四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期末考试数学（理）答案 5页

答案第 1页，总 5页 高一下期末理科数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A D B D A C B C B 13. 3 14． 4 15. 28 16．11 17．解：（1）设等比数列 na 的公比为q，-------------------1 分 由已知， 2 1 1 1 16, 12a a q a q a q    ---------------------------------2 分 两式相除，得 2q  .------------------------------3 分 所以 1 2a  ，--------------------------------4 分 所以数列 na 的通项公式 2n na  .----------------------5 分 （2）设等差数列 nb 的公差为 d ，----------------------6 分 则 1 14, 3 16b d b d    ------------------------------------------7 分 解得 1 2, 6b d   ---------------------------------------------8 分      1 2 3 4 100 1 2 3 4 99 100b b b b b b b b b b b             50 300d    ---------------------------------------------------------------------10 分 18．解：（1） 3 4tan  ，又 、 为锐角， 由 2 2 sinsin cos 1,tan cos       得： 4sin 5 3cos 5       ，---------------3 分 2 2 7cos2 cos sin 25        ；----------------------6 分 （2）由（1）得， 24sin 2 2sin cos 25     ，则 sin 2 24tan 2 cos2 7     ． 又 ， (0, )2   ， (0, )     ，-----------------------7 分 2 2 5sin( ) 1 cos ( ) 5          ．---------------------------8 分 则 sin( )tan( ) 2cos( )          ．-------------------------------------9 分 答案第 2页，总 5页 O tan 2 tan( ) 2tan( ) tan[2 ( )] 1 tan 2 tan( ) 11                     ------------------------12 分 19．解：（1）点  , nn S n   均在二次函数   23 2f x x x  的图象上，  23 2nS n n  ．----------------------1 分 当 2n  时，    22 1 3 2 3 1 2 1 6 5n n na S S n n n n n             ；--------3 分 当 1n  时， 2 1 1 3 1 2 1 1a S      ，满足上式．（5 分）-------------5 分 数列 na 的通项公式是 6 5na n  ．-------------------------------6 分 （2） 6 5na n  ，    1 3 3 1 1 1 6 5 6 1 2 6 5 6 1n n n b a a n n n n           ．----------------8 分  1 2 3n nb b b b      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 7 2 7 13 2 13 19 2 6 5 6 1n n                                ----------9 分 1 1 1 1 1 1 1 112 7 7 13 13 19 6 5 6 1n n              ---------------10 分 1 112 6 1n      3 6 1 n n   ．-----------------------12 分 20.解：（1）设 1A B 与 1AB 交于O ，连接OD ，---------2 分 在平行四边形 1 1ABB A 中，O 为 1AB 中点， D 为 AC 中点，所以 1//OD B C ，---------4 分 OD  平面 1A BD ，因 1B C  平面 1A BD ，所以 1 //B C 平面 1A BD ；-------------6 分 （2）因为 AB BC ， D 为 AC 中点，所以 BD AC ． 在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1C C  平面 ABC ， BD  平面 ABC ，所以 1BD C C ．---------------------------8 分 又 BD AC ， 1AC C C C ，所以 BD  平面 1 1ACC A ． 