2018年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（文科） 17页

‎2018年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（　　）‎ A．A∩B={x|x＜1} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＜2} D．A∩B={x|﹣2＜x＜1}‎ ‎2．（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎3．（5分）向量，=（﹣1，2），则=（　　）‎ A．6 B．5 C．1 D．﹣6‎ ‎4．（5分）设a=（），b=2，c=log2，则（　　）‎ A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎5．（5分）函数的周期为（　　）‎ A．T=2π B． C．T=π D．T=4π ‎6．（5分）设命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为（　　）‎ A．∀n＞1，n2＞2n B．∃n≤1，n2≤2n C．∀n＞1，n2≤2n D．∃n＞1，n2≤2n ‎7．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上最大值为M，最小值为N，则M﹣N=（　　）‎ A．20 B．18 C．3 D．0‎ ‎8．（5分）设{an}是首项为a1，公差为﹣2的等差数列，Sn为前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1‎ ‎9．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2‎ ‎，则函数y=f（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．[﹣1，+∞） D．[﹣1，1）‎ ‎11．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．[﹣2，2]∪[4，+∞） C．[﹣2，2+] D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2）=　 　．‎ ‎14．（5分）已知三角形ABC中，D为边BC上的点，且BD=2DC，‎ ‎，则x﹣y=　 　．‎ ‎15．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=　 　．‎ ‎16．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记的{an}前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．‎ ‎18．（12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC﹣ccosA．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若a=2，△ABC的面积为，求b、c．‎ ‎19．（12分）已知函数，x∈R ‎（1）求f（x）的对称中心；‎ ‎（2）讨论f（x）在区间上的单调性．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N．‎ ‎（1）求an，bn； ‎ ‎（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=（2﹣x）ex．‎ ‎（1）求f（x）在x=0处的切线；‎ ‎（2）当x≥0时，f（x）≤ax+2，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4]参数方程与极坐标系 ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知直线 l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．‎ ‎（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5]不等式选讲 ‎23．已知a和b是任意非零实数．‎ ‎（1）求的最小值．‎ ‎（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（　　）‎ A．A∩B={x|x＜1} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＜2} D．A∩B={x|﹣2＜x＜1}‎ ‎【解答】解：集合A={x|x＜1}，‎ B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，‎ 则A∩B={x|﹣2＜x＜1}，‎ A∪B={x|x＜3}，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），∴z===1+i，‎ ‎∴|z|==，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）向量，=（﹣1，2），则=（　　）‎ A．6 B．5 C．1 D．﹣6‎ ‎【解答】解：向量，=（﹣1，2），‎ ‎=（3，0），‎ 则=6＞‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设a=（），b=2，c=log2，则（　　）‎ A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎【解答】解：∵a=（）∈（0，1），b=2＞1，c=log2＜0，‎ 则c＜a＜b．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）函数的周期为（　　）‎ A．T=2π B． C．T=π D．T=4π ‎【解答】解：∵=sin2x+cos2x=2sin（2x+），‎ ‎∴函数f（x）的周期T==π．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）设命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为（　　）‎ A．∀n＞1，n2＞2n B．∃n≤1，n2≤2n C．∀n＞1，n2≤2n D．∃n＞1，n2≤2n ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，‎ 所以命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为∀n＞1，n2≤2n．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上最大值为M，最小值为N，则M﹣N=（　　）‎ A．20 B．18 C．3 D．0‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x﹣1的导数为f′（x）=3x2﹣3，‎ 令f′（x）=0，解得x=±1，‎ 所以1，﹣1为函数f（x）的极值点．‎ 因为f（﹣3）=﹣19，f（﹣1）=1，f（1）=﹣3，f（2）=1，‎ 所以在区间[﹣3，2]上，M=f（x）max=1，N=f（x）min=﹣19，‎ 对于区间[﹣3，2]上最大值为M，最小值为N，则M﹣N=20，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设{an}是首项为a1，公差为﹣2的等差数列，Sn为前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1‎ ‎【解答】解：an=a1﹣2（n﹣1），‎ S1=a1，S2=2a1﹣2，S4=4a1﹣12，‎ ‎∵S1，S2，S4成等比数列，‎ ‎∴=a1（4a1﹣12），‎ 解得a1=﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；‎ 当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；‎ 当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，‎ 在正△AED中，AE=ED=DA=1，‎ ‎∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．‎ 又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．‎ 故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．[﹣1，+∞） D．