2014届高三理科数学一轮复习试题选编18：空间的平行与垂直关系（教师版） 13页

‎2014届高三理科数学一轮复习试题选编18：空间的平行与垂直关系 一、选择题 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）平面平面的一个充分条件是（　　）‎ A．存在一条直线 ‎ B．存在一条直线 C．存在两条平行直线 D．存在两条异面直线 ‎【答案】D ．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是 （　　）‎ A．若，则 ‎ B．若，则 ‎ C．若，则⊥ ‎ D．若，则 ‎【答案】C 解：C中，当，所以，或当，所以⊥，所以正确。‎ ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是 （　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可知,B正确. ‎ ．（2013届北京大兴区一模理科）已知平面，直线，下列命题中不正确的是 （　　）‎ A．若，，则∥　 ‎ B．若∥，，则 C．若∥，，则∥　‎ D．若，，则．‎ ‎【答案】C ．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列命题:‎ ‎①若,则;②若,且则;③若,则;④若,,且,则.其中正确命题的序号是 （　　）‎ A．①④ B．②③ C．②④ D．①③‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】①当时,不一定成立,所以错误.②成立.③成立.④,,且,也可能相交,所以错误.所以选 B． ‎ 二、填空题 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））设、是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题:‎ ‎① 若 则 ②若,,则 ‎③ 若,则 ④若,则 其中所有真命题的序号是_____‎ ‎【答案】 ①③ ‎ 三、解答题 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）如图,在四棱锥中,平面平面,且, .四边形满足,,.点分别为侧棱上的点,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)当时,求异面直线与所成角的余弦值; ‎ ‎(Ⅲ)是否存在实数,使得平面平面?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.‎ P D A B C F E ‎【答案】证明:(Ⅰ)由已知,, ‎ 所以 . ‎ 因为,所以. ‎ 而平面,平面, ‎ 所以平面 ‎ ‎(Ⅱ)因为平面平面, ‎ 平面平面,且, ‎ 所以平面. ‎ 所以,. ‎ 又因为, ‎ 所以两两垂直 ‎ 如图所示,建立空间直角坐标系,P D A B C F E x yx zx ‎ 因为,, ‎ 所以 ‎ ‎. ‎ 当时,为中点, ‎ 所以, ‎ 所以. ‎ 设异面直线与所成的角为, ‎ 所以, ‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为 ‎ ‎(Ⅲ)设,则. ‎ 由已知,所以, ‎ 所以 所以. ‎ 设平面的一个法向量为,因为, ‎ 所以 即 ‎ 令,得. ‎ 设平面的一个法向量为,因为, ‎ 所以 即 ‎ 令,则. ‎ 若平面平面,则,所以,解得. ‎ 所以当时,平面平面 ‎ ．（2013北京西城高三二模数学理科）如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示. ‎ ‎(Ⅰ)证明:平面; ‎ ‎(Ⅱ)证明:∥平面; ‎ ‎(Ⅲ)线段上是否存在点,使与所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点,并求的长;若不存在,说明理由. ‎ ‎【答案】【方法一】 ‎ ‎(Ⅰ)证明:由俯视图可得,, ‎ 所以 ‎ 又因为 平面, ‎ 所以 , ‎ 所以 平面 ‎ ‎(Ⅱ)证明:取上一点,使,连结, ‎ 由左视图知 ,所以 ∥, ‎ 在△中,易得,所以 .又 , 所以, . ‎ 又因为 ∥,,所以 ∥,. ‎ 所以四边形为平行四边形,所以 ∥ ‎ 因为 平面,平面, ‎ 所以 直线∥平面 ‎ ‎(Ⅲ)解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下: ‎ 因为 平面,,建立如图所示的空间直角坐标系. ‎ 所以 . ‎ 设 ,其中 ‎ 所以,. ‎ 要使与所成角的余弦值为,则有 , ‎ 所以 ,解得 或,均适合 ‎ 故点位于点处,此时;或中点处,此时, ‎ 有与所成角的余弦值为 ‎ ‎【方法二】(Ⅰ)证明:因为平面,,建立如图所示 的空间直角坐标系. ‎ ‎ ‎ 在△中,易得,所以 , ‎ 因为 , 所以, . ‎ 由俯视图和左视图可得: ‎ ‎. ‎ 所以 ,. ‎ 因为 ,所以 ‎ 又因为 平面,所以 , ‎ 所以 平面 ‎ ‎(Ⅱ)证明:设平面的法向量为,则有 ‎ 因为 ,, ‎ 所以 取,得 ‎ 因为 ,所以 ‎ 因为 平面, 所以 直线∥平面 ‎ ‎(Ⅲ)解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下: ‎ 设 ,其中 ‎ 所以 ,. ‎ 要使与所成角的余弦值为,则有 , ‎ 所以 ,解得或,均适合 ‎ 故点位于点处,此时;或中点处,此时, ‎ 有与所成角的余弦值为 ‎ ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点. （Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（I）连接. ‎ 由是正方形可知,点为中点.