2014届高三理科数学一轮复习试题选编6：函数的综合问题（教师版） 9页

‎2014届高三理科数学一轮复习试题选编6：函数的综合问题 一、选择题 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程 有个实数根，其中正确命题的个数为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 解：①在区间上,只有，是增函数，所以①错误。②由，可得，即，所以，所以②正确。③正确。④当时，，由，可知此时有一个实根。当时，由，得，即，所以④正确。所以正确命题的个数为3个。选 C．‎ ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）定义在R上的函数，则的图像与直线的交点为、、且，则下列说法错误的是 （　　）‎ A． B． C．D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得，解得或，当时。又，所以，所以 ，所以D错误，选 D．‎ ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知函数,定义函数 给出下列命题:‎ ①; ②函数是奇函数;③当时,若,,总有成立,其中所有正确命题的序号是 （　　）‎ A．② B．①② C．③ D．②③ ‎ ‎【答案】 D．‎ ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）已知偶函数,当时,,当时,().‎ 关于偶函数的图象G和直线:()的3个命题如下:‎ ‎① 当a=4时,存在直线与图象G恰有5个公共点; ‎ ‎② 若对于,直线与图象G的公共点不超过4个,则a≤2;‎ ‎③ ,使得直线与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.‎ 其中正确命题的序号是 （　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ ‎【答案】 D．‎ ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数：①，②，③.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是 命题是奇函数； 命题在上是增函数；‎ 命题； 命题的图像关于直线对称 （　　）‎ A．命题 B．命题 C．命题 D．命题 ‎【答案】C 解：当时，函数不是奇函数，所以命题不能使三个函数都成立，排除A, D． ①成立；②成立；③成立，所以命题能使三个函数都成立，所以选 C．‎ ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）8.对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的零点恰有两个，则实数的取值范围是 （　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）若直角坐标平面内的两点p、Q满足条件:①p、Q都在函数y=f(x)的图像上;②p、Q关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”).‎ 已知函数f(x)=,则此函数的“友好点对”有( )对. （　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎ ．（2013北京西城高三二模数学理科）已知函数,其中表示不超过实数的最大整数.若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 B．‎ ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）已知函数.若,使成立,则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有 （　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎ ．（2013届北京丰台区一模理科）如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程 ，那么正确的选项是 （　　）‎ A．y=f(x)是区间（0，）上的减函数，且x+y B．y=f(x)是区间（1，）上的增函数，且x+y C．y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y D．y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y ‎【答案】C ．（2011年高考（北京理））设.记为平行四边形内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数的值域为 （　　）‎ A．{9,10,11} B．{9,10,12} C．{9,11,12} D．{10,11,12}‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】由图知C,D两点在直线上运动,平行四边形内部整点的纵坐标只能取1,2,3,而且平行四边形AB边的边长为4,所以横坐标为整数最多会出现4个,最少会出现3个整数,的值域为{9,11,12},选择 C． ‎ A B D C x y 二、填空题 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：‎ ‎①； ②； ③．‎ 其中，具有性质的函数的序号是______．‎ ‎【答案】①③．‎ 解：由题意可知当时，恒成立，若对，有。①若，则由得，即，所以，恒成立。所以①具有性质P. ②若，由得，整理，所以不存在常数，对，有成立，所以②不具有性质P。③若，则由得由，整理得，所以当只要，则成立，所以③具有性质P，所以具有性质的函数的序号是①③。‎ ．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）给出定义：若 (其中 为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：‎ ‎①的定义域是，值域是；‎ ‎②点是的图像的对称中心，其中；‎ ‎③函数的最小正周期为；‎ ‎④ 函数在上是增函数． ‎ 则上述命题中真命题的序号是 ．‎ ‎【答案】①③ ‎ 解：①中，令，所以。所以正确。②，所以点不是函数的图象的对称中心，所以②错误。③，所以周期为1，正确。④令，则，令，则，所以，所以函数在上是增函数错误。，所以正确的为①③‎ ．（2013届北京大兴区一模理科）已知函数，定义,，(,)．把满足（）的x的个数称为函数的“周期点”．则的周期点是 ；周期点是 ．‎ ‎【答案】， ‎ ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:‎ ‎①函数是单函数;‎ ‎②函数是单函数;‎ ‎③若为单函数,且,则;‎ ‎④函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.‎ 其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).‎ 三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎【答案】答案③ ①若,则由得,即,解得,所以①不是单函数.②若则由函数图象可知当,时,,所以②不是单函数.③根据单函数的定义可知,③正确.④在在定义域内某个区间上具有单调性,单在整个定义域上不一定单调,所以④不一定正确,比如②函数.所以真命题为③. ‎ ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）函数是定义在上的偶函数,且满足.当时,.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是 ________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）对任意两个实数，定义若，‎ ‎，则的最小值为　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【 解析】因为，所以时，解得或。当时，，即，所以，做出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为。‎ ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）已知命题:是奇函数;.下列函数:‎ ‎①,②,③中 能使都成立的是____________.(写出符合要求的所有函数的序号).‎ ‎【答案】①②【解析】若,所以为奇函数.‎ 成立,所以①满足条件.若,则为奇函数.,所以②成立.若,则不是奇函数,所以③不满足条件,所以使都成立的是①②. ‎ ．（2010年高考（北京理））如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动｡设顶点p(x,y)的轨迹方程是,则的最小正周期为__________;在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为__________｡说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动｡沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续｡类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动｡‎ ‎【答案】4 , ;解:简单画出图象 ‎ ‎ ‎ 不难看出f(x)的最小正周期是4,其实正方形PABC的周长为4,而“正方形PABC沿x轴滚动”一周,其长度正好是4, ‎ 在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积是由两块半径为1的圆面积加上一块半径为的圆面积,再加上两块直角边为1的等腰直角三角形, ‎ 以总面积是2×+(2π)+2×()=1+π. ‎ 三、解答题 ．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）如图所示,已知边长为米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中米,米.为了合理利用这块钢板,将在五边形内截取一个矩形块,使点在边上.‎ ‎(Ⅰ)设米,米,将表示成的函数,求该函数的解析式及定义域;‎ ‎(Ⅱ)求矩形面积的最大值.‎ ‎【答案】解:(I)作于,所以 ‎ 在中, ‎ 所以 ‎ 所以,定义域为 ‎ ‎(II) 设矩形的面积为,则 ‎ ‎ ‎ 所以是关于的二次函数,且其开口向下,对称轴为 ‎ 所以当,单调递增 ‎ 所以当米时,矩形面积取得最大值平方米 ‎ ．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数,若存在，使得,则称是函数的一个不动点，设二次函数. ‎ ‎(Ⅰ) 当时，求函数的不动点；‎ ‎(Ⅱ) 若对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若函数的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 当时，，解 …2分 得 ‎ 所以函数的不动点为 ……3分 ‎（Ⅱ）因为 对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，‎ 所以 对于任意实数，方程恒有两个不相等的实数根，‎ 即方程恒有两个不相等的实数根， ………4分 所以 ………5分 即 对于任意实数，‎ 所以 ……………………7分 解得 …………………8分 ‎（Ⅲ）设函数的两个不同的不动点为，则 且是的两个不等实根， 所以 直线的斜率为1，线段中点坐标为 因为 直线是线段的垂直平分线，‎ 所以 ，且在直线上 则 ……………………10分 所以 当且仅当时等号成立 ‎…………………12分 又 ‎ 所以 实数的取值范围. …………13分