[﹣1，1）‎ ‎【解答】解：由﹣x2﹣2x+3＞0，‎ 解得：﹣3＜x＜1，‎ 而y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，‎ 故y=﹣x2﹣2x+3在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，‎ 由y=lnx递增，根据复合函数同增异减的原则，‎ 得f（x）在（﹣3，﹣1）递增，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【解答】解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，‎ 假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．[﹣2，2]∪[4，+∞） C．[﹣2，2+] D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）‎ ‎【解答】解：令f（m）=t⇒f（t）≥0⇒⇒﹣1≤t≤1；‎ ‎⇒t≥3‎ 下面求解﹣1≤f（m）≤1和f（m）≥3，‎ ‎⇒﹣2≤m≤1，‎ ‎⇒1＜m≤2+，‎ ‎⇒m无解，‎ ‎⇒m≥4，‎ 综上实数m的取值范围是[﹣2，2+]∪[4，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2）=　﹣　．‎ ‎【解答】解：函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，‎ 可得f（﹣x）=﹣f（x），‎ 即有f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（22+）=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知三角形ABC中，D为边BC上的点，且BD=2DC，，则x﹣y=　﹣　．‎ ‎【解答】解：∵BD=2DC，‎ ‎∴==﹣，‎ ‎∴=+=+．‎ ‎∴x=，y=．‎ ‎∴x﹣y=﹣．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=　　．‎ ‎【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，‎ ‎∴a=‎ ‎∵b+c=2a，‎ ‎∴c=‎ ‎∴cosC==﹣‎ ‎∵C∈（0，π）‎ ‎∴C=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是　　．‎ ‎【解答】解：∵函数，‎ f（﹣x）===f（x），‎ 故函数为偶函数，‎ 当x＞0时，‎ ‎=＞0恒成立 函数为增函数，‎ 若使得f（x）＞f（2x﹣1）成立，‎ 则|x|＞|2x﹣1|，即x2＞（2x﹣1）2，‎ 解得：x∈，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记的{an}前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，设数列{an} 的公差为d，‎ 由题意知，‎ 解得a1=2，d=2，‎ 则an=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n；‎ ‎（2）由（1）可得a1=2，an=2n，‎ 则Sn==n2+n=n（n+1），‎ 若a1，ak，Sk+2成等比数列，‎ 则有（ak）2=2（k+2）（k+3），‎ 即4k2=2k2+10k+12，‎ 变形可得：k2﹣5k﹣6=0，‎ 解可得k=6或k=﹣1（舍）；‎ 故k=6．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC﹣ccosA．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若a=2，△ABC的面积为，求b、c．‎ ‎【解答】解：（1）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC﹣ccosA由正弦定理得，‎ sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，‎ 由于：sinC≠0，‎ 所以：．‎ 即：，‎ 由于：0＜A＜π，‎ 解得：A=．‎ ‎（2）因为△ABC的面积为，‎ 所以：①，‎ 所以bc=4；在△ABC中，应用余弦定理知，‎ a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ ‎，所以b2+c2=8②；‎ 联立①②两式可得，b=c=2．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知函数，x∈R ‎（1）求f（x）的对称中心；‎ ‎（2）讨论f（x）在区间上的单调性．‎ ‎【解答】解：（1）由已知，‎ 所以：‎ 令，‎ 得 对称中心为，k∈Z ‎（2）令，（k∈Z）‎ 解得：，（k∈Z）‎ 所以：单调递增区间为 令，k∈Z 得，k∈Z 增区间为，‎ 上的增区间为，‎ 减区间为．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N．‎ ‎（1）求an，bn； ‎ ‎（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）由可得，当n=1时，a1=S1=3，‎ 当n≥2时，，‎ 而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，‎ 故an=4n﹣1，‎ 又∵an=4log2bn+3=4n﹣1，‎ ‎∴ …（6分）‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]‎ ‎=（4n﹣5）•2n+5．…（12分）‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=（2﹣x）ex．‎ ‎（1）求f（x）在x=0处的切线；‎ ‎（2）当x≥0时，f（x）≤ax+2，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）f'（x）=（1﹣x）ex，f'（0）=1，f（0）=2，切线的斜率为：1，切点坐标（0，2），‎ 所以切线方程y﹣2=x，即y=x+2．‎ ‎（2）g（x）=ax+2﹣（2﹣x）ex，g'（x）=a+（x﹣1）ex ‎∵（g'（x））'=xexk≥0且仅有x=0，（g'（x））'=0，‎ ‎∴g'（x）在[0，+∞）单调递增，‎ ‎∴g'（x）≥g'（0）=a﹣1，‎ ‎（i）a≥1时，g'（x）≥g'（0）=a﹣1≥0g（x）在[0，+∞）单调递增，g（x）≥g（0）=0满足题意，‎ ‎（ii）0＜a＜1时，g'（0）=a﹣1＜0，g'（1）=a＞0，‎ 而g'（x）连续且递增，所以存在唯一x0∈（0，1）使g'（x0）=0∀x∈[0，x0），‎ g'（x）＜0，在[0，x0）上g（x）单调递减，‎ 取x1∈（0，x0），则g（x1）＜g（0）=0，不合题意．‎ ‎（iii）a≤0时，g'（0）=a﹣1＜0，g'（1）=a≤0，‎ 而g'（x）连续且递增，∀x∈[0，1），g'（x）＜0在[0，1）上g（x）单调递减，‎ 取x1∈（0，1），则g（x1）＜g（0）=0，不合题意，‎ 综上所述，a≥1．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4]参数方程与极坐标系 ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．已知直线 l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．‎ ‎（Ⅰ）试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：，‎ 设θ为参数，令x=cosθ，y=2sinθ，‎ 则曲线C1的参数方程为（θ为参数）；‎ 又直线 l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6，‎ 即2ρcosθ﹣ρsinθ﹣6=0，‎ 化为直角坐标方程是2x﹣y﹣6=0；‎ ‎（Ⅱ）在曲线C1上求一点P，设P（cosθ，2sinθ），‎ 则P到直线l的距离为d==，‎ ‎∴cos（θ+）=﹣1，即P（﹣，1）时，‎ 点P到直线l的距离最大，最大值为=2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5]不等式选讲 ‎23．已知a和b是任意非零实数．‎ ‎（1）求的最小值．‎ ‎（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵≥==4，‎ 故的最小值为4．‎ ‎（2）若不等式|2a+b|+|2a﹣b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，‎ ‎ 即|2+x|+|2﹣x|≤ 恒成立，故|2+x|+|2﹣x|不大于 的最小值．（4分）‎ 由（1）可知，的最小值为4，当且仅当（2a+b）（2a﹣b）≥0时取等号，‎ ‎∴ 的最小值等于4．（8分）‎ ‎∴x的范围即为不等式|2+x|+|2﹣x|≤4的解集．‎ 解不等式得﹣2≤x≤2，故实数x的取值范围为[﹣2，2]． （10分）‎ ‎　‎