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  • 2021-06-24 发布

2020高考数学二轮复习练习:第一部分 小题专题练 小题专题练(五) 解析几何含解析

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小题专题练(五) 解析几何 一、选择题 ‎1.(2019·福建省质量检查)已知双曲线C的中心在坐标原点,一个焦点(,0)到渐近线的距离等于2,则C的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x ‎2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为12,则C的方程为(  )‎ A.+y2=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎3.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为(  )‎ A.2x+y-5=0 B.2x+y-7=0‎ C.x-2y-5=0 D.x-2y-7=0‎ ‎4.(2019·石家庄市模拟(一))已知圆C截两坐标轴所得的弦长相等,且圆C过点(-1,0)和(2,3),则圆C的半径为(  )‎ A.8 B.2 C.5 D. ‎5.(2019·重庆市七校联合考试)两圆x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-8=0相交于两点M,N,则线段MN的长为(  )‎ A. B.4‎ C. D. ‎6.直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是(  )‎ A.y2=-12x B.y2=-8x C.y2=-6x D.y2=-4x ‎7.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点E是椭圆C上的动点,则·的最大值、最小值分别为(  )‎ A.9,7 B.8,7‎ C.9,8 D.17,8‎ ‎8.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=(  )‎ A. B. C. D. ‎9.(2019·唐山市摸底考试)已知F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A,若AF1⊥AF2,S△F1AF2=2,则椭圆C的方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎10.如图,抛物线E:x2=4y与M:x2+(y-1)2=16交于A,B两点,点P为劣弧上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N,则△PMN的周长的取值范围是(  )‎ A.(6,12) B.(8,10) ‎ C.(6,10) D.(8,12)‎ ‎11.(多选)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆+=1有相同的焦距,且一条渐近线方程为x-2y=0,则双曲线C的方程可能为(  )‎ A.-y2=1 B.x2-=1‎ C.-x2=1 D.y2-=1‎ ‎12.(多选)已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,点P是其一条渐近线上一点,且以线段F1F2为直径的圆经过点P,则(  )‎ A.双曲线C的渐近线方程为y=±x B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1‎ C.点P的横坐标为±1‎ D.△PF1F2的面积为 ‎13.(多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直于l且交l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则(  )‎ A.∠FQP=60° B.|QM|=1‎ C.|FP|=4 D.|FR|=4‎ 二、填空题 ‎14.已知圆C1:x2+(y-2)2=4,抛物线C2:y2=2px(p>0),C1与C2相交于A,B两点,|AB|=,则抛物线C2的方程为____________.‎ ‎15.(2019·江西七校第一次联考)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=________.‎ ‎16.如图,椭圆C:+=1(a>2),圆O:x2+y2=a2+4,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M,N两点,若|PF1|·|PF2|=6,则|PM|·|PN|的值为________.‎ ‎17.已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为________;双曲线N的离心率为________.‎ ‎ ‎ 小题专题练(五) 解析几何 ‎1.解析:选D.设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),则由题意,得c=.双曲线C的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,所以=2,又c2=a2+b2=5,所以b=2,所以a==1,所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x,故选D.‎ ‎2.解析:选D.由椭圆的定义,知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,所以△AF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=12,所以a=3.因为椭圆的离心率e==,所以c=2,所以b2=a2-c2=5,所以椭圆C的方程为+=1,故选D.‎ ‎3.解析:选B.因为过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,所以点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2上,‎ 因为圆心与切点连线的斜率k==,所以切线的斜率为-2,‎ 则圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.故选B.