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- 2021-06-24 发布
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2018年河南省高考数学一诊试卷(文科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)集合A={x∈R|3≤32﹣x<27},B={x∈Z|﹣3<x<1},则A∩B中元素的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(5分)已知a∈R,复数z=,若=z,则a=( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
3.(5分)某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:℃)的数据,绘制了下面的折线图.
已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.最低气温与最高气温为正相关
B.10月的最高气温不低于5月的最高气温
C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月
D.最低气温低于0℃的月份有4个
4.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=,=2sinAsinB,且b=6,则c=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
5.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有阳马,广五尺,褒七尺,高八尺,问积几何?”其意思为:“今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长,宽分别为7尺和5尺,高为8尺,问它的体积是多少?”若以上条件不变,则这个四棱锥的外接球的表面积为( )
A.128π平方尺 B.138π平方尺 C.140π平方尺 D.142π平方尺
6.(5分)定义[x]表示不超过x的最大整数,(x)=x﹣[x],例如[2.1]=2,(2.1)=0.1,执行如图所示的程序框图,若输入的x=5.8,则输出的z=( )
A.﹣1.4 B.﹣2.6 C.﹣4.6 D.﹣2.8
7.(5分)若对于任意x∈R都有f(x)+2f(﹣x)=3cosx﹣sinx,则函数f(2x)图象的对称中心为( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z)
8.(5分)设x,y满足约束条件,若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.2或﹣3 B.3或﹣2 C.﹣或 D.﹣或2
9.(5分)函数f(x)=的部分图象大致是( )
A. B. C. D.
10.(5分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.20+12+2 B.20+6+2 C.20+6+2 D.20+12+2
11.(5分)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A,B两点(A在B的上方),且l与准线交于点C,若,则=( )
A. B. C.3 D.2
12.(5分)已知函数f(x)=ex+x2+lnx与函数g(x)=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞,﹣e] B. C.(﹣∞,﹣1] D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)在△ABC中,|+|=|﹣|,||=2,则•=
14.(5分)一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 .
15.(5分)若α∈(﹣,0),sin(α+)=﹣,则= .
16.(5分)设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线分别交于点A,B,且A(m,18)在第一象限,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的实轴长为 .
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=3,且a2,a5,a14成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(﹣1)n﹣1anan+1,求数列{bn}的前2n项和S2n.
18.(12分)从某校高中男生中随机选取100名学生,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图,如图所示.
(1)估计该校的100名同学的平均体重(同一组数据以该组区间的中点值作代表);
(2)若要从体重在[60,70),[70,80),[80,90]三组内的男生中,用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队,再从这6人中选2人当正副队长,求这2人中至少有1人体重在[70,80)内的概率.
19.(12分)如图,在三棱台ABC﹣A1B1C1
中,D,E分别是AB,AC的中点,AB=2A1B1,B1E⊥平面ABC,且∠ACB=90°.
(1)求证:B1C∥平面A1DE;
(2)若AC=3BC=6,△AB1C为等边三角形,求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积.
20.(12分)如图,椭圆W:+=1(a>b>0)的焦距与椭圆Ω:+y2=1的短轴长相等,且W与Ω的长轴长相等,这两个椭圆的在第一象限的交点为A,直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA(O为坐标原点)垂直,l与Ω的另一个交点为C,l与W交于M,N两点.
(1)求W的标准方程:
(2)求.
21.(12分)已知函数f(x)=x﹣lnx.
(1)若曲线y=f(x)在x=x0处的切线经过坐标原点,求x0及该切线的方程;
(2)设g(x)=(e﹣1)x,若函数F(x)=的值域为R,求实数a的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为
(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数),设l1与l2的交点为p,当k变化时,p的轨迹为曲线c1
(Ⅰ)写出C1的普通方程及参数方程;
(Ⅱ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线C2的极坐标方程为,Q为曲线C1上的动点,求点Q到C2的距离的最小值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知f(x)=|x+a|(a∈R).
(1)若f(x)≥|2x+3|的解集为[﹣3,﹣1],求a的值;
(2)若∀x∈R,不等式f(x)+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立,求实数a的取值范围.
2018年河南省高考数学一诊试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)集合A={x∈R|3≤32﹣x<27},B={x∈Z|﹣3<x<1},则A∩B中元素的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解答】解:∵A={x∈R|3≤32﹣x<27}={x∈R|﹣1<x≤1},
B={x∈Z|﹣3<x<1}={﹣2,﹣1,0},
∴A∩B={0}.
∴A∩B中元素的个数为1.
故选:B.
