福建省漳州市2020届高三下学期（线上）适应性测试数学（文科）试题 Word版含解析 22页

www.ks5u.com 漳州市2020届高中毕业班高考适应性测试 一、选择题 ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由全集U以及A和A的补集，然后根据交集定义得到结果.‎ ‎【详解】‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了集合的交并补运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎2.已知复数z=2+i，则 A. B. C. 3 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.‎ ‎【详解】∵ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题..‎ ‎3.已知非零向量，满足 ，且 ，则与的夹角为( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量数量积定义以及向量垂直表示化简条件，解得夹角.‎ ‎【详解】由已知可得，设的夹角为，则有 - 22 -‎ ‎，又因为，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积定义以及向量垂直表示，考查基本求解能力.‎ ‎4.已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和，，则的值为（ ）‎ A. -100 B. -90 C. 90 D. 110‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过是与的等比中项，用基本量表示等量关系，结合公差为-2，可解得，利用等差数列的前n项和公式，即得解.‎ ‎【详解】因为是与的等比中项，所以 ‎，又d=-2，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了等差等比数列的性质，通项公式，求和公式，考查了学生概念理解，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎5.某公司决定利用随机数表对今年新招聘的800名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程度，先将这800名员工进行编号，编号分别为001，002，…，799，800，从中抽取80名进行调查，下图提供随机数表的第4行到第6行 ‎32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42‎ ‎84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04‎ ‎32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 43 77 89 23 45‎ 若从表中第5行第6列开始向右依次读取3个数据，则抽到第5名员工的编号是（ ）‎ A. 007 B. 253 C. 328 D. 736‎ ‎【答案】A - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机数的定义，以及随机数表的读法，即得解.‎ ‎【详解】根据随机数的定义，以及随机数表的读法，前5名员工的编号是：‎ ‎253，313，457，736，007‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了随机数的定义，以及随机数表的读法，考查了学生概念理解，数据处理的能力，属于基础题.‎ ‎6.已知双曲线的离心率为，一条渐近线为l，抛物线的焦点为F，点P为直线l与抛物线异于原点的交点，则（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知双曲线的离心率为，得到，从而可得一条渐近线的方程，求出P，F坐标，即可得出.‎ ‎【详解】因为双曲线的离心率为，‎ 故一条渐近线方程为：，代入，可得 故选：D ‎【点睛】本题考查了双曲线与抛物线综合，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎7.函数y=sin2x的图象可能是 - 22 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.‎ 详解：令， ‎ 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;‎ 因为时，，所以排除选项C，选D.‎ 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎8.已知，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 将两边同时平方，利用商数关系将正弦和余弦化为正切，通过解方程求出，再利用二倍角的正切公式即可求出.‎ ‎【详解】再同时除以，整理得 故或，代入，得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方关系，商数关系，属于基础题.‎ ‎9.若，则， ， ， 的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，所以，‎ 因为，，所以,.‎ 综上；故选D.‎ ‎10.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数，若，则在区间上可以用二次函数来近似代替，其中，‎ - 22 -‎ ‎，若令，请依据上述算法，估算的近似值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设函数，由题意，在区间上可以用二次函数来近似代替，取即可.‎ ‎【详解】函数,取 故：‎ 即 故选:D ‎【点睛】本题考查了斜率公式，考查了学生阅读理解，综合分析，数学运算能力，属于较难题.‎ ‎11.在中，D是边AC上的点，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中条件，在中，由余弦定理求得，利用同角关系求得，再由正弦定理得，即得解.‎ - 22 -‎ ‎【详解】‎ 设由题意可得，‎ 中，由余弦定理得：‎ 由正弦定理得：‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了解三角形的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎12.