‎ ‎ 又为的中点，‎ 所以∥………………….2分 又 ‎ 所以∥平面………….4分 ‎(II) 证明：由 所以 由是正方形可知, ‎ 又 所以………………………………..8分 ‎ 又 所以…………………………………………..9分 ‎(III)解法一：‎ 在线段上存在点，使. 理由如下：‎ 如图，取中点，连接.‎ 在四棱锥中，，‎ 所以.…………………………………………………………………..11分 由（II）可知，而 所以，‎ 因为 所以…………………………………………………………. 13分 故在线段上存在点，使.‎ 由为中点，得…………………………………………… 14分 解法二：‎ 由且底面是正方形，如图，‎ 建立空间直角坐标系 由已知设，‎ 则 设为线段上一点，且，则 ‎…………………………..12分 由题意，若线段上存在点，使，则，.‎ 所以，，‎ 故在线段上存在点，使，且…………………… 14分 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形．‎ ‎（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小;‎ ‎（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得 AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.‎ 侧视图 俯视图 正视图 ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎【答案】解：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ 即该几何体的体积V为．----------------------------------4分 ‎（2）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．‎ 则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）‎ ‎∴，∴ ‎ ‎∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．----------------------------------4分 ‎（3） ∵点Q在棱DE上，∴存在使得 同理 ‎,即 ‎∴，满足题设的点Q存在，DQ的长为1 ----------------------------------14分 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 在四棱锥中，底面为矩形，，，，，分别为的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明：底面为矩形 ‎ ‎ …………………………………4分 ‎（2）证明：取，连接 ‎ ‎ ‎ ‎,‎ 是平行四边形，‎ ‎//，，‎ ‎// ……………………………………8分 ‎(3) ，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 假设在线段上存在一点，使得平面平面，‎ 设，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设平面的法向量为 ‎ ， ， ‎ 令 ‎ 设平面的法向量为 ‎ 令 ‎ ‎ ，解得 ‎ 线段上存在点，且当时，使得平面平面. ……………13分 ．（2013届北京海滨一模理科）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面;‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】证明：(I) 因为是正三角形，是中点，‎ 所以,即………………1分 又因为，平面，………………2分 又，所以平面………………3分 又平面，所以………………4分（Ⅱ）在正三角形中，………………5分 在中，因为为中点，，所以 ‎，所以，所以………………6分 在等腰直角三角形中，，，‎ 所以，，所以………………8分 又平面，平面，所以平面………………9分 ‎（Ⅲ）因为，‎ 所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，‎ 所以 由（Ⅱ）可知，‎ 为平面的法向量………………10分 ‎，‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则，即，‎ 令则平面的一个法向量为………………12分 设二面角的大小为， 则 所以二面角余弦值为………………14分 ．（2010年高考（北京理））如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;‎ ‎(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;‎ ‎(Ⅲ)求二面角A-BE-D的大小｡‎ ‎【答案】证明:(I) 设AC与BD交与点G｡ ‎ 因为EF//AG,且EF=1,AG=AC=1. ‎ 所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF//平面EG, ‎ 因为平面BDE,AF平面BDE, 所以AF//平面BDE. ‎ ‎(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CEAC, ‎ 所以CE平面ABCD. ‎ 如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-. ‎ 则C(0,0,0),A(,,0),B(0,,0). ‎ 所以,,. ‎ 所以, ‎ 所以,. 所以BDE. ‎ ‎(III) 由(II)知,是平面BDE的一个法向量. ‎ 设平面ABE的法向量,则,. ‎ 即 所以且 令则. ‎ 所以. ‎ 从而｡ 因为二面角为锐角, ‎ 所以二面角的大小为. ‎