2.(5分)已知a∈R,复数z=,若=z,则a=( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
【解答】解:z===+a﹣1=(a﹣1)﹣(a+1)i,
则=(a﹣1)+(a+1)i,
∵=z,
∴a+1=0,得a=﹣1,
故选:B.
3.(5分)某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:℃)的数据,绘制了下面的折线图.
已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.最低气温与最高气温为正相关
B.10月的最高气温不低于5月的最高气温
C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月
D.最低气温低于0℃的月份有4个
【解答】解:由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:℃)的数据的折线图,得:
在A中,最低气温与最高气温为正相关,故A正确;
在B中,10月的最高气温不低于5月的最高气温,故B正确;
在C中,月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月,故C正确;
在D中,最低气温低于0℃的月份有3个,故D错误.
故选:D.
4.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=,=2sinAsinB,且b=6,则c=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【解答】解:△ABC中,A=,b=6,
∴a2=b2+c2﹣2bccosA,
即a2=36+c2﹣6c①;
又=2sinAsinB,
∴=2ab,
即cosC==,
∴a2+36=4c2②;
由①②解得c=4或c=﹣6(不合题意,舍去);
∴c=4.
故选:C.
5.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有阳马,广五尺,褒七尺,高八尺,问积几何?”其意思为:“今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长,宽分别为7尺和5尺,高为8尺,问它的体积是多少?”若以上条件不变,则这个四棱锥的外接球的表面积为( )
A.128π平方尺 B.138π平方尺 C.140π平方尺 D.142π平方尺
【解答】解:∵今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长,宽分别为7尺和5尺,高为8尺,
∴构造一个长方体,其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺,
则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球,
∴这个四棱锥的外接球的半径R==(尺),
∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π(平方尺).
故选:B.
6.(5分)定义[x]表示不超过x的最大整数,(x)=x﹣[x],例如[2.1]=2,(2.1)=0.1,执行如图所示的程序框图,若输入的x=5.8,则输出的z=( )
A.﹣1.4 B.﹣2.6 C.﹣4.6 D.﹣2.8
【解答】解:模拟程序的运行,可得
x=5.8
y=5﹣1.6=3.4
x=5﹣1=4
满足条件x≥0,执行循环体,x=1.7,y=1﹣1.4=﹣0.4,x=1﹣1=0
满足条件x≥0,执行循环体,x=﹣0.2,y=﹣1﹣1.6=﹣2.6,x=﹣1﹣1=﹣2
不满足条件x≥0,退出循环,z=﹣2+(﹣2.6)=﹣4.6.
输出z的值为﹣4.6.
故选:C.
7.(5分)若对于任意x∈R都有f(x)+2f(﹣x)=3cosx﹣sinx,则函数f(2x)图象的对称中心为( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z)
【解答】解:∵对任意x∈R,都有f(x)+2f(﹣x)=3cosx﹣sinx ①,
用﹣x代替x,得f(﹣x)+2f(x)=3cos(﹣x)﹣sin(﹣x)②,
即 f(﹣x)+2f(﹣x)=3cosx+sinx②;
由①②组成方程组,解得f(x)=sinx+cosx,
∴f(x)=sin(x+),∴f(2x)=sin(2x+).
令2x+=kπ,k∈Z,求得x=﹣,
故函数f(2x)图象的对称中心为(﹣,0),k∈Z,
故选:D.
8.(5分)设x,y满足约束条件,若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.2或﹣3 B.3或﹣2 C.﹣或 D.﹣或2
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分OAB).
由z=y﹣ax得y=ax+z,即直线的截距最大,z也最大.
若a=0,此时y=z,此时,目标函数只在A处取得最大值,不满足条件,
若a>0,目标函数y=ax+z的斜率k=a>0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,
则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行,此时a=2,
若a<0,目标函数y=ax+z的斜率k=a<0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,
则直线y=ax+z与直线x+y=1平行,此时a=﹣3,
综上a=﹣3或a=2,
故选:A.
9.(5分)函数f(x)=的部分图象大致是( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣)∪(﹣,)∪(,+∞)
f(﹣x)===f(x),
∴f(x)为偶函数,
∴f(x)的图象关于y轴对称,故排除A,
令f(x)=0,即=0,解得x=0,
∴函数f(x)只有一个零点,故排除D,
当x=1时,f(1)=<0,故排除C,
综上所述,只有B符合,
故选:B.
10.(5分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.20+12+2 B.20+6+2 C.20+6+2 D.20+12+2
【解答】解:由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥,棱锥的底面为矩形ABCD,底面与一个侧面PBC垂直,
PB=PC=4,AB=3.