已知正四棱柱的底面边长为1，高为2，M为的中点，过M作平面，使得平面平面，若平面把分成的两个几何体中，体积较小的几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面平面，找到平面与各条棱的交点，即为平面，利用题设中的长度关系，可求得体积.‎ - 22 -‎ ‎【详解】‎ 取的中点G，中点N，中点Q，连接AC，BD交于O点，并且连接MG，MN，GN，NQ，，‎ 故，又在正四棱柱中，‎ 又平面平面 平面，同理平面 平面平面 平面即为平面，体积较小的几何体为三棱锥 由题意：‎ 所以三棱锥的体积为：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了立体几何中的截面问题，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于较难题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.若曲线上存在不同的两点关于直线对称，则________．‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线上存在不同的两点关于直线对称，因此直线过圆心，代入即得解.‎ - 22 -‎ ‎【详解】为圆的一般方程，且圆心为：，‎ 曲线上存在不同的两点关于直线对称，因此直线过圆心，‎ 即：‎ 故答案为：-4‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及圆的对称性，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎14.若函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则当时，________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数是定义在R上的偶函数，且，得到，即，代入即得解.‎ ‎【详解】由于 且函数是定义在R上的偶函数，所以 当时，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性与对称性的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎15.如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成，若在这个几何体内任取一点，则该点取自圆锥内的概率为________．‎ - 22 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原出组合体，分别求出圆锥和圆柱部分的体积，由测度比为体积的几何概型得到概率.‎ ‎【详解】由三视图可得几何体的体积：‎ 若在这个几何体内任取一点，则该点取自圆锥内的概率为：‎ ‎【点睛】本题考查了三视图和概率综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎16.已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数及其关于对称的曲线的简图，根据图像，分别过P，Q作 - 22 -‎ 的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小，利用相切求得切点坐标，即得解．‎ ‎【详解】,‎ 函数在单调递增，单调递减.‎ 它的图像及关于直线对称的图像如图所示：‎ 分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小.‎ 令，又P在y轴右侧，；‎ 根据两条曲线的对称性，且P，Q处的切线斜率相等，点Q为点关于对称的点，可求得 因此PQ中点坐标为：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数综合，考查了函数的对称性，单调性综合应用，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于难题．‎ 三、解答题： ‎ - 22 -‎ ‎17.已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.‎ ‎(1)求和的通项公式； ‎ ‎(2)求数列{}的前n项和 .‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和 试题解析：（1）∵，∴当时，.‎ 当时，.‎ ‎∵时，满足上式，∴.‎ 又∵，∴，解得：.‎ 故，，.‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴①‎ ‎②‎ 由①-②得：‎ ‎∴，.‎ 考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和 - 22 -‎ ‎【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和 ‎18.如图，三棱柱的底面是正三角形，底面，M为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，且沿侧棱展开三棱柱的侧面，得到的侧面展开图的对角线长为，求作点在平面内的射影H，请说明作法和理由，并求线段AH的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）作法见解析，理由见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结，交于点O，连结OM，先证明，进而得证；‎ ‎（2）过作于H，通过证明平面，可得证；在中，由射影定理，有，可计算得AH.‎ ‎【详解】（1）如图，‎ - 22 -‎ 连结，交于点O，连结OM．‎ 因为三棱柱的侧面是平行四边形，所以O为中点，‎ 因为M为的中点，所以．‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）过作于H，‎ 因为平面，平面，所以，‎ 因为是正三角形，M为的中点，‎ 所以，又，平面，‎ 所以平面，又平面，所以，‎ 又因为，平面，‎ 所以平面于H，‎ 所以H为点在平面内的射影．‎ 因为三棱柱侧面展开图是矩形，‎ 且对角线长为，侧棱，‎ 所以三棱柱底面周长为．‎ 又因为三棱柱底面是正三角形，‎ 所以底面边长，‎ 在中，，‎ - 22 -‎ 由射影定理，有，‎ 即，所以．‎ ‎【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，转化与划归，逻辑推理，数学运算的能力，属于较难题.‎ ‎19.