹣sinα﹣x)+sinαcosα=0.‎ xsinα﹣xcosα+x2=0,‎ 可得﹣x=sinα﹣cosα=sin()∈(﹣1,1).‎ 综上x∈(﹣1,0)∪(0,1).‎ 点M横坐标的取值范围:(﹣1,0)∪(0,1).‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)已知函数g(x)=,x∈R,函数y=f(x)是函数y=g(x)的反函数.‎ ‎(1)求函数y=f(x)的解析式,并写出定义域D;‎ ‎(2)设h(x)=,若函数y=h(x)在区间(0,1)内的图象是不间断的光滑曲线,求证:函数y=h(x)在区间(﹣1,0)内必有唯一的零点(假设为t),且﹣1.‎ ‎【解答】(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分(7分),第2小题满分(7分).‎ 解:(1)∵函数g(x)==1﹣,‎ ‎∴g(x)∈(﹣1,1).‎ 令y=g(x)=1﹣,‎ 则=1﹣y,即,即x=,‎ ‎∴f(x)=,x∈(﹣1,1).‎ 证明:(2)由(1)可知,h(x)==﹣,x∈(﹣1,0)∪(0,1).‎ ‎∵h(﹣x)+h(x)=﹣﹣+﹣=0,‎ 所以,函数h(x)是奇函数.‎ 当x∈(0,1)时,单调递减,=﹣1+单调递减,‎ 于是单调递减.‎ 因此,函数h(x)单调递减.‎ 依据奇函数的性质,可知,‎ 函数h(x)在(﹣1,0)上单调递减.‎ 又∵h(﹣)=﹣2+lg3<0,h(﹣)=﹣+lg199>0,‎ 所以,函数h(x)在区间(﹣1,0)上有且仅有唯一零点t,且﹣1.‎ ‎ ‎ ‎20.(18分)(理科)定义:若各项为正实数的数列{an}满足 ‎,则称数列{an}为“算术平方根递推数列”.‎ 已知数列{xn}满足,且,点(xn+1,xn)在二次函数f(x)=2x2+2x的图象上.‎ ‎(1)试判断数列{2xn+1}(n∈N*)是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;‎ ‎(2)记yn=lg(2xn+1)(n∈N*),求证:数列{yn}是等比数列,并求出通项公式yn;‎ ‎(3)从数列{yn}中依据某种顺序自左至右取出其中的项,把这些项重新组成一个新数列{zn}:.‎ 若数列{zn}是首项为、公比为的无穷等比数列,且数列{zn}各项的和为,求正整数k、m的值.‎ ‎【解答】解:(1)数列{2xn+1}(n∈N*)是否为算术平方根递推数列,证明如下:‎ ‎∵点(xn+1,xn)在二次函数f(x)=2x2+2x的图象上,‎ ‎∴xn=2xn+12+2xn+1,‎ ‎∴2xn+1=(2xn+1+1)2,‎ ‎∵xn>0,n∈N*,‎ ‎∴2xn+1+1=,‎ ‎∴数列{2xn+1}(n∈N*)是否为算术平方根递推数列;‎ ‎(2)∵yn=lg(2xn+1),2xn+1+1=,‎ ‎∴yn+1=yn,‎ ‎∵y1=lg(2x1+1)=1,‎ ‎∴数列{yn}是首项为1,公比为等比数列,‎ ‎∴通项公式yn=()n﹣1‎ ‎(3)由题意可得数列{zn}的首项为,公比为,‎ ‎∴=,‎ ‎∴+=16,‎ 若m﹣1≥3,则+≤+<+<16,矛盾,‎ ‎∴m﹣1≤2,‎ ‎∵m﹣1=0或1时,+>16,‎ ‎∴m﹣1=2,‎ ‎∴m=3,‎ ‎∴k=6.‎ ‎ ‎ ‎21.(18分)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0),过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D,得到平行四边形ACBD.‎ ‎(1)当ACBD为正方形时,求该正方形的面积S;‎ ‎(2)若直线l1和l2关于y轴对称,Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2,当d12+d22为定值时,求此时直线l1和l2的斜率及该定值.‎ ‎(3)当ACBD为菱形,且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时,求a,b满足的关系式.‎ ‎【解答】解:(1)∵ACBD为正方形,‎ ‎∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x,‎ 设点A、B的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),‎ 解方程组,得==,‎ 由对称性可知,S=4=;‎ ‎(2)由题意,不妨设直线l1的方程为y=kx,则直线l2的方程为y=﹣kx,‎ 设P(x0,y0),则+=1,‎ 又∵d1=,d2=,‎ ‎∴+=+=,‎ 将=b2(1﹣)代入上式,‎ 得+=,‎ ‎∵d12+d22为定值,‎ ‎∴k2﹣=0,即k=±,‎ 于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣,此时+=;‎ ‎(3)设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为(x0,y0),‎ 则切线AC的方程为:x0x+y0y=1,‎ 点A、C的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)为方程组的实数解.‎ ‎①当x0=0或y0=0时,ACBD均为正方形,‎ 椭圆均过点(1,1),于是有+=1;‎ ‎②当x0≠0或y0≠0时,将y=(1﹣x0x)代入+=1,‎ 整理得:(a2+b2)x2﹣2a2x0x﹣a2(1+b2)=0,‎ 由韦达定理可知x1x2=,‎ 同理可知y1y2=,‎ ‎∵ACBD为菱形,‎ ‎∴AO⊥CO,即x1x2+y1y2=0,‎ ‎∴+=0,‎ 整理得:a2+b2=a2b2(+),‎ 又∵+=1,‎ ‎∴a2+b2=a2b2,即+=1;‎ 综上所述,a,b满足的关系式为+=1.‎ ‎ ‎