答案第 3页，总 5页 因为 1AC  平面 1 1ACC A ，所以 1BD AC ，--------------10 分 又 1 1A D AC ， 1A D BD D  ，所以 1AC  平面 1A BD ．------------11 分 又 1AC  平面 1 1ABC ，所以平面 1 1AB C  平面 1A BD ．--------------12 分 21.解：在 ABC 中， A B C    ， 0 A   ，sin 0A  ，因为 5cos 5A  ， 得 2 2 5 2 5sin 1 cos 1 5 5A A          ①．-----------------1 分 （1）因为    5 cos sin sin sin sin cos cos sinC B A C A C A C A C          ， 所以 5 2 55 cos cos sin5 5C C C  ．所以sin 3cosC C ②．--------3 分 如果 cos 0C  ，则sin 0C  与 2 2sin cos 1C C  ③矛盾，所以 cos 0C  ．-------4 分 所以 sintan 3cos CC C   ．-------------------------------------------------6 分 （2）因为 0 C   ，由 tan 3 0C   ，得 0 2C   ，则sin 0C  ， cos 0C  ． 将（1）中②代入（1）中③解得： 3 10sin 10C  ， 10cos 10C  ． 于是 10 2sin 5 cos 5 10 2B C    ．-----------------------8 分 将 2 2a  及（1）①代入正弦定理 sin sin a c A C  ， 2 2 2 5 3 10 5 10 c ，得 3c  ．-----10 分 所以 ABC 的面积 1 1 2sin 2 2 3 32 2 2S ac B      ．---------------12 分 22.(1)△ 은Ꮚ 的周长为 2．这容易推出 은Ꮚ = 은 + Ꮚ ． 设∠ 은 = ，∠ Ꮚ = ．则 은 = tan ， Ꮚ = tan ． 且 은 = ൌ tan ， Ꮚ = ൌ tan ． 은Ꮚ = tan + tan ．---------2 分 由勾股定理， ൌ tan + ൌ tan = tan + tan ． 展开整理得， tan tan = tan tan ，---------------4 分 答案第 4页，总 5页 变形得 tan +tan ൌtantan = ൌ ，即 tan + = ൌ ．--------------5 分 因 + 为锐角， + = ⻠ऒ ，∠ Ꮚ은 = ⻠ऒ = ⻠ऒ ．--------6 分 （ ） △ 은Ꮚ = ൌ Ꮚ 은ݏ⻠ऒ = ൌ cos cos （ 接 下 来 也 可 直 接 积 化 和 差 ） ---------------------------------------------------------8 分 而 cos cos = cos cos ⻠ऒ = cos + cos sin cos cos = ൌ + cos + sin = ൌ + cos ⻠ऒ --------ൌ 分 当 = ऒऒ 时，上式有最大值 ൌ + ，----------------11 分 此时， △ 은Ꮚ = ൌ ൌ+ cos ⻠ऒ 有最小值 ൌ ．-----------------------12 分 另解：下面的方法供大家可以参考 （1） △ 은Ꮚ 的周长为 2．这容易推出 은Ꮚ = 은 + Ꮚ ． 设 은 = ， Ꮚ = ， 은 = ൌ ， Ꮚ = ൌ ． 은Ꮚ = + ． 由勾股定理， ൌ + ൌ = + ． 展开整理得， + + = ൌ ．这也可写成 + ൌ + ൌ = ． 在△ 은Ꮚ 中应用余弦定理， 은Ꮚ = Ꮚ + 은 Ꮚ 은 cos ∠ Ꮚ은 ． 即， + = ൌ + + ൌ + ൌ + ൌ + cos ∠ Ꮚ은 ． 化简得 cos ∠ Ꮚ은 = ൌ ൌ+ ൌ+ ．注意到 ൌ + = + + + = + ൌ + ൌ + = + + + = + ൌ + 所以 ൌ + ൌ + = + ൌ + ൌ + = ൌ cos ∠ Ꮚ은 = ൌ ൌ+ ൌ+ = ൌ ，又由于∠ Ꮚ은 是锐角，∠ Ꮚ은 = ⻠ऒ ． （2） △ 은Ꮚ = ൌ Ꮚ 은ݏ⻠ऒ = ൌ ൌ + ൌ + = ൌ ൌ ， 由基本不等式， ൌ = + ，配方得 ൌ + ， 所以 ൌ + ， ， △ 은Ꮚ ൌ ． 当且仅当 = = ൌ 时，等号成立， △ 은Ꮚ 取得最小值 ൌ ． 纯几何法： （1） △ 은Ꮚ 的周长为 2．这容易推出 은Ꮚ = 은 + Ꮚ ． 答案第 5页，总 5页 在 延长线上截取 은' = 은 ．连接 은' ．则有 은Ꮚ = 은'Ꮚ ． 容易证明 ∆은'=∆은 ，进而 은 = 은' ．∠ 은은 ' = ． 所以 ∆Ꮚ은'=∆Ꮚ은 ． Ꮚ 平分∠ 은은 ' ．∠ Ꮚ은 = ⻠ऒ ． （2） 连接 ，交 은 、 Ꮚ 于 、 ．连接 Ꮚ 、 은 交于 ． 由∠ Ꮚ은 = ∠ Ꮚ ，得 Ꮚ 共圆，则∠ Ꮚ = ൌ⻠ ° ∠ Ꮚ = °． △ Ꮚ 是等腰 △， Ꮚ = ，同理△ 은 是等腰 △， 은 = ．还 可推得∠ Ꮚ = ⻠ऒ ， 四边形 은Ꮚ = ൌ Ꮚ 은ݏ⻠ऒ = ൌ ݏ⻠ऒ = △ △ 은Ꮚ = △ 在 上取点 ，使得 平分∠ ，进而 平分∠ ． △ △ = = = △ △ 进而 △ ऒऒ △ = △ △ △ = △ + △ △ + △ = = 所以 △ 은Ꮚ = △ = + ൌ = ൌ ൌ + ൌ由于垂线段最短， 有最小值 ，所以 △ 은Ꮚ 有最小值 ൌ ．