SABCD=3×=12,S△PBC=,S△PCD=S△PBA=,
△PAD中AP=PD=5,AD=4,∴AD边上的高为,
∴S△PAD=,
则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2,
故选:D
11.(5分)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A,B两点(A在B的上方),且l与准线交于点C,若,则=( )
A. B. C.3 D.2
【解答】解:根据题意,设|AF|=a,|BF|=b,
作AM、BN垂直准线于点M、N,
则有|BF|=|BN|=b,|AF|=|AM|=a,
若,则有|CB|=4|BF|,即|CB|=4|BN|,
又由BN∥AM,
则有|CA|=4|AM|,即有4b+a+b=4a,
变形可得=,
即=,
故选:A.
12.(5分)已知函数f(x)=ex+x2+lnx与函数g(x)=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞,﹣e] B. C.(﹣∞,﹣1] D.
【解答】解:由题意知,方程g(﹣x)﹣f(x)=0在(0,+∞)上有解,
即ex+2x2+ax﹣lnx﹣ex﹣x2=0,即x+a﹣=0在(0,+∞)上有解,
即函数y=x+a与y=在(0,+∞)上有交点,
y=的导数为y′=,
当x>e时,y′<0,函数y=递减;
当0<x<e时,y′>0,函数y=递增.
可得x=e处函数y=取得极大值,
函数y=x+a与y=在(0,+∞)上的图象如右:
当直线y=x+a与y=相切时,
切点为(1,0),可得a=0﹣1=﹣1,
由图象可得a的取值范围是(﹣∞,﹣1].
故选C.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)在△ABC中,|+|=|﹣|,||=2,则•= ﹣4
【解答】解:在△ABC中,|+|=|﹣|,
可得|+|2=|﹣|2,
即有2+2+2•=2+2﹣2•,
即为•=0,
则△ABC为直角三角形,A为直角,
则•=﹣•
=﹣||•||•cosB
=﹣||2=﹣4.
故答案为:﹣4.
14.(5分)一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 .
【解答】解:如图,
设正方体的棱长为2a,则其内切球的半径为a,
则,,
∴蜜蜂“安全飞行”的概率为P=.
故答案为:.
15.(5分)若α∈(﹣,0),sin(α+)=﹣,则= .
【解答】解:α∈(﹣,0),sin(α+)=﹣,
∴cos(α+)==,
则=
===,
故答案为:.
16.(5分)设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线分别交于点A,B,且A(m,18)在第一象限,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的实轴长为 2 .
【解答】解:根据双曲线的定义,可得|AF1|﹣|AF2|=2a,
∵△ABF2是等边三角形,即|AF2|=|AB|,
∴|BF1|=2a,
又∵|BF2|﹣|BF1|=2a,
∴|BF2|=|BF1|+2a=4a,
∵△BF1F2中,|BF1|=2a,|BF2|=4a,∠F1BF2=120°,
∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°,
即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×(﹣)=28a2,
解得c2=7a2,b2=6a2,
由双曲线的第二定义可得===,
则m=,
由A在双曲线上,可得﹣=1,
解得a=,
则2a=2.
故答案为:2.
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=3,且a2,a5,a14成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(﹣1)n﹣1anan+1,求数列{bn}的前2n项和S2n.
【解答】解:(1)设公差为d,由,得,
化简得d2=2a1d,
因为d≠0,a1=3,所以d=6,
所以an=6n﹣3.
(2)因为,
所以
﹣(36×(2n)2﹣9),
所以,
即S2n=﹣36(1+2+3+4+…+(2n﹣1)+2n)=.
18.(12分)从某校高中男生中随机选取100名学生,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图,如图所示.
(1)估计该校的100名同学的平均体重(同一组数据以该组区间的中点值作代表);
(2)若要从体重在[60,70),[70,80),[80,90]三组内的男生中,用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队,再从这6人中选2人当正副队长,求这2人中至少有1人体重在[70,80)内的概率.
【解答】解:(1)由频率分布直方图估计该校的100名同学的平均体重为:
=45×0.005×10+55×0.035×10+65×0.030×10+75×0.020×10+85×0.010×10=64.5.
(2)要从体重在[60,70),[70,80),[80,90]三组内的男生中,
用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队,
体重在[60,70)内的男生中选:6×=3人,
体重在[70,80)内的男生中选:6×=2人,
体重在[80,90]内的男生中选:6×=1人,
再从这6人中选2人当正副队长,
基本事件总数n==15,
∴这2人中至少有1人体重在[70,80)内的概率p=1﹣=.
