高考数学二轮复习教案：高难拉分攻坚特训(四) 4页

高难拉分攻坚特训(四)‎ ‎1．设数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＋an＝2n＋1，且Sn＝1350.若a2<2，则n的最大值为(　　)‎ A．51 B．52 C．53 D．54‎ 答案　A 解析　因为an＋1＋an＝2n＋1　　　　　　①，‎ 所以an＋2＋an＋1＝2(n＋1)＋1＝2n＋3 ②，‎ ‎②－①得an＋2－an＝2，且a2n－1＋a2n＝2(2n－1)＋1＝4n－1，所以数列{an}的奇数项构成以a1为首项，2为公差的等差数列，数列{an}的偶数项构成以a2为首项，2为公差的等差数列，数列{a2n－1＋a2n}是以4为公差的等差数列，‎ 所以Sn＝ 当n为偶数时，＝1350，无解(因为50×51＝2550,52×53＝2756，所以接下来不会有相邻两数之积为2700)．当n为奇数时，＋(a1－1)＝1350，a1＝1351－，因为a2<2，所以3－a1<2，所以a1>1，所以1351－>1，所以n(n＋1)<2700，又n∈N*,51×52＝2652，所以n≤51，故选A.‎ ‎2．底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥，则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为________．‎ 答案　 解析　因为正四棱锥内接于球内，且欲使正四棱锥的体积最大，则球的球心在正四棱锥的高上，如图所示，其中球的球心为E点，设BC＝a，则BO＝a，‎ 在Rt△EOB中，则有EO2＋OB2＝EB2，故EO＝ ，正四棱锥的高为2＋ ，正四棱锥的体积为V＝×a2×，令x＝ ，x∈(0,2)，则V(x)＝×(8－2x2)×(2＋x)，即V(x)＝×(－2x3－4x2＋8x＋16)，对V(x)求导得，V′(‎ x)＝×(－6x2－8x＋8)，令V′(x)＝0，即－6x2－8x＋8＝0，解得x＝或x＝－2(舍去)，当x∈时，V′(x)>0，V(x)单调递增，当x∈时，V′(x)<0，V(x)单调递减，故当x＝时，V(x)max＝.‎ ‎3．已知函数f(x)＝函数y＝f[f(x)＋1]－m(m∈R)恰有两个零点x1和x2.‎ ‎(1)求函数f(x)的值域和实数m的最小值；‎ ‎(2)若x10时，f(x)＝2>0.‎ ‎∴f(x)的值域为(0，＋∞)．‎ 令f[f(x)＋1]＝m，‎ ‎∵f(x)＋1>1，∴f[f(x)＋1]>2，∴m>2.‎ 又f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为(0，＋∞)．‎ 设f(x)＋1＝t1，f(x)＋1＝t2，且t1<0，t2>1.‎ ‎∴f(x)＝t1－1无解．‎ 从而f(x)＝t2－1要有两个不同的根，应满足t2－1≥2，‎ ‎∴t2≥3.‎ ‎∴f(t2)＝f[f(x)＋1]≥2.即m≥2.‎ ‎∴m的最小值为2.‎ ‎(2)y＝f[f(x)＋1]－m有两个零点x1，x2且x11时，设g(t)＝t2－t－2a.‎ 由g(2)＝4－2－2a＝2－2a<0，t→＋∞时，g(t)→＋∞.‎ ‎∴∃t0∈(2，＋∞)，使得g(t0)＝0.‎ 且当t∈(2，t0)时，g(t)<0，t∈(t0，＋∞)时，g(t)>0.‎ ‎∴当t∈(2，t0)时，h(t)单调递减，此时h(t)0的焦点，G，H是抛物线C上不同的两点，且|GF|＋|HF|＝3，线段GH的中点到x轴的距离为.点P(0,4)，Q(0,8)，曲线D上的点M满足·＝0.‎ ‎(1)求抛物线C和曲线D的方程；‎ ‎(2)是否存在直线l：y＝kx＋m分别与抛物线C相交于点A，B(A在B的左侧)、与曲线D相交于点S，T(S在T的左侧)，使得△OAT与△OBS的面积相等？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)由抛物线定义知＋＝，‎ 得p＝，‎ 故抛物线的方程为x2＝y.‎ 由·＝0得点M的轨迹D是以PQ为直径的圆，‎ 其方程为x2＋(y－6)2＝4.‎ ‎(2)由△OAT与△OBS的面积相等得|AT|＝|BS|，‎ 则|AS|＝|BT|，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，S(x3，y3)，T(x4，y4)，‎ 由＝(x3－x1，y3－y1)，＝(x2－x4，y2－y4)，‎ 且＝得x3－x1＝x2－x4，即x1＋x2＝x4＋x3.‎ ‎(ⅰ)当直线l的斜率为0时，l的方程为y＝m，此时只需点(0，m)在圆D 内即可，此时40，①‎ 且x1＋x2＝k.‎ 由方程组 得(1＋k2)x2＋2k(m－6)x＋(m－6)2－4＝0，‎ 直线l与圆D交于S，T两点，所以圆心D(0,6)到直线l的距离 d＝0，∴－2