‎ ‎4.解析:选D.通解: 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为圆C经过点(‎ ‎-1,0)和(2,3),所以,所以a+b-2=0 ①,又圆C截两坐标轴所得的弦长相等,所以|a|=|b| ②,由①②得a=b=1,所以圆C的半径为,故选D.‎ 优解: 因为圆C经过点M(-1,0)和N(2,3),所以圆心C在线段MN的垂直平分线y=-x+2上,又圆C截两坐标轴所得的弦长相等,所以圆心C到两坐标的距离相等,所以圆心C在直线y=±x上,因为直线y=-x和直线y=-x+2平行,所以圆心C为直线y=x和直线y=-x+2的交点(1,1),所以圆C的半径为,故选D.‎ ‎5.解析:选D.两圆方程相减,得直线MN的方程为x-2y+4=0,圆x2+y2+2x-8=0的标准形式为(x+1)2+y2=9,所以圆x2+y2+2x-8=0的圆心为(-1,0).半径为3,圆心(-1,0)到直线MN的距离d=,所以线段MN的长为2 =.故选D.‎ ‎6.解析:选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知|AB|=-(x1+x2)+p=8.又AB的中点到y轴的距离为2,所以-=2,所以x1+x2=-4,所以p=4,所以所求抛物线的方程为y2=-8x.故选B.‎ ‎7.解析:选B.由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0),设E(x,y)(-3≤x≤3),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以·=x2-1+y2=x2-1+8-x2=+7,所以当x=0时,·有最小值7,当x=±3时,·有最大值8,故选B.‎ ‎8.解析:选D.设抛物线C:y2=8x的准线为l,易知l:x=-2,‎ 直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),‎ 如图,过A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,‎ 所以点B为线段AP的中点,连接OB,‎ 则|OB|=|AF|,所以|OB|=|BF|,所以点B的横坐标为1,因为k>0,所以点B的坐标为(1,2),所以k==.故选D.‎ ‎9.解析:选A.因为点A在椭圆上,所以|AF1|+|AF2|=2a,对其平方,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=4a2,又AF1⊥AF2,所以|AF1|2+|AF2|2=4c2,则2|AF1||AF2|=4a2-4c2=4b2,即|AF1|·|AF2|=2b2,所以S△AF1F2=|AF1||AF2|=b2=2.又△AF1F2是直角三角形,∠F1AF2=90°,且O为F1F2的中点,所以|OA|=|F1F2|=c,由已知不妨设A点在第一象限,则∠AOF2=30°,所以A(c,c),则S△AF1F2=|F1F2|·c=c2=2,c2=4,故a2=b2+c2=6,所以椭圆方程为 ‎+=1,故选A.‎ ‎10.解析:选B.由题意可得,抛物线E的焦点为(0,1),圆M的圆心为(0,1),半径为4,所以圆心M(0,1)为抛物线的焦点,故|NM|等于点N到准线y=-1的距离,又PN∥y轴,故|PN|+|NM|等于点P到准线y=-1的距离,由,得y=3,又点P为劣弧上不同于A,B的一个动点,所以点P到准线y=-1的距离的取值范围是(4,6),又|PM|=4,所以△PMN的周长的取值范围是(8,10),选B.‎ ‎11.解析:选AD.在椭圆+=1中,c==.因为双曲线C与椭圆+=1有相同的焦距,且一条渐近线方程为x-2y=0,所以可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),化为标准方程为-=1.当λ>0时,c==,解得λ=1,所以双曲线C的方程为-y2=1;当λ<0时,c==,解得λ=-1,所以双曲线C的方程为y2-=1.综上,双曲线C的方程为-y2=1或y2-=1,故选AD.‎ ‎12.解析:选ACD.等轴双曲线C:y2-x2=1的渐近线方程为y=±x,故A正确.由双曲线的方程可知|F1F2|=2,所以以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误.点P(x0,y0)在圆x2+y2=2上,不妨设点P(x0,y0)在直线y=x上,所以解得|x0|=1,则点P的横坐标为±1,故C正确.由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1=,故D正确.故选ACD.‎ ‎13.解析:选AC.如图,连接FQ,FM,因为M,N分别为PQ,PF的中点,所以MN∥FQ.又PQ∥x轴,∠NRF=60°,所以∠FQP=60°.由抛物线定义知,|PQ|=|PF|,所以△FQP为等边三角形,则FM⊥PQ,|QM|=2,等边三角形FQP的边长为4,|FP|=|PQ|=4,|FN|=|PF|=2,则△FRN为等边三角形,所以|FR|=2.故选AC.‎ ‎14.解析:由题意,知圆C1与抛物线C2的一个交点为原点,不妨记为B,设A(m,n).因为|AB|=,所以解得即A.将点A的坐标代入抛物线方程得=2p×,所以p=,所以抛物线C2的方程为y2=x.‎ 答案:y2=x ‎15.解析:化双曲线的方程为-=1,则a=b=,c=2,因为|PF1|=2|PF2|,所以点P在双曲线的右支上,则由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a=2,解得|PF1|=4,|PF2|=2,根据余弦定理得cos∠F1PF2==.‎ 答案: ‎16.解析:由已知|PM|·|PN|=(R-|OP|)(R+|OP|)=R2-|OP|2=a2+4-|OP|2,|OP|2=||2=(+)2=(||2+||2+2||||cos∠F1PF2)=(||2+||2)-(||2+||2-2||||cos∠F1PF2)=[(2a)2-2|PF1||PF2|]-×(2c)2=a2-2,所以|PM|·|PN|=(a2+4)-(a2-2)=6.‎ 答案:6‎ ‎17.解析:如图,六边形ABF1CDF2为正六边形,直线OA,OB是双曲线的渐近线,则△AOF2是正三角形.所以直线OA的倾斜角为,‎ 所以其斜率k==,所以双曲线N的离心率e1===2.连接F1A.因为正六边形的边长为c,所以|F1A|=c.由椭圆定义得|F1A|+|F2A|=2a,即c+c=2a,‎ 所以椭圆M的离心率e2===-1.‎ 答案:-1 2‎