19.(12分)如图,在三棱台ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,AC的中点,AB=2A1B1,B1E⊥平面ABC,且∠ACB=90°.
(1)求证:B1C∥平面A1DE;
(2)若AC=3BC=6,△AB1C为等边三角形,求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积.
【解答】证明:(1)∵在三棱台ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,AC的中点,AB=2A1B1,
∴DE∥BC,DBA1B1,
∴四边形DBB1A1是平行四边形,∴A1D∥BB1,
∵A1D∩DE=D,BB1∩BC=B,
A1D、DE⊂平面A1DE,BB1、BC⊂平面BCB1,
∴平面A1DE∥平面B1BC,
∵B1C⊂平面B1BC,∴B1C∥平面A1DE.
解:(2)∵AC=3BC=6,△AB1C为等边三角形,
AB=2A1B1,B1E⊥平面ABC,且∠ACB=90°.
∴AE=3,DE=1,B1E==3,∠AED=90°,
∴四棱锥A1﹣B1C1ED的体积:
=﹣
=S△ADE•B1E﹣
=
=
=
=3.
20.(12分)如图,椭圆W:+=1(a>b>0)的焦距与椭圆Ω:+y2=1的短轴长相等,且W与Ω的长轴长相等,这两个椭圆的在第一象限的交点为A,直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA(O为坐标原点)垂直,l与Ω的另一个交点为C,l与W交于M,N两点.
(1)求W的标准方程:
(2)求.
【解答】解:(1)由题意可得,
∴
故W的标准方程为.
(2)联立得
∴,
∴,
易知B(0,1),
∴l的方程为y=﹣3x+1.
联立,得37x2﹣24x=0,
∴x=0或,
∴,
联立,得31x2﹣18x﹣9=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则,,
∴,
故.
21.(12分)已知函数f(x)=x﹣lnx.
(1)若曲线y=f(x)在x=x0处的切线经过坐标原点,求x0及该切线的方程;
(2)设g(x)=(e﹣1)x,若函数F(x)=的值域为R,求实数a的取值范围.
【解答】解:(1)由已知得(x>0),
则,所以x0=e,
所以所求切线方程为.
(2)令,得x>1;令f'(x)<0,得0<x<1.
所以f(x)在(0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
所以f(x)min=f(1)=1,所以f(x)∈[1,+∞).
而g(x)=(e﹣1)x在(﹣∞,a)上单调递增,所以g(x)∈(﹣∞,(e﹣1)a).
欲使函数的值域为R,须a>0.
①当0<a≤1时,只须(e﹣1)a≥1,即,所以.
②当a>1时,f(x)∈[a﹣lna,+∞),g(x)∈(﹣∞,(e﹣1)a),
只须a﹣lna≤(e﹣1)a对一切a>1恒成立,即lna+(e﹣2)a≥0对一切a>1恒成立,
令φ(x)=lnx+(e﹣2)x(x>1),得,
所以φ(x)在(1,+∞)上为增函数,
所以φ(x)>φ(1)=e﹣2>0,所以a﹣lna≤(e﹣1)a对一切a>1恒成立.
综上所述:.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数),设l1与l2的交点为p,当k变化时,p的轨迹为曲线c1
(Ⅰ)写出C1的普通方程及参数方程;
(Ⅱ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线C2的极坐标方程为,Q为曲线C1上的动点,求点Q到C2的距离的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)将参数方程转化为一般方程,①
,②
①×②消k可得:.
即P的轨迹方程为.
C1的普通方程为.
C1的参数方程为(α为参数α≠kπ,k∈Z).
(Ⅱ)由曲线C2:,
得:,
即曲线C2的直角坐标方程为:x+y﹣8=0,
由(Ⅰ)知曲线C1与直线C2无公共点,
曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为:
,
所以当时,
d的最小值为.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知f(x)=|x+a|(a∈R).
(1)若f(x)≥|2x+3|的解集为[﹣3,﹣1],求a的值;
(2)若∀x∈R,不等式f(x)+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立,求实数a的取值范围.
【解答】解:(1)f(x)≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|,
平方整理得:3x2+(12﹣2a)x+9﹣a2≤0,
所以﹣3,﹣1是方程 3x2+(12﹣2a)x+9﹣a2=0的两根,…2分
由根与系数的关系得到…4分
解得a=0…5分
(2)因为f(x)+|x﹣a|≥|(x+a)﹣(x﹣a)|=2|a|…7分
所以要不等式f(x)+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分
当a≥0时,2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4,
当a<0时,﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在,
综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分