某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率利润保费收入）的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；‎ ‎（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量为（万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据：‎ 元 ‎25‎ ‎30‎ ‎38‎ ‎45‎ ‎52‎ 销量为（万份）‎ ‎7.5‎ ‎7.1‎ ‎6.0‎ ‎5.6‎ ‎4.8‎ 由上表，知与有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为．‎ ‎（ⅰ）求参数的值；‎ ‎（ⅱ）若把回归方程当作与的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入每份保单的保费销量．‎ ‎【答案】（1）;（2）（ⅰ）;（ⅱ）99万元 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据平均值为；（2）（ⅰ）先求得；，由，得．解得 - 22 -‎ ‎；（ⅱ）易得这款保险产品的保费收入为当，即每份保单的保费为60元时，保费收入最大为360万元预计这款保险产品的最大利润为万元．‎ 试题解析：（1）收益率的平均值为 ．‎ ‎（2）（ⅰ）；‎ 由，得．解得．‎ ‎（ⅱ）设每份保单的保费为元，则销量为．‎ 则这款保险产品的保费收入为万元．‎ 于是，．‎ 所以，当，即每份保单的保费为60元时，保费收入最大为360万元．‎ 预计这款保险产品的最大利润为万元．‎ ‎20.已知椭圆的一个焦点为，且在椭圆E上．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）已知垂直于x轴的直线交E于A、B两点，垂直于y轴的直线交E于C、D两点，与的交点为P，且，间：是否存在两定点M，N，使得为定值？若存在，求出M，N的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）存在，两定点，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用焦点为，且在椭圆E上，利用椭圆定义，即得解;‎ ‎（2）设出A，B，C，D坐标，利用，得到P在双曲线 - 22 -‎ 上，结合双曲线定义，可得.‎ ‎【详解】（1）由题意得，，椭圆的两焦点为和，‎ 因为点在椭圆C上，‎ 所以根据椭圆定义可得：，‎ 所以，所以，‎ 所以椭圆E的标准方程为．‎ ‎（2）设，‎ 则，‎ 消去，得，‎ 所以点P在双曲线上，‎ 因为T的两个焦点为，实轴长为，‎ 所以存在两定点，‎ 使得为定值．‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数，定义在上的函数的导函数，其中．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求函数的单调区间．‎ - 22 -‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）增区间为，减区间为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）转化为，利用导数分析的单调性，求解最小值即可；‎ ‎（2）分，讨论，的正负，得到函数的单调区间.‎ ‎【详解】（1）证明：的定义域为，‎ ‎①当时，，所以，‎ ‎②因为当时，，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以当时，，‎ 综上，成立.‎ ‎（2）解：①若，则当时，，‎ 所以由，得，即；‎ 由，得，即，‎ 所以的增区间为，减区间为 ‎②若，则，由（1）知，即，‎ 所以由，得或，‎ 由，得，‎ 所以的增区间为，减区间为 ‎【点睛】本题考查了函数与导数的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎22.在直角坐标系xOy下，曲线C1的参数方程为（ 为参数），曲线C1在变换T - 22 -‎ ‎：的作用下变成曲线C2．‎ ‎（1）求曲线C2的普通方程；‎ ‎（2）若m>1，求曲线C2与曲线C3：y=m|x|-m的公共点的个数．‎ ‎【答案】（1）．（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出曲线C1的普通方程，再根据图象变换可求出曲线C2的普通方程；‎ ‎（2）由题意可得上的点在椭圆E：外，当时，曲线的方程化为，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理可得当时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点，又曲线C2与曲线C3都关于y轴对称，从而可得结论．‎ ‎【详解】解：（1）因为曲线C1的参数方程为 ‎ 所以曲线C1的普通方程为， ‎ 将变换T：即代入，得， ‎ 所以曲线C2的普通方程为． ‎ ‎（2）因为m>1，所以上的点在在椭圆E：外，‎ 当x>0时，曲线的方程化为，‎ 代入，得，（*）‎ 因为，‎ 所以方程（*）有两个不相等的实根x1，x2，‎ - 22 -‎ 又，，所以x1>0，x2>0，‎ 所以当x>0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点， ‎ 又因为曲线C2与曲线C3都关于y轴对称，‎ 所以当x<0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点， ‎ 综上，曲线C2与曲线C3：y=m|x|-m的公共点的个数为4．‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与图象变换，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）{x|或}．（2）（，8）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论去掉绝对值后再解不等式；‎ ‎（2）由题意可得恒成立，令，利用绝对值三角不等式以及基本不等式可得，从而得出结论．‎ ‎【详解】解：（1）当m=5时，，‎ 或或 或或或或 或，所以不等式的解集为{x|或}；‎ - 22 -‎ ‎（2）由条件，有当时，不等式，‎ 即恒成立，‎ 令，‎ 则因为，‎ 且， ‎ 所以，‎ 所以m<8，即实数m的取值范围为（，8）．‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的三角不等式，考查计算能力，属于中档题．‎ - 22 -‎ ‎ ‎ - 22 -‎