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- 2021-06-24 发布
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第七章 章末检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2011·山东)设集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N等于( )
A.[1,2) B.[1,2]
C.(2,3] D.[2,3]
2.(2011·商丘月考)下列命题中为真命题的是( )
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若|a|>b,则a2>b2
C.若a>b,则a2>b2
D.若a>|b|,则a2>b2
3.若实数a、b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是( )
A.18 B.6 C.2 D.2
4.不等式y≥|x|表示的平面区域是( )
5.(2011·北京)如果xn)都成立的是( )
A.|an-am|<
B.|an-am|>
C.|an-am|<
D.|an-am|>
9.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人要用它称物体的重量,他将物体放在左右托盘各称一次,取两次称量结果分别为a、b.设物体的真实重量为G,则( )
A.=G B.≤G C.>G D.0的解集是{x|x<-1或x>4},则实数a、b的值分别为________.
14.(2011·陕西)如图,点(x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动,那么2x-y的最小值为________.
15.(2011·汤阴模拟)已知正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围为____________,a+b的取值范围是____________.
16.(2011·山东)设函数f(x)=(x>0),观察:
f1(x)=f(x)=,
f2(x)=f(f1(x))=,
f3(x)=f(f2(x))=,
f4(x)=f(f3(x))=,
……
根据以上事实,由归纳推理可得:
当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)解关于x的不等式≤(其中a>0且a≠1).
18.(12分)(2011·惠州月考)函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.
(1)求f(0);
(2)求f(x);
(3)当0ax-5恒成立,求a的取值范围.
19.(12分)(2011·汕头月考)设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.
(1)求证:数列{Sn}不是等比数列;
(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?
20.(12分)(2011·嘉兴月考)某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
21.(12分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:
已知a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:a+a≥.
证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,
f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a+a=2x2-2x+a+a.
因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,所以Δ=4-8(a+a)≤0,从而得a+a≥.
(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请写出上述问题的推广式;
(2)参考上述证法,对你推广的问题加以证明.
22.(12分)(2009·山东)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.
(1)求r的值;
(2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*),
证明:对任意的n∈N*,不等式··…·>成立.
第七章 章末检测
1.A [∵x2+x-6<0,∴-3=G.]
10.D [∵M=(-1)(-1)(-1)
=··≥··=8,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
∴M≥8.]
11.A [当x=0时,对任意实数a,不等式都成立;
当x≠0时,a≥-=-=f(x),
问题等价于a≥f(x)max,∵f(x)max=-2,故a≥-2.
综上可知,a的取值范围是[-2,+∞).]
12.B [x2+2y2=(x2+2y2)·1=(x2+2y2)·=1+++2≥3+2
=3+2,当且仅当=时等号成立.]
13.-4,1
解析 由题意知,-1、4为方程x2+(a+1)x+ab=0的两根,∴a+1=-3,ab=-4.∴a=-4,b=1.
14.1
解析 令b=2x-y,则y=2x-b,
如图所示,作斜率为2的平行线y=2x-b,
当经过点A时,直线在y轴上的截距最大,为-b,此时b=2x-y取得最小值,为b=2×1-1=1.
15.[9,+∞) [6,+∞)
解析 ∵a+b≥2,∴ab-3≥2.
解得,≥3或≤-1(舍),∴ab≥9,
a+b=ab-3≥6.
16.
解析 依题意,先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式,由1,3,7,15,…,可推知该数列的通项公式为an=2n-1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16,…,故其通项公式为bn=2n.
所以当n≥2时,fn(x)=f(fn-1(x))=.
17.解 ①当a>1时,有x-+1≤-1,
∴x-+2≤0,∴≤0.
∴≤0,∴x≤-3或01时,x∈(-∞,-3]∪(0,1];
当0ax-5化为x2+x-2>ax-5,ax0且b≠1,
所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列.
又a1=b+r,a2=b(b-1),
所以=b,所以r=-1.(5分)
(2)证明 由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(n∈N*),
所证不等式为··…·>.
(6分)
①当n=1时,左式=,右式=.
左式>右式,所以结论成立,(7分)
②假设n=k(k∈N*)时结论成立,即··…·>,则当n=k+1时,
··…·>·
=要证当n=k+1时结论成立,
只需证≥,
即证≥,
由均值不等式=≥成立,
所以,当n=k+1时,结论成立.(11分)
由①②可知,n∈N*时,不等式··…·>成立.(12分)
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