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- 2021-06-24 发布
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第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)了解空间中两条直线的位置关系;
(2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力;
(3)理解并掌握公理4;
(4)理解并掌握等角公理;
(5)异面直线所成角的定义、范围及应用。
2.过程与方法
让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.
3.情感、态度与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣.
(二)教学重点、难点
重点:1、异面直线的概念; 2、公理4及等角定理.
难点:异面直线所成角的计算.
(三)教学方法
师生的共同讨论与讲授法相结合;
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
问题:在同一平面内,两条直线有几种位置关系?空间的两条直线还有没有其他位置关系?
师投影问题,学生讨论回答
生1:在同一平面内,两条直线的位置关系有:平行与相交.
生2:空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系,如教室里的电灯线与墙角线……
师(肯定):这种位置关系我们把它称为异面直线,这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.
以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.
探索新知
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点
1.空间的两条直线位置关系:
共面直线
师:根据刚才的分析,空间的两条直线的位置关系有以下三种:①相交直线—有且仅有一个公共点
②平行直线—
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
在同一平面内,没有公共点.
③异面直线—不同在任何一个平面内,没有公共点.
随堂练习:
如图所示P50-16是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对.
答案:4对,分别是HG与EF,AB与CD,AB与EF,AB与HG.
现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类
生:按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类:一类是平行直线和相交直线,它们是共面直线.一类是异面直线,它们不同在任何一个平面内.
师(肯定)所以异面直线的特征可说成“既不平行,也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”
学生讨论发现不能去掉“任何”
师:“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面,使两异面直线在该平面内”
培养学生分类的能力,加深学生对空间的一条直线位置关系的理解
(1)公理4,平行于同一条直线的两条直线互相平行
(2)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
例2 如图所示,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接BD,
师:现在请大家看一看我们的教室,找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.
师:我们把上述规律作为本章的第4个公理.
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
师:现在请大家思考公理4是否可以推广,它有什么作用.
生:推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.
培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.
通过分析和引导,培养学生解题能力.
因为EH是△ABD的中位线,
所以EH∥BD,且.
同理FG∥BD,且.
因为EH∥FG,且EH = FG,
所以 四边形EFGH为平行四边形.
师(肯定)下面我们来看一个例子
观察图,在长方体ABCD – A′B′C′D′中,∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC 与∠A′B′C′的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?
生:从图中可以看出,
∠ADC = ∠A′D′C′,
∠ADC + ∠A′B′C′=180°
师:一般地,有以下定理:……这个定理可以用公理4证明,是公理4的一个推广,我们把它称为等角定理.
师打出投影片让学生尝试作图,在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.
师:在图中EH、FG有怎样的特点?它们有直接的联系吗?引导学生找出证明思路.
探索新知
3.异面直线所成的角
(1)异面直线所成角的概念.
已知两条异面直线a、b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线互相垂直
如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b,记作a⊥b.
例3 如图,已知正方体
师讲述异面直线所成的角的定义,然后学生共同对定义进行分析,得出如下结论.
①两条异面直线所成角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点O的位置选取无关;
②两条异面直线所成的角
;
③因为点O
加深对平面直线所成角的理解,培养空间想象能图力和转化化归以能力.
ABCD – A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少?
(3)哪此棱所在的直线与直线AA′垂直?
解:(1)由异面直线的定义可知,棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.
(2)由BB′∥CC′可知,∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角,∠B′BA′= 45°.
(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.
可以任意选取,这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便,具体运用时,为了简便,我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上;
④找出两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线),把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角;
⑤当两条异面直线所成的角是直线时,我们就说这两条异面直线互相垂直,异面直线a和b互相垂直,也记作a⊥b;
⑥以后我们说两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直,也有异面垂直这样两种情形.
然后师生共同分析例题
随堂练习
1.填空题:
(1)如图,AA′是长方体的一条棱,长方体中与AA′平行的棱共有 条.
(2)如果OA∥O′A′,OB∥O′B′,那么∠AOB和∠A′O′B′ .
答案:(1)3条. 分别是BB′,CC′,DD′;(2)相等或互补.
学生独立完成
答案:.
2.(1)因为BC∥B′C′,所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中,A′B′=,B′C′=,所以∠B′C′A′ = 45°.
(2)因为AA′∥BB′,所以∠B′BC′是异面直线AA′ 和BB′ 所成的角.
在Rt△BB′C′中,B′C′ = AD =,BB′= AA′=2,
所以BC′= 4,∠B′BC′= 60°.
因此,异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
2.如图,已知长方体ABCD – A′B′C′D′中,AB =,AD =,AA′ =2.
(1)BC和A′C′所成的角是多少度?
(2)AA′ 和BC′ 所成的角是多少度?
归纳总结
1.空间中两条直线的位置关系.
2.平行公理及等角定理.
3.异面直线所成的角.
学生归纳,教师点评并完善
培养学生归纳总结能力,加深学生对知识的掌握,完善学生知识结构.
作业
2.1 第二课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
附加例题
例1 “a、b为异面直线”是指:
①a∩b =,且a∥b;
②a面,b面,且a∩b =;
③a面,b面,且∩=;
④a面,b面;
⑤不存在面,使a面,b面成立.
上述结论中,正确的是( )
A.①④⑤正确 B.①③④正确
C.仅②④正确 D.仅①⑤正确
【解析】 ①等价于a和b既不相交,又不平行,故a、b是异面直线;②等价于a、b不同在同一平面内,故a、b是异面直线.故选D
例2 如果异面直线a与b所成角为50°,P为空间一定点,则过点P与a、b
所成的角都是30°的直线有且仅有 条.
a
b
A
a′
b′
O
P
A′
B′
【解析】如图所示,过定点P作a、b的平行线
a′、b′,因a、b成50°角,∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线,取较小的角有
∠A′PO =∠B′PO = 25°.
∵∠APA′>A′PO,
∴过P作直线l与a′、b′成30°角的直线有2条.
例3 空间四边形ABCD,已知AD =1,BD =,且AD⊥BC,对角线BD =,AC =,求AC和BD所成的角。
【解析】取AB、AD、DC、BD中点为E、F、G、M,连EF、FG、GM、ME、EG.
∥
=
∥
=
则 MG
EM
∵AD⊥BC ∴EM⊥MG
在R t△EMG中,有
在RFG中,∵EF =
∴EF 2 +FG 2 = EG 2
∴EF⊥FG,即AC⊥BD
∴AC和BD所成角为90°.
【点
评】根据异面直线成角的定义,异面直线所成角的求法通常采用平移直线,转化为相交直线所成角,注意角的范围是.
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