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- 2021-06-24 发布
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课时作业82 不等式的证明
一、填空题
1．设a>b>0，m＝－，n＝，则m与n的大小关系是________．
解析：∵a>b>0，∴m＝－>0，n＝>0.
∵m2－n2＝(a＋b－2)－(a－b)
＝2b－2＝2(－)<0，
∴m2”、“<”、“＝”)．
解析：x2＝(＋)2＝(a＋b＋2)，
y2＝a＋b＝(a＋b＋a＋b)≥(a＋b＋2)>(a＋b＋2)．又x>0，y>0，∴y>x.
答案：>
3．已知a、b、c、d均为正数，且a2＋b2＝4，cd＝1，则(a2c2＋b2d2)(b2c2＋a2d2)的最小值为________．
解析：(a2c2＋b2d2)(b2c2＋a2d2)＝(a2c2＋b2d2)·(a2d2＋b2c2)≥(a2cd＋b2cd)2＝(a2＋b2)2＝42＝16.
答案：16
4．若a，b均为正实数，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系为________．
解析：∵a≠b，∴＋>2，＋>2，
∴＋＋＋>2＋2，
∴＋>＋.即M>N.
答案：M>N
5．若直线3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为________，最小值点为________．
解析：由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，
得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.
当且仅当＝时等号成立，为求最小值点，
需解方程组∴
因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为.
答案：
6．记S＝＋＋＋…＋，则S与1的大小关系是________．
解析：∵<，<，…，
＝<，
∴S＝＋＋＋…＋<＋＋…＋＝1.
答案：S<1
7．若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是________．
解析：∵1＝x＋2y＋4z≤·，
∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，
即x＝，y＝，z＝时x2＋y2＋z2的最小值为.
答案：
8．以下三个命题：①若|a－b|<1，则|a|<|b|＋1；②若a、b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|<2，|y|>3，则||<，其中正确命题的序号是________．
解析：①|a|－|b|≤|a－b|<1，所以|a|<|b|＋1；
②|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|，
所以|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
③|x|<2，|y|>3，所以<，因此<.
∴①②③均正确．
答案：①②③
9．若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
解析：由柯西不等式可得(3a＋2＋3b＋2＋3c＋2)
≥(＋＋)2，即
9≥9，所以＋＋≥1(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
答案：1
二、解答题
10．(1)设x，y是不全为零的实数，试比较2x2＋y2与x2＋xy的大小；
(2)设a，b，c为正数，且a2＋b2＋c2＝1，求证：＋＋－≥3.
解：(1)解法1：2x2＋y2－(x2＋xy)＝x2＋y2－xy＝2＋y2.
∵x，y是不全为零的实数，
∴2＋y2>0，即2x2＋y2>x2＋xy.
解法2：当xy<0时，x2＋xy<2x2＋y2；
当xy>0时，作差：x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy>0；
又x，y是不全为零的实数，
∴当xy＝0时，2x2＋y2>x2＋xy.
综上，2x2＋y2>x2＋xy.
(2)证明：当a＝b＝c时，取得等号3.
作差比较：＋＋－－3
＝＋＋－－3
＝a2＋b2＋c2－2
＝a22＋b22＋c22>0.
∴＋＋－≥3.
11．已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集为M.
(1)求M；
(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|<|4＋ab|.
解：(1)f(x)<4，即|x＋1|＋|x－1|<4，
当x≤－1时，－x－1＋1－x<4，得x>－2，
∴－20,4－b2>0，
∴(4－a2)(4－b2)>0，即16－4a2－4b2＋a2b2>0，
也就是4a2＋4b2<16＋a2b2，
∴4a2＋8ab＋4b2<16＋8ab＋a2b2，
即(2a＋2b)2<(4＋ab)2，即2|a＋b|<|4＋ab|.
1．设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.
(1)证明：<；
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．
解：(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|
＝
由－2<－2x－1<0，解得－0，
所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|.
2．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c大于0，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
解：(1)∵f(x＋2)＝m－|x|，
∴f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.
由|x|≤m有解，得m≥0且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
(2)证明：由(1)知＋＋＝1，且a，b，c大于0，
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)，
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝2b＝3c＝时，等号成立．因此a＋2b＋3c≥9.
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