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- 2021-06-24 发布
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第二课时 柱体、锥体、台体的体积
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)了解几何体体积的含义,以及柱体、锥体与台体的体积公式.(不要求记忆公式)
(2)熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.
(3)培养学生空间想象能力和思维能力.
2.过程与方法
(1)让学生通过对照比较,理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.
(2)通过相关几何体的联系,寻找已知条件的相互转化,解决一些特殊几何体体积的计算.
3.情感、态度与价值观
通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.
(二)教学重点、难点
重点:柱体、锥体、台体的体积计算.
难点:简单组合体的体积计算.
(三)教学方法
讲练结合
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
新课导入
1.复习柱体、锥体、台体表面积求法及相互关系.
教师设问,学生回忆
师:今天我们共同学习柱体、锥体、台体的另一个重要的量:体积.
复习巩固
点出主题
探索新知
柱体、锥体、台体的体积
1.柱体、锥体、台体的体积公式:
V柱体 = Sh (S是底面积,h为柱体高)
V锥体 =(S是底面积,h为锥体高)
V台体 =(S′,S分别为上、下底面面积,h为台体的高)
师:我们已经学习了正方体,长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式是什么?
生:V = Sh (S为底面面积,h为高)
师:这个公式推广到一般柱体也成立,即一般柱体体积. 公式:V = Sh (S为底面面积,h为高)
师:锥体包括圆锥和棱锥,锥体的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离(投影或作出).
柱体、锥体、台体的体积公式只要求了解,故采用讲授式效率会更高.
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
S = S′
S = 0
V柱体 = Sh
V锥体=
锥体的体积公式都是V = (S为底面面积,h为高)
师:现在请对照柱体、锥体体积公式你发现有什么结论.
生:锥体体积同底等高的柱体体积的.
师:台体的结构特征是什么?
生:台体是用平行于锥体底面的平面去截锥体,截得两平行平面间的部分.
师:台体的体积大家可以怎样求?
生:台体的体积应该等于两个锥体体积的差.
师:利用这个原理我们可以得到台体的体积公式
V =
其中S′、S分别为上、下底面面积,Q为台体的高(即两底面之间的距离)
师:现在大家计论思考一下台体体积公式与柱体、锥体的体积公式有什么关系?
生:令S′=0,得到锥体体积公式.
令S′=S,得到柱体体积公式.
因台体的体积公式的推导需要用到后面知识,故此处不予证明,只要学生了解公式及公式的推导思路.
培养探索意识,加深对空间几何体的了解和掌握.
典例分析
例1 有一堆规格相同的铁制 (铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽(如图)共重5.8kg
师:六角螺帽表示的几何体的结构特征是什么?你准备怎样计算它的体积?
生:
空间组合体的体积计算关键在于弄
,已知底面是正六边形,边长为12cm,内孔直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个(取3.14,可用计算器)?
解:六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差,即
≈2956 (mm3) = 2.956(cm3)
所以螺帽的个数为
5.8×1000÷(7.8×2.956)≈ 252(个)
答:这堆螺帽大约有252个.
六角螺帽表示的几何体是一个组合体,在一个六棱柱中间挖去一个圆柱,因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.
学生分析,教师板书过程.
师:求组合体的表面积和体积时,要注意组合体的结构特征,避免重叠和交叉等.
清它的结构特征.
典例分析
例2 已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S,求其内接正四棱柱的体积.
【解析】如图,设等边圆柱的底面半径为r,则高h = 2r,
∵S = S侧 + 2S底 = 2 +,∴.
∴内接正四棱柱的底面边长a=2r sin45°=.
∴V = S底·h =
= 4·,
即圆柱的内接正四棱柱的体积为.
教师投影例2并读题
师:要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考,要求内接正四棱柱的体积,只需求出等边圆柱的底面圆半径r,根据已知条件可以用S表示它.大家想想,这个轴截面最好选择什么位置.
生:取内接正四棱柱的对角面.
师:有什么好处?
生:这个截面即包括圆柱的有关量,也包括正四棱柱的有关量.
学生分析,教师板书过程.
师:本题是正四棱柱与圆柱的相接问题.
旋转体类组合体体积计算关键在于找好截面,找到这个截面,就能迅速搭好已知和未知的桥梁.
解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系,如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等,正四棱柱的高与圆柱的母线长相等,通过这些关系可以实现已知条件的相互转化.
随堂练习
1.下图是一个几何体的三视图(单位:cm),画出它的直观图,并求出它的表面积和体积.
答案:2325 cm2.
2.正方体中,H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点,现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角,问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几?
答案:.
学生独立完成
培养学生理解能力,空间想象能力.
归纳总结
1.柱体、锥体、台体的体积公式及关系.
2.简单组合体体积的计算.
3.等积变换
学生归纳,教师补充完善.
巩固所学,提高自我整合知识能力.
课后作业
1.3 第二课时 习案
学生独立完成
固化知识
提升能力
备用例题
例1:三棱柱ABC – A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2 = 7:5 .
【分析】不妨设V1对应的几何体AEF – A1B1C1是一个棱台,一个底面的面积与棱柱的底面积相等,另一个底面的面积等于棱柱底面的;V2对应的是一个不规则的几何体,显然这一部分的体积无法直接表示,可以考虑间接的办法,用三棱柱的体积减去V1来表示.
【解析】设三棱柱的高为h,底面的面积为S,体积为V,则V = V1 + V2 = Sh.
∵E、F分别为AB、AC的中点
∴.
∴V1:V2 = 7:5.
【评析】本题求不规则的几何体C1B1—EBCF的体积时,是通过计算棱柱ABC—A1B1C1和棱台AEF—A1B1C1的体积的差来求得的.
例2:一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6cm,高为20cm的一个圆锥形铅锤,当铅锤从中取出后,杯里的水将下降几厘米?(=3.14)
【解析】因为圆锥形铅锤的体积为
(cm3)
设水面下降的高底为x,则小圆柱的体积为(20÷2)2x = 100x (cm3)
所以有60=100x,解此方程得x = 0.6 (cm).
答:铅锤取出后,杯中水面下降了0.6cm.
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